الكسور الجزئية: حالات وأمثلة - رياضيات - 2025

و كسور جزئية هي الكسور التي شكلتها متعددو الحدود، والذي يمكن أن يكون القاسم متعدد الحدود الخطي أو من الدرجة الثانية، وكذلك قد تثار إلى السلطة. في بعض الأحيان عندما يكون لدينا دوال نسبية ، يكون من المفيد جدًا إعادة كتابة هذه الدالة كمجموع من الكسور الجزئية أو الكسور البسيطة.

هذا لأنه بهذه الطريقة يمكننا معالجة هذه الوظائف بطريقة أفضل ، خاصة في الحالات التي يكون فيها من الضروري دمج التطبيق المذكور. الدالة الكسرية هي ببساطة حاصل القسمة بين كثيرتي حدود ، ويمكن أن تكون صحيحة أو غير صحيحة.

إذا كانت درجة كثير حدود البسط أقل من المقام ، فإنها تسمى دالة منطقية مناسبة ؛ خلاف ذلك ، يُعرف باسم دالة عقلانية غير مناسبة.

تعريف

عندما يكون لدينا دالة كسرية غير مناسبة ، يمكننا قسمة كثير حدود البسط على كثير حدود المقام ، وبالتالي إعادة كتابة الكسر p (x) / q (x) ، باتباع خوارزمية القسمة كـ t (x) + s (x) / q (x) ، حيث t (x) هي كثيرة الحدود و s (x) / q (x) دالة منطقية مناسبة.

الكسر الجزئي هو أي وظيفة مناسبة لكثيرات الحدود ، والتي يكون مقامها على الشكل (ax + b) ⁿ أو (ax ² + bx + c) ⁿ ، إذا كان الفأس متعدد الحدود ² + bx + c ليس له جذور حقيقية ويكون n عددًا طبيعي >> صفة.

لإعادة كتابة دالة كسرية في كسور جزئية ، فإن أول شيء يجب فعله هو تحليل المقام q (x) كمنتج لعوامل خطية و / أو تربيعية. بمجرد القيام بذلك ، يتم تحديد الكسور الجزئية ، والتي تعتمد على طبيعة هذه العوامل.

حالات

نحن نعتبر عدة حالات بشكل منفصل.

حالة 1

عوامل q (x) كلها خطية ولا تتكرر. ذلك بالقول:

ف (س) = (أ ₁ س + ب ₁) (أ ₂ س + ب ₂)… (أ _س س + ب _ث)

لا يوجد عامل خطي مطابق لعامل آخر. عند حدوث هذه الحالة نكتب:

ص (س) / ف (س) = أ ₁ / (أ ₁ س + ب ₁) + أ ₂ / (أ ₂ س + ب ₂)… + أ _ث / (أ _س س + ب _ث).

حيث A ₁ ، A ₂ ،…، A _s هي الثوابت التي يجب إيجادها.

مثال

نرغب في تحليل الوظيفة الكسرية إلى كسور بسيطة:

(x - 1) / (x ³ + 3x ² + 2x)

ننتقل إلى تحليل المقام ، أي:

س ³ + ³ س ² + 2 س = س (س + 1) (س + 2)

ثم:

(س - 1) / (س ³ + ³ س ² + 2 س) = (س - 1) / س (س + 1) (س + 2)

(س - 1) / س (س + 1) (س + 2) = أ / س + ب / (س + 1) + ج / (س + 2)

بتطبيق المضاعف المشترك الأصغر ، يمكن الحصول على ما يلي:

س - 1 = أ (س + 1) (س + 2) + ب (س + 2) س + ج (س + 1) س.

نريد الحصول على قيم الثوابت A و B و C ، والتي يمكن إيجادها بالتعويض عن الجذور التي تلغي كل حد من الحدود. استبدال 0 بـ x لدينا:

0-1 = أ (0 + 1) (0 + 2) + ب (0 + 2) 0 + ج (0 + 1) 0.

- 1 = 2 أ

أ = - 1/2.

