خطأ أخذ العينات: الصيغ والمعادلات ، الحساب ، الأمثلة - دوداس - 2026

و أخذ العينات خطأ أو أخذ العينات الخطأ في الإحصاءات هو الفرق بين القيمة المتوسطة لعينة وقيمة متوسط من مجموع السكان. لتوضيح الفكرة ، دعنا نتخيل أن إجمالي عدد سكان مدينة ما هو مليون شخص ، تريد منهم متوسط ​​حجم الحذاء ، حيث يتم أخذ عينة عشوائية من ألف شخص.

لن يتطابق متوسط ​​الحجم الذي يظهر من العينة بالضرورة مع متوسط ​​الحجم الإجمالي للسكان ، على الرغم من أنه إذا لم تكن العينة متحيزة ، فيجب أن تكون القيمة قريبة. هذا الاختلاف بين القيمة المتوسطة للعينة وقيمة إجمالي السكان هو خطأ أخذ العينات.

الشكل 1. نظرًا لأن العينة هي مجموعة فرعية من إجمالي السكان ، فإن متوسط ​​العينة به هامش خطأ. المصدر: F. Zapata.

القيمة المتوسطة لإجمالي السكان غير معروفة بشكل عام ، ولكن هناك تقنيات لتقليل هذا الخطأ والصيغ لتقدير هامش خطأ أخذ العينات الذي سيتم مناقشته في هذه المقالة.

الصيغ والمعادلات

لنفترض أننا نريد معرفة القيمة المتوسطة لخاصية معينة قابلة للقياس x في مجموعة سكانية بحجم N ، ولكن نظرًا لأن N عددًا كبيرًا ، فليس من الممكن إجراء الدراسة على إجمالي السكان ، ثم ننتقل إلى أخذ عينة عشوائية من الحجم n <

يتم الإشارة إلى متوسط ​​قيمة العينة بواسطة ونشير إلى القيمة المتوسطة لإجمالي السكان بالحرف اليوناني μ (اقرأ mu أو miu).

لنفترض أن عينات m مأخوذة من إجمالي السكان N ، وكلها متساوية في الحجم n مع قيم متوسطة 1> ، 2> ، 3> ،….م>.

لن تكون هذه القيم المتوسطة متطابقة مع بعضها البعض وستكون جميعها حول القيمة المتوسطة للمجموعة μ. يشير هامش خطأ أخذ العينات E إلى الفصل المتوقع بين القيم المتوسطة بالنسبة إلى القيمة المتوسطة للسكان μ ضمن نسبة مئوية محددة تسمى مستوى الثقة γ (جاما).

هامش الخطأ القياسي ε لعينة الحجم n هو:

ε = σ / √n

حيث σ هو الانحراف المعياري (الجذر التربيعي للتباين) ، والذي يتم حسابه باستخدام الصيغة التالية:

σ = √

معنى هامش الخطأ القياسي كما يلي:

قيمة متوسط تم الحصول عليها من عينة الحجم n مدرجة في الفاصل الزمني ( - ε ، + ε) بمستوى ثقة 68.3٪.

كيفية حساب خطأ أخذ العينات

في القسم السابق ، تم إعطاء صيغة للعثور على هامش الخطأ القياسي لعينة من الحجم n ، حيث تشير كلمة معيار إلى أنه هامش خطأ بنسبة ثقة 68٪.

يشير هذا إلى أنه إذا تم أخذ العديد من العينات من نفس الحجم n ، فسيعطي 68٪ منها قيمًا متوسطة في النطاق.

توجد قاعدة بسيطة ، تسمى قاعدة 68-95-99.7 ، تسمح لنا بإيجاد هامش خطأ أخذ العينات E لمستويات الثقة 68٪ و 95٪ و 99.7٪ بسهولة ، لأن هذا الهامش هو 1⋅ ε ، 2 ⋅ ε و 3 على التوالي.

للحصول على مستوى من الثقة

إذا لم يكن مستوى الثقة γ واحدًا مما سبق ، فإن خطأ أخذ العينات هو الانحراف المعياري σ مضروبًا في العامل Zγ ، والذي يتم الحصول عليه من خلال الإجراء التالي:

1.- أولاً ، يتم تحديد مستوى الأهمية α ، والذي يتم حسابه من مستوى الثقة γ من خلال العلاقة التالية: α = 1 -

2.- بعد ذلك يجب حساب القيمة 1 - α / 2 = (1 + γ) / 2 ، والتي تتوافق مع التردد العادي المتراكم بين-و Zγ ، في توزيع عادي أو غاوسي متمثل في F (z) ، تعريفها يمكن رؤيته في الشكل 2.

3.- يتم حل المعادلة F (Zγ) = 1 - α / 2 عن طريق جداول التوزيع الطبيعي (التراكمي) F ، أو عن طريق تطبيق الكمبيوتر الذي يحتوي على وظيفة Gaussian المعكوسة F ^-1.

