- التاريخ
- خلفية الهندسة التحليلية
- القرن السادس عشر
- أسس الهندسة التحليلية
- تأثير
- هندسة تحليلية ثلاثية الأبعاد وأكثر
- المراجع
تعود السوابق التاريخية للهندسة التحليلية إلى القرن السابع عشر ، عندما حدد بيير دي فيرما ورينيه ديكارت فكرتها الأساسية. تبع اختراعه تحديث الجبر والتدوين الجبري لفرانسوا فييت.
هذا المجال له قواعده في اليونان القديمة ، وخاصة في أعمال أبولونيوس وإقليدس ، اللذين كان لهما تأثير كبير في هذا المجال من الرياضيات.
الفكرة الأساسية وراء الهندسة التحليلية هي أن العلاقة بين متغيرين ، مثل أن يكون أحدهما دالة للآخر ، يحدد منحنى.
تم تطوير هذه الفكرة لأول مرة بواسطة Pierre de Fermat. بفضل هذا الإطار الأساسي ، تمكن إسحاق نيوتن وجوتفريد لايبنيز من تطوير حساب التفاضل والتكامل.
اكتشف الفيلسوف الفرنسي ديكارت أيضًا نهجًا جبريًا للهندسة ، على ما يبدو بمفرده. يظهر عمل ديكارت في الهندسة في كتابه الشهير خطاب في المنهج.
يشير هذا الكتاب إلى أن البوصلة والإنشاءات الهندسية ذات الحافة المستقيمة تتضمن الجمع والطرح والضرب والجذور التربيعية.
تمثل الهندسة التحليلية اتحادًا بين تقاليد مهمة في الرياضيات: الهندسة كدراسة الشكل ، والحساب والجبر ، والتي لها علاقة بالكمية أو الأرقام. لذلك ، الهندسة التحليلية هي دراسة مجال الهندسة باستخدام أنظمة الإحداثيات.
التاريخ
خلفية الهندسة التحليلية
تطورت العلاقة بين الهندسة والجبر عبر تاريخ الرياضيات ، على الرغم من أن الهندسة وصلت إلى مرحلة مبكرة من النضج.
على سبيل المثال ، تمكن عالم الرياضيات اليوناني إقليدس من تنظيم العديد من النتائج في كتابه الكلاسيكي العناصر.
لكن اليوناني القديم أبولونيوس من بيرجا هو الذي تنبأ بتطور الهندسة التحليلية في كتابه المخروطي. عرّف المخروط بأنه التقاطع بين المخروط والمستوى.
باستخدام نتائج إقليدس على مثلثات متشابهة وقاطع دوائر ، وجد علاقة تُعطى من خلال المسافات من أي نقطة "P" من المخروط إلى خطين متعامدين ، المحور الرئيسي للمخروط ، والماس عند نقطة نهاية المحور. استخدم Apollonius هذه العلاقة لاستنتاج الخصائص الأساسية للمخروطات.
لم يظهر التطور اللاحق لأنظمة الإحداثيات في الرياضيات إلا بعد أن نضج الجبر بفضل علماء الرياضيات المسلمين والهنود.
حتى عصر النهضة ، تم استخدام الهندسة لتبرير الحلول للمسائل الجبرية ، ولكن لم يكن هناك الكثير مما يمكن أن يساهم فيه الجبر في الهندسة.
سيتغير هذا الموقف مع اعتماد تدوين مناسب للعلاقات الجبرية وتطوير مفهوم الوظيفة الرياضية ، والذي أصبح ممكنًا الآن.
القرن السادس عشر
في نهاية القرن السادس عشر ، قدم عالم الرياضيات الفرنسي فرانسوا فييت أول تدوين جبري منظم ، باستخدام الحروف لتمثيل الكميات العددية ، المعروفة وغير المعروفة.
كما طور أساليب عامة قوية للعمل على التعبيرات الجبرية وحل المعادلات الجبرية.
بفضل هذا ، لم يكن علماء الرياضيات معتمدين بشكل كامل على الأشكال الهندسية والحدس الهندسي لحل المشكلات.
حتى أن بعض علماء الرياضيات بدأوا في التخلي عن طريقة التفكير الهندسية القياسية ، والتي وفقًا للمتغيرات الخطية للأطوال والمربعات تتوافق مع المناطق ، بينما تتوافق المتغيرات التكعيبية مع الأحجام.
