ثابت التناسب: ما هو ، الحساب ، التمارين - رياضيات - 2026

و ثابت التناسب هو العنصر العددي العلائقية، وتستخدم لتحديد نمط التشابه بين 2 الكميات التي يتم تعديلها في وقت واحد. من الشائع جدًا تمثيلها كدالة خطية بطريقة عامة باستخدام التعبير F (X) = kX ، ومع ذلك ، هذا ليس التمثيل الوحيد للتناسب المحتمل.

على سبيل المثال ، العلاقة بين X و Y في الدالة Y = 3x لها ثابت تناسب يساوي 3. ويلاحظ أنه مع نمو المتغير المستقل X ، كذلك ينمو المتغير التابع Y بثلاثة أضعاف قيمته السابق.

التعديلات المطبقة على متغير واحد لها تداعيات فورية على الآخر ، بحيث تكون هناك قيمة تعرف بثابت التناسب. يعمل هذا على ربط الأحجام المختلفة التي يكتسبها كلا المتغيرين.

ما هو ثابت التناسب والأنواع

وفقًا للاتجاه في تغيير المتغيرات ، يمكن تصنيف التناسب إلى نوعين.

التناسب المباشر

يقترح علاقة أحادية الاتجاه بين كميتين. في ذلك ، إذا أظهر المتغير المستقل بعض النمو ، فسوف ينمو المتغير التابع أيضًا. وبالمثل ، فإن أي انخفاض في المتغير المستقل سيؤدي إلى انخفاض في حجم Y.

على سبيل المثال ، الوظيفة الخطية المستخدمة في المقدمة ؛ Y = 3X ، تقابل علاقة تناسب مباشرة. وذلك لأن الزيادة في المتغير المستقل X ستؤدي إلى زيادة ثلاثية في القيمة السابقة التي يأخذها المتغير التابع Y.

وبالمثل ، فإن المتغير التابع سينخفض ​​بمقدار ثلاثة أضعاف قيمته عندما تنخفض قيمة X.

يتم تعريف قيمة ثابت التناسب "K" في علاقة مباشرة على أنها K = Y / X.

التناسب العكسي أو غير المباشر

في هذا النوع من الوظائف ، يتم تقديم العلاقة بين المتغيرات بطريقة متناقضة ، حيث يتوافق نمو أو نقص المتغير المستقل على التوالي مع انخفاض أو نمو المتغير التابع.

على سبيل المثال ، الدالة F (x) = k / x هي علاقة عكسية أو غير مباشرة. نظرًا لأن قيمة المتغير المستقل تبدأ في الزيادة ، فسيتم تقسيم قيمة k على عدد متزايد ، مما يتسبب في انخفاض قيمة المتغير التابع وفقًا للنسبة.

وفقًا للقيمة التي اتخذتها K ، يمكن تحديد اتجاه الدالة التناسبية العكسية. إذا كانت k> 0 ، فستتناقص الوظيفة على جميع الأرقام الحقيقية. وسيكون الرسم البياني الخاص بك في الربع الأول والثالث.

على العكس من ذلك ، إذا كانت قيمة K سالبة أو أقل من الصفر ، فستزداد الدالة وسيوجد رسمها البياني في الربعين الثاني والرابع.

كيف يتم حسابها؟

هناك سياقات مختلفة قد يتطلب فيها تعريف ثابت التناسب. في الحالات المختلفة ، سيتم عرض بيانات مختلفة حول المشكلة ، حيث ستؤدي دراسة هذه القيم في النهاية إلى قيمة K.

بطريقة عامة ، يمكن إعادة تلخيص ما سبق ذكره. تتوافق قيم K مع تعبيرين حسب نوع التناسب الحالي:

- مباشر: K = Y / X

- معكوس أو غير مباشر: K = YX

حسب الرسم البياني الخاص به

في بعض الأحيان ، لا يُعرف الرسم البياني للدالة إلا جزئيًا أو كليًا. في هذه الحالات ، سيكون من الضروري ، من خلال التحليل البياني ، تحديد نوع التناسب. بعد ذلك سيكون من الضروري تحديد إحداثي يسمح بالتحقق من قيم X و Y لتطبيقها على الصيغة المقابلة لـ K.

الرسوم البيانية التي تشير إلى التناسب المباشر خطية. من ناحية أخرى ، عادة ما تأخذ الرسوم البيانية للدوال التناسبية العكسية شكل القطوع الزائدة.

حسب جدول القيم

في بعض الحالات ، يوجد جدول قيم مع القيم المقابلة لكل تكرار للمتغير المستقل. عادةً ما يتضمن ذلك عمل الرسم البياني بالإضافة إلى تحديد قيمة K.

حسب التعبير التحليلي

إرجاع التعبير الذي يعرّف الوظيفة تحليليًا. يمكن حل قيمة K مباشرة ، أو يمكن أيضًا استنتاجها من التعبير نفسه.