الاستبدال - 1 مقابل x لدينا:

- 1 - 1 = أ (- 1 + 1) (- 1 + 2) + ب (- 1 + 2) (- 1) + ج (- 1 + 1) (- 1).

- 2 = - ب

ب = 2.

استبدال - 2 لـ x لدينا:

- 2-1 = أ (- 2 + 1) (- 2 + 2) + ب (- 2 + 2) (- 2) + ج (- 2 + 1) (- 2).

-3 = 2 درجة مئوية

C = –3 / 2.

بهذه الطريقة يتم الحصول على القيم A = –1/2 و B = 2 و C = –3/2.

هناك طريقة أخرى للحصول على قيم A و B و C. إذا كانت على الجانب الأيمن من المعادلة x - 1 = A (x + 1) (x + 2) + B (x + 2) x + C (x + 1) x نجمع المصطلحات ، لدينا:

س - 1 = (أ + ب + ج) × ² + (3 أ + 2 ب + ج) س + 2 أ.

نظرًا لأن هذه المساواة في كثيرات الحدود ، فلدينا أن المعاملات على الجانب الأيسر يجب أن تكون مساوية لتلك الموجودة في الجانب الأيمن. ينتج عن هذا نظام المعادلات التالي:

أ + ب + ج = 0

3 أ + 2 ب + ج = 1

2 أ = - 1

لحل نظام المعادلات هذا ، نحصل على النتائج A = –1/2 ، B = 2 ، و C = -3/2.

أخيرًا ، استبدال القيم التي حصلنا عليها:

(س - 1) / س (س + 1) (س + 2) = - 1 / (2 س) + 2 / (س + 1) - 3 / (2 (س + 2)).

الحالة 2

عوامل q (x) كلها خطية وبعضها متكرر. افترض أن (ax + b) عامل يكرر مرات "s" ؛ إذن ، لهذا العامل يتوافق مع مجموع "الكسور الجزئية".

أ _ق / (فأس + ب) ^ث + أ _{ث -1} / (فأس + ب) ^{ث -1} +… + أ ₁ / (فأس + ب).

حيث A _s ، A _s-1 ،… ، A ₁ هي الثوابت التي يتعين تحديدها. في المثال التالي سنبين كيفية تحديد هذه الثوابت.

مثال

تحلل إلى كسور جزئية:

(x - 1) / (x ² (x - 2) ³)

نكتب الدالة الكسرية كمجموع من الكسور الجزئية كما يلي:

(x - 1) / (x ² (x - 2) ³) = A / x ² + B / x + C / (x - 2) ³ + D / (x - 2) ² + E / (x - 2).

ثم:

x - 1 = A (x - 2) ³ + B (x - 2) ³ x + Cx ² + D (x - 2) x ² + E (x - 2) ² x ²

بالتعويض عن x ب 2 ، لدينا ما يلي:

7 = 4 ج ، أي ج = 7/4.

استبدال 0 بـ x لدينا:

- 1 = –8A أو A = 1/8.

استبدال هذه القيم في المعادلة السابقة وتطويرها ، لدينا ما يلي:

س - 1 = 1/8 (س ³ - 6X ² + 12X - 8) + عاشرا (س ³ - 6X ² + 12X - 8) + 7 / 4X ² + DX ³ - 2DX ² + تحويلة ² (س ² - 4X + 4)

x - 1 = (B + E) × ⁴ + (1/8 - 6B + D - 4E) × ³ + (- + 12B + 7/4 - 2D + 4E) × ² + (3/2 - 8B) س - 1.

معادلة المعاملات ، نحصل على نظام المعادلات التالي:

ب + ه = 0 ؛

1 / 8-6B + D-4E = 1 ؛

- 3/4 + 12B + 7/4 - 2D + 4E = 0

3/2 - 8 ب = 0.

حل النظام لدينا:

ب = 3/16 ؛ د = 5/4 ؛ ه = - 3/16.

لهذا ، علينا:

(x - 1) / (x ² (x - 2) ³) = (1/8) / x ² + (3/16) / x + (7/4) / (x - 2) ³ + (5 / 4) / (x - 2) ² - (3/16) / (x - 2).

