كم عدد الحلول التي تحتويها المعادلة التربيعية؟ - رياضيات - 2025

يمكن أن تحتوي المعادلة التربيعية أو المعادلة التربيعية على حل واحد أو حلين حقيقيين ، اعتمادًا على المعاملات التي تظهر في المعادلة المذكورة.

إذا كنت تعمل على أعداد مركبة ، فيمكنك القول إن كل معادلة تربيعية لها حلين.

بادئ ذي بدء ، المعادلة التربيعية هي معادلة بالصيغة ax² + bx + c = 0 ، حيث a و b و c أعداد حقيقية و x متغير.

يُقال أن x1 هو حل للمعادلة التربيعية السابقة إذا كان استبدال x بـ x1 يفي بالمعادلة ، أي إذا كانت a (x1) ² + b (x1) + c = 0.

على سبيل المثال ، إذا كانت لدينا المعادلة x²-4x + 4 = 0 ، فإن x1 = 2 يمثل الحل نظرًا لأن (2) ²-4 (2) + 4 = 4-8 + 4 = 0.

على العكس من ذلك ، إذا عوضنا بـ x2 = 0 نحصل على (0) ²-4 (0) + 4 = 4 وبما أن 4 ≠ 0 فإن x2 = 0 ليس حلاً للمعادلة التربيعية.

حلول معادلة من الدرجة الثانية

يمكن تقسيم عدد حلول المعادلة التربيعية إلى حالتين هما:

واحد. -

عند العمل بأرقام حقيقية ، يمكن أن تحتوي المعادلات التربيعية على:

-حلول صفرية: أي أنه لا يوجد رقم حقيقي يحقق المعادلة التربيعية. على سبيل المثال ، المعادلة المعطاة للمعادلة x² + 1 = 0 ، لا يوجد مثل هذا الرقم الحقيقي الذي يلبي المعادلة المذكورة ، نظرًا لأن كلا من x² أكبر من أو يساوي الصفر و 1 أكبر من الصفر تمامًا ، لذلك سيكون مجموعهما أكبر صارم من الصفر.

- حل متكرر: هناك قيمة حقيقية واحدة تحقق المعادلة التربيعية. على سبيل المثال ، الحل الوحيد للمعادلة x²-4x + 4 = 0 هو x1 = 2.

- حلان مختلفان: هناك قيمتان تحققان المعادلة التربيعية. على سبيل المثال ، x² + x-2 = 0 لها حلين مختلفين وهما x1 = 1 و x2 = -2.

2.- في الأعداد المركبة

عند العمل مع الأعداد المركبة ، دائمًا ما يكون للمعادلات التربيعية حلين هما z1 و z2 حيث z2 هو اتحاد z1. يمكن أيضًا تصنيفها إلى:

- المجمعات: الحلول على شكل z = p ± qi ، حيث p و q أرقام حقيقية. هذه الحالة تتوافق مع الحالة الأولى في القائمة السابقة.

- المجمعات النقية: عندما يكون الجزء الحقيقي من الحل مساويًا للصفر ، أي يكون للحل الشكل z = ± qi ، حيث q هو رقم حقيقي. هذه الحالة تتوافق مع الحالة الأولى في القائمة السابقة.

- مركبات مع جزء تخيلي يساوي صفرًا: عندما يكون الجزء المعقد من الحل مساويًا للصفر ، أي يكون الحل رقمًا حقيقيًا. تتوافق هذه الحالة مع الحالتين الأخيرتين في القائمة السابقة.

كيف يتم إيجاد حلول المعادلة التربيعية؟

لحساب حلول المعادلة التربيعية ، يتم استخدام صيغة تُعرف باسم "المذيب" ، والتي تنص على أن حلول المعادلة ax² + bx + c = 0 تُعطى بالتعبير في الصورة التالية:

تسمى الكمية التي تظهر داخل الجذر التربيعي بمميز المعادلة التربيعية ويُشار إليها بالحرف "d".

سيكون للمعادلة التربيعية:

- حلين حقيقيين إذا ، وفقط إذا ، d> 0.

- حل حقيقي يتكرر إذا ، وفقط إذا ، d = 0.

-حلول حقيقية صفرية (أو حلان معقدان) إذا وفقط إذا كانت d <0.

أمثلة:

- حلول المعادلة x² + x-2 = 0 تعطى من خلال:

- المعادلة x²-4x + 4 = 0 لها حل متكرر يتم الحصول عليه من خلال:

- حلول المعادلة x² + 1 = 0 تعطى من خلال:

كما يتضح في هذا المثال الأخير ، x2 هو مرافق x1.

المراجع

1. فوينتيس ، أ. (2016). الرياضيات الأساسية. مقدمة في حساب التفاضل والتكامل. Lulu.com.
2. جارو ، م. (2014). الرياضيات: المعادلات التربيعية: كيف نحل المعادلة التربيعية. ماريلو جارو.
3. هايسلر ، إي أف ، وبول ، آر إس (2003). الرياضيات للإدارة والاقتصاد. تعليم بيرسون.
4. Jiménez، J.، Rofríguez، M.، & Estrada، R. (2005). الرياضيات 1 سبتمبر. عتبة.
5. بريسيادو ، كونيتيكت (2005). دورة الرياضيات الثالثة. المقدمة الافتتاحية.
6. روك ، نيو مكسيكو (2006). أنا الجبر سهل! سهل جدا. صحافة فريق روك.
7. سوليفان ، ج. (2006). الجبر وعلم المثلثات. تعليم بيرسون.