من خلال القاعدة المباشرة أو المركبة المكونة من ثلاثة

في نماذج التمرين الأخرى ، يتم تقديم بيانات معينة تشير إلى العلاقة بين القيم. هذا يجعل من الضروري تطبيق القاعدة المباشرة أو المركبة المكونة من ثلاثة لتحديد البيانات الأخرى المطلوبة في التمرين.

التاريخ

لطالما كان مفهوم التناسب موجودًا. ليس فقط في عقل وعمل علماء الرياضيات العظماء ، ولكن في الحياة اليومية للسكان ، بسبب التطبيق العملي والقابلية للتطبيق.

من الشائع جدًا العثور على مواقف تتطلب نهج التناسب. يتم تقديم هذه في كل حالة حيث من الضروري مقارنة المتغيرات والظواهر التي لها علاقات معينة.

من خلال جدول زمني يمكننا وصف اللحظات التاريخية ، حيث تم تطبيق التطورات الرياضية المتعلقة بالتناسب.

- القرن الثاني قبل الميلاد اعتمد نظام تخزين الكسور والنسب في اليونان.

- القرن الخامس قبل الميلاد تم اكتشاف النسبة المتعلقة بقطر وضلع المربع في اليونان أيضًا.

- 600 قبل الميلاد قدم طاليس ميليتوس نظريته بخصوص التناسب.

- السنة 900. النظام العشري الذي استخدمته الهند في السابق موسع بالنسب والنسب. مساهمة العرب.

- القرن السابع عشر. المساهمات المتعلقة بالنسب تصل إلى حساب أويلر.

- القرن التاسع عشر. يساهم جاوس في مفهوم العدد المركب والنسبة.

- القرن العشرين. يتم تعريف التناسب كنموذج وظيفي بواسطة Azcarate و Deulofeo.

تمارين محلولة

التمرين 1

مطلوب لحساب قيمة المتغيرات x و y و z و g. معرفة العلاقات النسبية التالية:

3 س + 2 ص - 6 ع + 8 ج = 1925

س / 3 = ص / 8 = ع / 3 = ز / 5

نشرع في تحديد القيم النسبية لثابت التناسب. يمكن الحصول عليها من العلاقة الثانية ، حيث تشير القيمة التي تقسم كل متغير إلى علاقة أو نسبة تشير إلى K.

X = 3k y = 2k z = 3k g = 5k

يتم استبدال القيم في التعبير الأول ، حيث سيتم تقييم النظام الجديد في متغير واحد k.

3 (3 ك) + 2 (2 ك) - 6 (3 ك) + 8 (5 ك) = 1925

9 كيلو + 4 كيلو -18 كيلو + 40 كيلو = 1925

35 كيلو = 1925

ك = 1925/35 = 55

باستخدام قيمة ثابت التناسب يمكننا إيجاد الرقم الذي يحدد كل متغير.

س = 3 (55) = 165 ص = 2 (55) = 110

ض = 3 (55) = 165 جم = 5 (55) = 275

تمرين 2

احسب ثابت التناسب والتعبير الذي يعرّف الدالة ، في ضوء الرسم البياني الخاص بها.

أولاً ، يتم تحليل الرسم البياني ، ويتضح طابعه الخطي. يشير هذا إلى أنها دالة ذات تناسب مباشر وأن قيمة K سيتم الحصول عليها من خلال التعبير k = y / x

ثم يتم اختيار نقطة قابلة للتحديد من الرسم البياني ، أي نقطة يمكن فيها رؤية الإحداثيات التي تتكون منها بالضبط.

في هذه الحالة ، يتم أخذ النقطة (2 ، 4). من حيث يمكننا إقامة العلاقة التالية.

ك = 4/2 = 2

لذلك يتم تعريف التعبير بالدالة y = kx ، والتي ستكون في هذه الحالة

و (س) = 2 س

المراجع

1. الرياضيات للكهرباء والالكترونيات. د. آرثر كرامر. تعلم Cengage ، يوليو 27 2012
2. رؤية 2020: الدور الاستراتيجي للبحوث التشغيلية. N. Ravichandran. الناشرون المتحالفون ، 11 سبتمبر 2005
3. المعرفة النحوية والحسابية للمساعد الإداري للكتاب الإلكتروني للدولة. ماد- Eduforma
4. تعزيز الرياضيات لدعم المناهج الدراسية وتنويعها: لدعم المناهج الدراسية وتنويعها. مو لورديس لازارو سوتو. Narcea Ediciones ، 29 أغسطس. 2003
5. الإدارة اللوجستية والتجارية. ماريا خوسيه اسكوديرو سيرانو. Ediciones Paraninfo، SA ، 1 سبتمبر. 2013