وظيفة متجانسة: كيفية الرسم ، تمارين حلها - رياضيات - 2026

إن الوظيفة المتجانسة أو المنطقية ng هي نوع من الوظيفة الرياضية تتكون من مكونين لقسمة متعددة الحدود. إنه يطيع النموذج P (x) / Q (x) ، حيث لا يمكن أن تأخذ Q (x) شكلًا فارغًا.

على سبيل المثال ، التعبير (2x - 1) / (x + 3) يتوافق مع دالة homographic مع P (x) = 2x - 1 و Q (x) = x + 3.

المصدر: pixabay.com

تشكل الوظائف المتجانسة قسمًا لدراسة الوظائف التحليلية ، يتم معالجتها من نهج الرسوم البيانية ومن دراسة المجال والمدى. هذا بسبب القيود والأسباب التي يجب تطبيقها على قراراتك.

ما هي وظيفة متجانسة؟

إنها تعبيرات عقلانية لمتغير واحد ، على الرغم من أن هذا لا يعني أنه لا يوجد تعبير مشابه لمتغيرين أو أكثر ، حيث سيكون موجودًا بالفعل في وجود أجسام في الفضاء تخضع لنفس أنماط الوظيفة المتجانسة في المستوى.

لديهم جذور حقيقية في بعض الحالات ، ولكن يتم الحفاظ دائمًا على وجود خطوط مقاربة رأسية وأفقية ، بالإضافة إلى فترات النمو والنقصان. عادةً ما يكون هناك اتجاه واحد فقط من هذه الاتجاهات ، ولكن هناك تعبيرات قادرة على إظهار كليهما في تطورها.

مجالها مقيد بجذور المقام ، حيث لا يوجد قسمة على صفر للأعداد الحقيقية.

دالة متجانسة مختلطة

إنها متكررة جدًا في الحساب ، خاصةً التفاضلية والتكاملية ، كونها ضرورية للاشتقاق والمضادة للمشتقات بموجب صيغ معينة. يتم سرد بعض من الأكثر شيوعا أدناه.

حتى الجذر النوني للدالة المتجانسة

استبعد جميع عناصر المجال التي تجعل الوسيطة سلبية. الجذور الموجودة في كل قيم إنتاجية متعددة الحدود تساوي صفرًا عند تقييمها.

يتم قبول هذه القيم من قبل الراديكالية ، على الرغم من أنه يجب النظر في القيود الأساسية لوظيفة homographic. حيث لا يمكن لـ Q (x) تلقي قيم فارغة.

يجب اعتراض حلول الفترات:

لتحقيق حل التقاطعات ، يمكن استخدام طريقة الإشارة ، من بين أمور أخرى.

لوغاريتم دالة متجانسة

من الشائع أيضًا العثور على كلا التعبيرين في أحدهما ، من بين مجموعات أخرى محتملة.

كيف ترسم دالة متجانسة؟

تتوافق الدوال المتجانسة بيانياً مع القطوع الزائدة في المستوى. والتي يتم نقلها أفقيًا وعموديًا وفقًا للقيم التي تحدد كثيرات الحدود.

هناك العديد من العناصر التي يجب أن نحددها لرسم بياني لوظيفة منطقية أو متجانسة.

ملكية

الأول سيكون جذور أو أصفار الدالتين P و Q.

سيتم الإشارة إلى القيم التي تم تحقيقها على المحور السيني للرسم البياني. الإشارة إلى تقاطعات الرسم البياني مع المحور.

الخط المقارب الرأسي

إنها تتوافق مع الخطوط الرأسية ، التي تحدد الرسم البياني وفقًا للاتجاهات التي تقدمها. يلمسون المحور السيني عند القيم التي تجعل المقام صفراً ولن يتأثروا أبداً بمخطط الدالة المتجانسة.

خط مقارب أفقي

يمثله خط غرزة أفقي ، وهو يرسم حدًا لن يتم تحديد الوظيفة عند النقطة المحددة. سيتم ملاحظة الاتجاهات قبل هذا الخط وبعده.

لحسابها ، يجب أن نلجأ إلى طريقة مشابهة لطريقة L'Hopital ، تُستخدم لحل حدود الوظائف المنطقية التي تميل إلى اللانهاية. يجب أن نأخذ معاملات القوى العظمى في بسط الدالة ومقامها.

على سبيل المثال ، التعبير التالي له خط مقارب أفقي عند y = 2/1 = 2.

فاصل النمو

سيكون للقيم الإحداثي اتجاهات مميزة على الرسم البياني بسبب الخطوط المقاربة. في حالة النمو ، ستزيد الدالة في القيم حيث يتم تقييم عناصر المجال من اليسار إلى اليمين.

