التوزيعات الاحتمالية المنفصلة: الخصائص والتمارين - رياضيات - 2025

و التوزيعات الاحتمالية المنفصلة هي الوظيفة التي يعين على كل عنصر من عناصر X (S) = {X1، X2،…، والحادي عشر،…}، حيث X هو متغير عشوائي منفصل معين وS هو فضاء العينة، واحتمال أن قال حدث يحدث. هذه الوظيفة f لـ X (S) المعرفة على أنها f (xi) = P (X = xi) تسمى أحيانًا دالة كتلة الاحتمال.

يتم تمثيل كتلة الاحتمالات هذه بشكل عام في شكل جدول. نظرًا لأن X متغير عشوائي منفصل ، فإن X (S) لها عدد محدود من الأحداث أو ما لا نهاية قابلة للعد. من بين التوزيعات الاحتمالية المنفصلة الأكثر شيوعًا لدينا التوزيع المنتظم والتوزيع ذي الحدين وتوزيع بواسون.

مميزات

يجب أن تفي دالة توزيع الاحتمالات بالشروط التالية:

علاوة على ذلك ، إذا كانت X تأخذ فقط عددًا محدودًا من القيم (على سبيل المثال x1 ، x2 ،… ، xn) ، فإن p (xi) = 0 إذا كانت i> ny ، وبالتالي ، تصبح السلسلة اللانهائية للشرط b a سلسلة محدودة.

تحقق هذه الوظيفة أيضًا الخصائص التالية:

لنفترض أن B يكون حدثًا مرتبطًا بالمتغير العشوائي X. وهذا يعني أن B موجود في X (S). على وجه التحديد ، افترض أن B = {xi1، xi2،…}. هكذا:

بعبارة أخرى ، فإن احتمال وقوع حدث B يساوي مجموع احتمالات النتائج الفردية المرتبطة بـ B.

من هذا يمكننا أن نستنتج أنه إذا كان a <b ، فإن الأحداث (X ≤ a) و (a <X ≤ b) متنافيتان ، علاوة على ذلك ، اتحادهم هو الحدث (X ≤ b) ، لذلك لدينا:

أنواع

توزيع موحد على عدد n من النقاط

يقال أن المتغير العشوائي X يتبع توزيعًا يتميز بأنه منتظم عند عدد n من النقاط إذا تم تخصيص نفس الاحتمال لكل قيمة. دالة الكتلة الاحتمالية لها هي:

لنفترض أن لدينا تجربة لها نتيجتان محتملتان ، فيمكن أن تكون رمي عملة معدنية نتائجه المحتملة هي صورة الوجه أو الذيل ، أو اختيار عدد صحيح يمكن أن تكون نتيجته عددًا زوجيًا أو فرديًا ؛ يُعرف هذا النوع من التجارب باسم اختبارات برنولي.

بشكل عام ، نتيجتان محتملتان تسمى النجاح والفشل ، حيث p هي احتمال النجاح و 1-p هي احتمال الفشل. يمكننا تحديد احتمالية نجاحات x في اختبارات n Bernoulli المستقلة عن بعضها البعض بالتوزيع التالي.

توزيع ثنائي

إنها الوظيفة التي تمثل احتمال الحصول على x مرات نجاح في n من اختبارات Bernoulli المستقلة ، والتي يكون احتمال نجاحها p. دالة الكتلة الاحتمالية لها هي:

يمثل الرسم البياني التالي دالة الكتلة الاحتمالية للقيم المختلفة لمعلمات التوزيع ذي الحدين.

يدين التوزيع التالي باسم عالم الرياضيات الفرنسي سيميون بواسون (1781-1840) ، الذي حصل عليه باعتباره حد التوزيع ذي الحدين.

توزيع السم

يقال إن المتغير العشوائي X لديه توزيع بواسون للمعلمة λ عندما يمكن أن يأخذ قيم الأعداد الصحيحة الموجبة 0،1،2،3 ،… مع الاحتمال التالي:

في هذا التعبير λ هو متوسط ​​العدد المقابل لوقوع الحدث لكل وحدة زمنية ، و x هو عدد مرات وقوع الحدث.

دالة الكتلة الاحتمالية لها هي:

فيما يلي رسم بياني يمثل دالة الكتلة الاحتمالية للقيم المختلفة لمعلمات توزيع بواسون.