أول من اتخذ هذه الخطوة كان الفيلسوف وعالم الرياضيات رينيه ديكارت والمحامي وعالم الرياضيات بيير دي فيرمات.
أسس الهندسة التحليلية
أسس ديكارت وفيرمات بشكل مستقل الهندسة التحليلية خلال ثلاثينيات القرن السادس عشر ، واعتمدوا جبر فييت لدراسة الموضع.
أدرك علماء الرياضيات هؤلاء أن الجبر كان أداة قوية في الهندسة واخترعوا ما يعرف اليوم بالهندسة التحليلية.
كان أحد الإنجازات التي حققوها هو تجاوز Viète باستخدام الأحرف لتمثيل مسافات متغيرة بدلاً من ثابتة.
استخدم ديكارت المعادلات لدراسة المنحنيات المحددة هندسيًا ، وشدد على الحاجة إلى النظر في المنحنيات الجبرية الرسومية العامة للمعادلات متعددة الحدود بالدرجات "x" و "y".
من جانبه ، أكد فيرمات أن أي علاقة بين الإحداثيين "س" و "ص" تحدد منحنى.
باستخدام هذه الأفكار ، أعاد هيكلة عبارات أبولونيوس على المصطلحات الجبرية واستعاد بعض أعماله المفقودة.
أشار فيرمات إلى أن أي معادلة تربيعية في "س" و "ص" يمكن وضعها في الشكل القياسي لأحد المقاطع المخروطية. على الرغم من ذلك ، لم ينشر فيرمات أبدًا أعماله حول هذا الموضوع.
بفضل التقدم الذي أحرزوه ، ما لم يتمكن أرخميدس من حله إلا بصعوبة كبيرة ولحالات منعزلة ، تمكن فيرما وديكارت من حلها بسرعة ولعدد كبير من المنحنيات (المعروفة الآن باسم المنحنيات الجبرية).
لكن أفكاره لم تحظ بقبول عام إلا من خلال جهود علماء رياضيات آخرين في النصف الأخير من القرن السابع عشر.
ساعد علماء الرياضيات فرانس فان شوتن وفلوريموند دي بون ويوهان دي ويت في توسيع عمل ديكارت وإضافة مواد إضافية مهمة.
تأثير
شاع جون واليس الهندسة التحليلية في إنجلترا. استخدم المعادلات لتحديد المخروطيات واشتقاق خصائصها. على الرغم من أنه استخدم الإحداثيات السالبة بحرية ، إلا أن إسحاق نيوتن هو من استخدم محورين مائلين لتقسيم الطائرة إلى أربعة أرباع.
أحدث نيوتن والألماني جوتفريد لايبنيز ثورة في الرياضيات في نهاية القرن السابع عشر من خلال إظهار قوة حساب التفاضل والتكامل بشكل مستقل.
أظهر نيوتن أهمية الطرق التحليلية في الهندسة ودورها في حساب التفاضل والتكامل عندما أكد أن أي مكعب (أو أي منحنى جبري من الدرجة الثالثة) له ثلاث أو أربع معادلات قياسية لمحاور إحداثيات مناسبة. بمساعدة نيوتن نفسه ، أثبت عالم الرياضيات الاسكتلندي جون ستيرلنغ ذلك عام 1717.
هندسة تحليلية ثلاثية الأبعاد وأكثر
على الرغم من أن كلا من ديكارت وفيرمات اقترحا استخدام ثلاثة إحداثيات لدراسة المنحنيات والأسطح في الفضاء ، إلا أن الهندسة التحليلية ثلاثية الأبعاد تطورت ببطء حتى عام 1730.
أنتج علماء الرياضيات أويلر وهيرمان وكليروت معادلات عامة للأسطوانات والمخاريط وأسطح الثورة.
على سبيل المثال ، استخدم أويلر معادلات للترجمات في الفضاء لتحويل السطح التربيعي العام بحيث تتوافق محاوره الرئيسية مع محاوره الإحداثية.
صنع أويلر وجوزيف لويس لاجرانج وجاسبارد مونج هندسة تحليلية مستقلة عن الهندسة التركيبية (غير التحليلية).
المراجع
- تطور الهندسة التحليلية (2001). تعافى من encyclopedia.com
- تاريخ الهندسة التحليلية (2015). تعافى من maa.org
- التحليل (الرياضيات). تعافى من britannica.com
- الهندسة التحليلية. تعافى من britannica.com
- ديكارت وولادة الهندسة التحليلية. تعافى من sciencedirect.com