مشتق ظل التمام: الحساب ، البرهان ، التمارين - رياضيات - 2026

و مشتق من ظل التمام تساوي عكس مربع من قاطع التمام "-Csc ² ". تخضع هذه الصيغة لقوانين المشتق بالتعريف والتمايز بين الدوال المثلثية. يشار إليه على النحو التالي:

د (ctg u) = -csc ² ش. دو

حيث يرمز "du" إلى التعبير المشتق من دالة الوسيطة ، فيما يتعلق بالمتغير المستقل.

المصدر: Pixabay.com

كيف يتم حسابها؟

إجراء تطوير هذه المشتقات بسيط للغاية. يكفي فقط تحديد الوسيطة ونوع الوظيفة التي تمثلها بشكل صحيح.

على سبيل المثال ، يحتوي التعبير Ctg (f / g) على قسم في وسيطته. سيتطلب هذا تمايزًا بخصوص U / V ، بعد تطوير مشتق ظل التمام.

ظل التمام هو مقلوب الظل. وهذا يعني جبريًا أن:

(1 / tg x) = ctg x

Ctg x = Cos x / Sen x

من الخطأ القول إن دالة ظل التمام هي "معكوس" الظل. هذا لأن دالة الظل العكسي بحكم التعريف هي قوس الظل.

(Tg ^-1 x) = arctg x

وفقًا لعلم المثلثات فيثاغورس ، يشارك ظل التمام في الأقسام التالية:

Ctg x = (cos x) / (sin x)

Ctg ² x + 1 = Csc ² x

وفقًا لعلم المثلثات التحليلي ، فإنه يستجيب للهويات التالية:

Ctg (a + b) = (1 - tg a. Tg b) / (tg a + tg b)

Ctg (a - b) = (1 + tg a. Tg b) / (tg a - tg b)

Ctg (2a) = (1 - tg ² a) / (2tg a)

خصائص دالة ظل التمام

من الضروري تحليل الخصائص المختلفة للوظيفة f (x) = ctg x من أجل تحديد الجوانب اللازمة لدراسة تمايزها وتطبيقها.

الخطوط المقاربة الرأسية

لم يتم تعريف دالة ظل التمام على القيم التي تجعل التعبير "Senx" صفرًا. نظرًا لما يعادله Ctg x = (cos x) / (sin x) ، سيكون له عدم تحديد في كل "nπ" مع n ينتمي إلى الأعداد الصحيحة.

أي أنه في كل من قيم x = nπ سيكون هناك خط مقارب عمودي. كلما اقتربت من اليسار ، ستنخفض قيمة ظل التمام بسرعة ، وكلما اقتربت من اليمين ، ستزداد الدالة إلى أجل غير مسمى.

نطاق

يتم التعبير عن مجال دالة cotangent بالمجموعة {x ∈ R / x ≠ nπ، n ∈ Z}. يُقرأ هذا على أنه "x ينتمي إلى مجموعة الأعداد الحقيقية بحيث تختلف x عن n ، حيث تنتمي n إلى مجموعة الأعداد الصحيحة".

مرتبة

نطاق دالة ظل التمام من سالب إلى زائد ما لا نهاية. لذلك ، يمكن استنتاج أن رتبتها هي مجموعة الأعداد الحقيقية R.

تكرر

دالة ظل التمام دورية ودورتها تساوي π. بهذه الطريقة ، تتحقق المساواة Ctg x = Ctg (x + nπ) ، حيث n ينتمي إلى Z.

سلوك

إنها دالة فردية ، لأن Ctg (-x) = - Ctg x. بهذه الطريقة ، من المعروف أن الوظيفة تقدم تناظرًا فيما يتعلق بأصل الإحداثيات. كما أنه يُظهر انخفاضًا في كل فترة تقع بين خطين مقاربين عموديين متتاليين.