الحالة 3

عوامل q (x) خطية تربيعية ، بدون أي عوامل تربيعية متكررة. في هذه الحالة ، سيتوافق العامل التربيعي (ax ² + bx + c) مع الكسر الجزئي (Ax + B) / (ax ² + bx + c) ، حيث يكون الثوابت A و B هي القيم التي يجب تحديدها.

يوضح المثال التالي كيفية المتابعة في هذه الحالة

مثال

حلل إلى كسور بسيطة a (x + 1) / (x ^3-1).

ننتقل أولاً إلى تحليل المقام ، مما يعطينا نتيجة لذلك:

(س - 1) = (س - 1) (س + س +1).

يمكننا ملاحظة أن (x ² + x + 1) هي كثيرة حدود تربيعية غير قابلة للاختزال ؛ أي أنه ليس له جذور حقيقية. سيكون تحللها إلى كسور جزئية كما يلي:

(x + 1) / (x - 1) (x ² + x +1) = A / (x - 1) + (Bx + C) / (x ² + x +1)

من هذا نحصل على المعادلة التالية:

س + 1 = (أ + ب) × ² + (أ - ب + ج) × + (أ - ج)

باستخدام المساواة في كثيرات الحدود ، نحصل على النظام التالي:

أ + ب = 0 ؛

أ-ب + ج = 1 ؛

أ - ج = 1 ؛

من هذا النظام لدينا أن A = 2/3 ، B = - 2/3 و C = 1/3. الاستبدال ، لدينا ما يلي:

(x + 1) / (x - 1) (x ² + x +1) = 2/3 (x - 1) - (2x + 1) / 3 (x ² + x +1).

الحالة 4

أخيرًا ، الحالة 4 هي الحالة التي تكون فيها عوامل q (x) خطية وتربيعية ، حيث يتم تكرار بعض العوامل التربيعية الخطية.

في هذه الحالة ، إذا كان (ax ² + bx + c) عامل تربيعي يكرر "s" مرات ، فإن الكسر الجزئي المقابل للعامل (ax ² + bx + c) سيكون:

(A ₁ x + B) / (ax ² + bx + c) +… + (A _s-1 x + B _s-1) / (ax ² + bx + c) ^s-1 + (A _s x + B _ق) / (فأس ² + ب س + ج) ^ق

حيث A _s ، A _s-1 ،… ، A و B _s ، B _s-1 ،… ، B هي الثوابت التي يتعين تحديدها.

مثال

نريد تحليل الدالة الكسرية التالية إلى كسور جزئية:

(x - 2) / (x (x ² - 4x + 5) ²)

نظرًا لأن x ² - 4x + 5 هو عامل تربيعي غير قابل للاختزال ، فلدينا تحللها إلى كسور جزئية بواسطة:

(x - 2) / (x (x ² - 4x + 5) ²) = A / x + (Bx + C) / (x ² - 4x +5) + (Dx + E) / (x ² - 4x + 5) ²

التبسيط والتطوير لدينا:

x - 2 = A (x ² - 4x + 5) ² + (Bx + C) (x ² - 4x + 5) x + (Dx + E) x

س - 2 = (أ + ب) × ⁴ + (- 8 أ - 4 ب + ج) × ³ + (26 أ + 5 ب - 4 ج + د) × ² + (- 40 ألف + 5 ج + ه) × + 25 أ.

مما سبق لدينا نظام المعادلات التالي:

أ + ب = 0 ؛

- 8 أ - 4 ب + ج = 0 ؛

26 أ + 5 ب - 4 ج + د = 0 ؛

- 40A + 5C + E = 1 ؛

25 أ = 2.

عند حل النظام ، يتبقى لنا:

أ = - 2/25 ، ب = 2/25 ، ج = - 8/25 ، د = 2/5 ، هـ = - 3/5.

عن طريق استبدال القيم التي تم الحصول عليها لدينا:

(x - 2) / (x (x ² - 4x + 5) ²) = -2 / 25x + (2x - 8) / 25 (x ² - 4x +5) + (2x - 3) / 5 (x ²⁾ - 4x + 5) ²

التطبيقات

حساب التكامل

تستخدم الكسور الجزئية أساسًا لدراسة التفاضل والتكامل. فيما يلي بعض الأمثلة على كيفية إجراء التكاملات باستخدام الكسور الجزئية.