لاحظ أنه طالما أن عدد النجاحات منخفض وعدد n من الاختبارات التي يتم إجراؤها على التوزيع ذي الحدين مرتفع ، يمكننا دائمًا تقريب هذه التوزيعات ، حيث أن توزيع بواسون هو حد التوزيع ذي الحدين.

يتمثل الاختلاف الرئيسي بين هذين التوزيعين في أنه بينما تعتمد ذات الحدين على معلمتين ، وهما n و p ، فإن Poisson يعتمد فقط على λ ، والتي تسمى أحيانًا كثافة التوزيع.

تحدثنا حتى الآن فقط عن التوزيعات الاحتمالية للحالات التي تكون فيها التجارب المختلفة مستقلة عن بعضها البعض ؛ أي عندما لا تتأثر نتيجة أحدهما ببعض النتائج الأخرى.

عندما تحدث حالة وجود تجارب غير مستقلة ، يكون التوزيع الهندسي الفائق مفيدًا جدًا.

التوزيع الهندسي المفرط

لنفترض أن N هو العدد الإجمالي للكائنات لمجموعة محدودة ، والتي يمكننا تحديد k منها بطريقة ما ، وبالتالي تشكيل مجموعة فرعية K ، والتي يتكون مكملها بواسطة عناصر Nk المتبقية.

إذا اخترنا بشكل عشوائي n كائنات ، فإن المتغير العشوائي X الذي يمثل عدد الكائنات التي تنتمي إلى K في الاختيار المذكور له توزيع هندسي مفرط للمعلمات N و n و k. دالة الكتلة الاحتمالية لها هي:

يمثل الرسم البياني التالي دالة الكتلة الاحتمالية لقيم مختلفة لمعاملات التوزيع الهندسي الفائق.

تمارين محلولة

التمرين الأول

افترض أن احتمال تشغيل أنبوب راديو (يوضع في نوع معين من المعدات) لأكثر من 500 ساعة هو 0.2. إذا تم اختبار 20 أنبوبًا ، فما هو احتمال تشغيل k بالضبط لأكثر من 500 ساعة ، k = 0 ، 1،2 ،… ، 20؟

المحلول

إذا كان X هو عدد الأنابيب التي تعمل لأكثر من 500 ساعة ، سنفترض أن X لها توزيع ذي حدين. وبالتالي

و هكذا:

بالنسبة لـ k≥11 ، تكون الاحتمالات أقل من 0.001

وهكذا يمكننا أن نلاحظ كيف يزداد احتمال أن يعمل k لأكثر من 500 ساعة ، حتى يصل إلى قيمته القصوى (مع k = 4) ثم يبدأ في الانخفاض.

التمرين الثاني

رمي عملة معدنية 6 مرات. عندما تكون النتيجة باهظة الثمن ، سنقول إنها نجاح. ما هو احتمال ظهور رأسين بالضبط؟

المحلول

في هذه الحالة ، لدينا n = 6 وكل من احتمالية النجاح والفشل هي p = q = 1/2

لذلك ، فإن احتمال إعطاء رأسين (أي ، k = 2) هو

التمرين الثالث

ما هو احتمال العثور على أربعة رؤوس على الأقل؟

المحلول

في هذه الحالة لدينا k = 4 أو 5 أو 6

التمرين الثالث

افترض أن 2٪ من العناصر المنتجة في المصنع معيبة. أوجد الاحتمال P لوجود ثلاثة عناصر معيبة في عينة من 100 عنصر.

المحلول

في هذه الحالة ، يمكننا تطبيق التوزيع ذي الحدين لـ n = 100 و p = 0.02 للحصول على نتيجة:

ومع ذلك ، نظرًا لأن p صغير ، فإننا نستخدم تقريب بواسون مع λ = np = 2. وبالتالي،

المراجع

1. كاي لاي تشونغ. نظرية الاحتمال الأولية مع العمليات العشوائية. Springer-Verlag نيويورك إنك
2. كينيث. روزين الرياضيات المتقطعة وتطبيقاتها. SAMCGRAW-HILL / INTERAMERICANA DE ESPAÑA.
3. بول ل.ماير. الاحتمالية والتطبيقات الإحصائية. SA ALHAMBRA ، المكسيك.
4. سيمور ليبشوتز دكتوراه. 2000 حل مشاكل الرياضيات المتقطعة. ماكجرو هيل.
5. سيمور ليبشوتز دكتوراه. مشاكل النظرية والاحتمالية. ماكجرو هيل.