لا تحتوي على قيم قصوى أو أدنى ، نظرًا لحقيقة أن تقريبها للخطوط المقاربة العمودية تقدم سلوكيات حيث تزيد الوظيفة أو تنقص إلى أجل غير مسمى.

تم العثور على أصفار أو جذور دالة ظل التمام في مضاعفات فردية لـ π / 2. هذا يعني أن Ctg x = 0 يحمل قيم الصورة x = nπ / 2 مع n عدد صحيح فردي.

برهنة

هناك طريقتان لإثبات مشتق دالة ظل التمام.

برهان تفاضلي مثلثي

تم إثبات مشتق دالة ظل التمام من مكافئها في الجيب وجيب التمام.

يتم التعامل معها على أنها مشتق من تقسيم الوظائف

بعد اشتقاق العوامل مجمعة والهدف هو محاكاة هويات فيثاغورس

استبدال الهويات وتطبيق المعاملة بالمثل ، التعبير

إثبات من خلال تعريف المشتق

التعبير التالي يتوافق مع المشتق حسب التعريف. حيث تقترب المسافة بين نقطتين من الدالة من الصفر.

استبدال ظل التمام لدينا:

يتم تطبيق الهويات لمجموع الحجج والمعاملة بالمثل

يتم تشغيل جزء البسط بشكل تقليدي

نحصل على القضاء على العناصر المعاكسة واتخاذ عامل مشترك

بتطبيق هويات فيثاغورس والمعاملة بالمثل علينا أن نفعل ذلك

العناصر المقيمة في x ثابتة بالنسبة إلى النهاية ، لذلك يمكنها ترك الوسيطة الخاصة بهذا. ثم يتم تطبيق خصائص الحدود المثلثية.

تم تقييم الحد

ثم يتم تحليلها إلى أن يتم الوصول إلى القيمة المطلوبة

يتم عرض مشتق ظل التمام على أنه عكس مربع قاطع التمام.

تمارين محلولة

التمرين 1

بناءً على الوظيفة f (x) ، حدد التعبير f '(x)

يتم تطبيق الاشتقاق المقابل مع احترام قاعدة السلسلة

اشتقاق الحجة

في بعض الأحيان يكون من الضروري تطبيق الهويات المتبادلة أو المثلثية لتكييف الحلول.

تمرين 2

حدد التعبير التفاضلي المقابل لـ F (x)

وفق معادلة الاشتقاق واحترام قاعدة السلسلة

الحجة مشتقة ، والباقي يبقى كما هو

اشتقاق كل العناصر

تعمل المنتجات من نفس القاعدة بالطريقة التقليدية

تضاف العناصر المتساوية ويتم استخراج العامل المشترك

يتم تبسيط العلامات وتشغيلها. إعطاء الطريق للتعبير المشتق بالكامل

المراجع

1. السلسلة المثلثية ، المجلد 1. A. Zygmund. مطبعة جامعة كامبريدج ، 2002
2. حساب التفاضل والتكامل لمتغير واحد. رون لارسون ، بروس إدواردز. تعلم Cengage ، 10 نوفمبر 2008
3. حساب التفاضل والتكامل مع علم المثلثات والهندسة التحليلية. جون إتش ساكسون ، جون ساكسون ، فرانك وانج ، ديانا هارفي. ساكسون للنشر ، 1988
4. تحليل متعدد المتغيرات. ساتيش شيرالي ، هاركريشان لال فاسوديفا. Springer Science & Business Media ، 13 ديسمبر. 2010
5. ديناميات النظام: النمذجة والمحاكاة والتحكم في الأنظمة الميكاترونيك. دين سي كارنوب ، دونالد إل مارجوليس ، رونالد سي روزنبرغ. جون وايلي وأولاده ، 7 مارس 2012
6. حساب التفاضل والتكامل: الرياضيات والنمذجة. وليام بولدري ، جوزيف ر. فيدلر ، فرانك آر جيوردانو ، إد لودي ، ريك فيتراي. أديسون ويسلي لونجمان ، 1 يناير 1999