مثال 1

نرغب في حساب تكامل:

يمكننا أن نرى أن المقام q (x) = (t + 2) ² (t + 1) يتكون من عوامل خطية حيث يتكرر أحد هذه العوامل ؛ هذا هو سبب وجودنا في الحالة الثانية.

علينا أن:

1 / (t + 2) ² (t + 1) = A / (t + 2) ² + B / (t + 2) + C / (t + 1)

نعيد كتابة المعادلة ولدينا:

1 = A (t + 1) + B (t + 2) (t + 1) + C (t + 2) ²

إذا كانت t = - 1 ، فلدينا:

1 = أ (0) + ب (1) (0) + ج (1)

1 = ج

إذا كانت t = - 2 ، فهذا يعطينا:

1 = أ (- 1) + ب (0) (- 1) + ج (0)

أ = - 1

ثم ، إذا كانت t = 0:

1 = أ (1) + ب (2) (1) + ج (2)

استبدال قيم A و C:

1 = - 1 + 2 ب + 4

1 = 3 + 2 ب

2 ب = - 2

مما سبق لدينا أن ب = - 1.

نعيد كتابة التكامل على النحو التالي:

ننتقل إلى حلها بطريقة الاستبدال:

هذه هي النتيجة:

مثال 2

حل التكامل التالي:

في هذه الحالة يمكننا أن عامل عبد القدير (س) = س ² - 4 عندما ف (س) = (س - 2) (س + 2). من الواضح أننا في حالة 1. لذلك:

(5x - 2) / (x - 2) (x + 2) = A / (x - 2) + B / (x + 2)

يمكن التعبير عنها أيضًا على النحو التالي:

5 س - 2 = أ (س + 2) + ب (س - 2)

إذا كانت س = - 2 ، لدينا:

- 12 = أ (0) + ب (- 4)

ب = 3

وإذا كانت س = 2:

8 = أ (4) + ب (0)

أ = 2

وهكذا ، يتبقى لنا حل التكامل المعطى يعادل الحل:

هذا يعطينا نتيجة لذلك:

مثال 3

حل التكامل:

لدينا q (x) = 9x ⁴ + x ² ، والذي يمكننا تحليله في q (x) = x ² (9x ² + 1).

هذه المرة لدينا عامل خطي متكرر وعامل تربيعي ؛ أي أننا في حالة 3.

علينا أن:

1 / x ² (9x ² + 1) = A / x ² + B / x + (Cx + D) / (9x ² + 1)

1 = A (9x ² + 1) + Bx (9x ² + 1) + Cx ² + Dx ²

عند تجميع واستخدام كثيرات حدود متساوية ، لدينا:

1 = (9B + C) x + (9A + D) x + Bx + A

أ = 1 ؛

ب = 0 ؛

9 أ + د = 0 ؛

9 ب + ج = 0

من نظام المعادلات هذا لدينا:

D = - 9 و C = 0

بهذه الطريقة ، لدينا:

من خلال حل ما سبق ، لدينا:

قانون العمل الجماهيري

يوجد تطبيق مثير للاهتمام للكسور الجزئية المطبقة على حساب التفاضل والتكامل في الكيمياء ، وبشكل أكثر دقة في قانون الحركة الجماعية.

لنفترض أن لدينا مادتين ، A و B ، تتحدان معًا وتشكلان مادة C ، بحيث يكون مشتق كمية C بالنسبة إلى الوقت متناسبًا مع حاصل ضرب مقادير A و B في أي لحظة.

يمكننا التعبير عن قانون العمل الجماهيري على النحو التالي:

في هذا التعبير α هو العدد الأولي للجرامات المقابل لـ A و العدد الأولي للجرام المقابل لـ B.