في الحالة الأخيرة لدينا:

Zγ = G ^-1 (1 - α / 2).

4.- أخيرًا ، يتم تطبيق هذه الصيغة على خطأ أخذ العينات بمستوى موثوقية γ:

E = Zγ ⋅ (σ / n)

الشكل 2. جدول التوزيع الطبيعي. المصدر: ويكيميديا ​​كومنز.

أمثلة

- مثال 1

احسب هامش الخطأ القياسي في الوزن المتوسط ​​لعينة من 100 مولود جديد. كان حساب متوسط ​​الوزن= 3100 كجم بانحراف معياري σ = 1500 كجم.

المحلول

هامش الخطأ القياسي هو ε = σ / n = (1500 كجم) / √100 = 0.15 كجم. وهذا يعني أنه من خلال هذه البيانات يمكن الاستدلال على أن وزن 68٪ من الأطفال حديثي الولادة يتراوح بين 2950 كجم و 3.25 كجم.

- المثال 2

تحديد هامش أخذ العينات للخطأ E ونطاق الوزن 100 مولود جديد بمستوى ثقة 95٪ إذا كان متوسط ​​الوزن 3100 كجم مع الانحراف المعياري σ = 1500 كجم.

المحلول

إذا كانت القاعدة 68 تنطبق ؛ 95 ؛ 99.7 → 1⋅ ε ؛ 2⋅ ε ؛ 3⋅ ε ، لدينا:

E = 2⋅ε = 2⋅0.15 كجم = 0.30 كجم

بمعنى آخر ، 95٪ من الأطفال حديثي الولادة تتراوح أوزانهم بين 2800 كجم و 3400 كجم.

- مثال 3

حدد نطاق أوزان الأطفال حديثي الولادة في المثال 1 بهامش ثقة 99.7٪.

المحلول

خطأ أخذ العينات بثقة 99.7٪ هو 3 σ / n ، وهو على سبيل المثال E = 3 * 0.15 kg = 0.45 kg. ومن هنا يترتب على ذلك أن 99.7٪ من الأطفال حديثي الولادة تتراوح أوزانهم بين 2650 كجم و 3550 كجم.

- مثال 4

حدد العامل Zγ لمستوى ثقة 75٪. حدد هامش خطأ أخذ العينات بهذا المستوى من الموثوقية للحالة المعروضة في المثال 1.

المحلول

مستوى الثقة هو γ = 75٪ = 0.75 ، والذي يرتبط بمستوى الأهمية α من خلال العلاقة γ = (1 - α) ، بحيث يكون مستوى الأهمية α = 1 - 0.75 = 0 ، 25.

هذا يعني أن الاحتمال العادي التراكمي بين-و Zγ هو:

الفوسفور (Z ≤ Zγ) = 1 - 0.125 = 0.875

وهو ما يتوافق مع قيمة Zγ البالغة 1.1503 ، كما هو موضح في الشكل 3.

الشكل 3. تحديد عامل Zγ المقابل لمستوى ثقة 75٪. المصدر: F. Zapata من خلال Geogebra.

بمعنى آخر ، خطأ أخذ العينات هو E = Zγ ⋅ (σ / √n) = 1.15 ⋅ (σ / √n).

عند تطبيقه على البيانات من المثال 1 ، فإنه يعطي خطأ:

E = 1.15 * 0.15 كجم = 0.17 كجم

بمستوى ثقة 75٪.

- تمرين 5

ما هو مستوى الثقة إذا كانت Z _{α / 2} = 2.4؟

المحلول

الفوسفور (Z ≤ Z _{α / 2}) = 1 - α / 2

P (Z ≤ 2.4) = 1 - α / 2 = 0.9918 → α / 2 = 1 - 0.9918 = 0.0082 → α = 0.0164

مستوى الأهمية هو:

α = 0.0164 = 1.64٪

وأخيرًا ، يظل مستوى الثقة:

1- α = 1 - 0.0164 = 100٪ - 1.64٪ = 98.36٪

المراجع

1. Canavos، G. 1988. الاحتمالية والإحصاء: التطبيقات والأساليب. ماكجرو هيل.
2. Devore، J. 2012. الاحتمالية والإحصاء للهندسة والعلوم. الثامن. الإصدار. سينجاج.
3. ليفين ، ر. 1988. إحصائيات للمسؤولين. الثاني. الإصدار. برنتيس هول.
4. سودمان ، س. 1982. طرح الأسئلة: دليل عملي لتصميم الاستبيان. سان فرانسيسكو. جوسي باس.
5. والبول ، ر. 2007. الاحتمالات والإحصاء للهندسة والعلوم. بيرسون.
6. وناكوت ، تي إتش و آر جي ووناكوت. 1990. إحصاءات تمهيدية. الطبعة الخامسة وايلي
7. ويكيبيديا. خطأ المعاينه. تم الاسترجاع من: en.wikipedia.com
8. ويكيبيديا. هامش الخطأ. تم الاسترجاع من: en.wikipedia.com