علاوة على ذلك ، تمثل r و s عدد جرامات A و B على التوالي التي تتحد لتكوين r + s جرام من C. من جانبها ، تمثل x عدد جرامات المادة C في الوقت t ، و K هي ثابت التناسب. يمكن إعادة كتابة المعادلة أعلاه على النحو التالي:

إجراء التغيير التالي:

لدينا أن المعادلة تصبح:

من هذا التعبير يمكننا الحصول على:

حيث إذا كان a b ، فيمكن استخدام الكسور الجزئية للتكامل.

مثال

لنأخذ على سبيل المثال المادة C التي تنشأ من دمج مادة A مع B ، بحيث يتم الوفاء بقانون الكتلة حيث تكون قيمتا a و b 8 و 6 على التوالي. اكتب معادلة تعطينا قيمة جرام C كدالة زمنية.

باستبدال القيم الواردة في قانون الكتلة المعطى ، لدينا:

عند فصل المتغيرات لدينا:

هنا يمكن كتابة 1 / (8 - x) (6 - x) كمجموع للكسور الجزئية ، على النحو التالي:

وهكذا ، 1 = أ (6 - س) + ب (8 - س)

إذا عوضنا عن x بـ 6 ، فسنحصل على B = 1/2 ؛ وبالتعويض بـ 8 عن x ، يصبح لدينا A = - 1/2.

التكامل بواسطة الكسور الجزئية لدينا:

هذا يعطينا نتيجة لذلك:

المعادلات التفاضلية: معادلة لوجستية

تطبيق آخر يمكن أن يعطى للكسور الجزئية في المعادلة التفاضلية اللوجيستية. في النماذج البسيطة ، نجد أن معدل نمو السكان يتناسب مع حجمه ؛ ذلك بالقول:

تعتبر هذه الحالة مثالية وتعتبر واقعية إلى أن يحدث أن الموارد المتاحة في النظام غير كافية لدعم السكان.

في هذه المواقف ، الشيء الأكثر منطقية هو التفكير في وجود سعة قصوى ، والتي سنسميها L ، والتي يمكن للنظام أن يحافظ عليها ، وأن معدل النمو يتناسب مع حجم السكان مضروبًا في الحجم المتاح. هذه الحجة تؤدي إلى المعادلة التفاضلية التالية:

هذا التعبير يسمى المعادلة التفاضلية اللوجستية. إنها معادلة تفاضلية قابلة للفصل يمكن حلها بطريقة تكامل الكسر الجزئي.

مثال

من الأمثلة على ذلك النظر في عدد السكان الذي ينمو وفقًا للمعادلة التفاضلية اللوجستية التالية y '= 0.0004y (1000 - y) ، والتي تكون بياناتها الأولية 400. نريد معرفة حجم السكان في الوقت t = 2 ، حيث يتم قياس t في سنوات.

إذا كتبنا y 'مع تدوين Leibniz كدالة تعتمد على t ، فلدينا:

يمكن حل التكامل على الجانب الأيسر باستخدام طريقة تكامل الكسر الجزئي:

يمكننا إعادة كتابة هذه المساواة الأخيرة على النحو التالي:

- بالتعويض عن y = 0 ، لدينا أن A يساوي 1/1000.

- بالتعويض عن y = 1000 لدينا أن B تساوي 1/1000.

مع هذه القيم ، يكون التكامل كما يلي:

الحل هو:

باستخدام البيانات الأولية:

عند المقاصة ولدينا:

ثم لدينا ذلك عند t = 2:

في الختام ، بعد عامين يبلغ حجم السكان حوالي 597.37.

المراجع

1. أ ، را (2012). الرياضيات 1. جامعة لوس أنديز. مجلس المطبوعات.
2. كورتيز ، آي ، وسانشيز ، سي (بدون تاريخ). 801 تكاملات محسومة. الجامعة التجريبية الوطنية في تاتشيرا.
3. ليثولد ، إل (1992). الحساب مع الهندسة التحليلية. HARLA، SA
4. بورسيل ، EJ ، Varberg ، D. ، & Rigdon ، SE (2007). عملية حسابية. المكسيك: تعليم بيرسون.
5. ساينز ، ج. (بدون تاريخ). حساب التكامل. الوتر.