إنقاص الفاصل

ستنخفض قيم الإحداثي حيث يتم تقييم عناصر المجال من اليسار إلى اليمين.

القفزات الموجودة في القيم لن تؤخذ في الاعتبار كزيادة أو نقصان. يحدث هذا عندما يكون الرسم البياني قريبًا من خط مقارب رأسي أو أفقي ، حيث يمكن أن تختلف القيم من اللانهاية إلى اللانهاية السالبة والعكس صحيح.

تقاطع ص

من خلال ضبط قيمة x على صفر ، نجد التقاطع مع المحور الإحداثي. هذه بيانات مفيدة للغاية للحصول على الرسم البياني للدالة الكسرية.

أمثلة

حدد الرسم البياني للتعبيرات التالية ، وابحث عن جذورها ، وخطوط التقارب الرأسية والأفقية ، وفترات الزيادة والنقصان ، والتقاطع مع المحور الإحداثي.

التمرين 1

ليس للتعبير جذور ، لأن قيمته ثابتة في البسط. القيد الذي سيتم تطبيقه سيكون x مختلفًا عن الصفر. مع خط مقارب أفقي عند y = 0 ، وخط مقارب عمودي عند x = 0. لا توجد نقاط تقاطع مع المحور y.

يلاحظ أنه لا توجد فترات نمو حتى مع القفزة من سالب إلى زائد لانهاية عند x = 0.

فاصل النقصان هو

المعرف: (-؛ o) U (0، ∞)

التمرين 1.2

لوحظ وجود 2 كثيرات حدود كما في التعريف الأولي ، لذلك ننتقل وفقًا للخطوات المحددة.

الجذر الذي تم العثور عليه هو x = 7/2 ، والذي ينتج من تعيين الدالة مساوية للصفر.

الخط المقارب العمودي عند x = - 4 ، وهي القيمة المستبعدة من المجال بواسطة شرط الوظيفة المنطقية.

الخط المقارب الأفقي عند y = 2 ، هذا بعد قسمة 2/1 ، معاملات متغيرات الدرجة 1.

لها تقاطع ص = - 7/4. تم إيجاد القيمة بعد معادلة x بالصفر.

تتزايد الدالة باستمرار ، مع قفزة من موجب إلى سالب ما لا نهاية حول الجذر x = -4.

فترة نموها هي (-∞ ، - 4) U (- 4 ، ∞).

عندما تقترب قيمة x من سالب ما لا نهاية ، تأخذ الدالة قيمًا قريبة من 2. يحدث الشيء نفسه عندما تقترب x من اللانهاية أكثر.

يقترب التعبير من زائد اللانهاية عند التقييم من أجل - 4 من اليسار ، وسالب اللانهاية عند القيمة - 4 من اليمين.

تمرين 2

لوحظ الرسم البياني للدالة المتجانسة التالية:

وصف سلوكه وجذوره وخطوطه المقاربة الرأسية والأفقية وفترات النمو والنقصان والتقاطع مع المحور الإحداثي.

يخبرنا مقام التعبير عن طريق تحليل الفرق بين المربعات (x + 1) (x - 1) قيم الجذور. بهذه الطريقة ، يمكن تعريف كلا الخطوط المقاربة العمودية على النحو التالي:

س = -1 و س = 1

يتوافق الخط المقارب الأفقي مع محور الإحداثيات لأن أعلى قوة موجودة في المقام.

جذرها الوحيد محدد بـ x = -1/3.

ينخفض ​​التعبير دائمًا من اليسار إلى اليمين. تقترب من الصفر عندما تقترب من اللانهاية. ناقص ما لا نهاية عندما تقترب من -1 من اليسار. A زائد ما لا نهاية لأنها تقترب من -1 من اليمين. أقل ما لا نهاية عند الاقتراب من 1 من اليسار وأكثر لانهائية عند الاقتراب من 1 من اليمين.

المراجع

1. التقريب مع وظائف عقلانية. دونالد جي نيومان. American Mathematical Soc.، Dec 31. 1979
2. وظائف عقلانية متعامدة. UNIVERSIDAD DE LA LAGUNA TENERIFE ADHEMAR BULTHEEL، Adhemar Bultheel، Pablo Gonzalez-Vera، Erik Hendriksen، Olav Njastad. مطبعة جامعة كامبريدج ، 13 فبراير. 1999
3. التقريب العقلاني للوظائف الحقيقية. ب بتروشيف ، وفاسيل أتاناسوف بوبوف. مطبعة جامعة كامبريدج ، 3 مارس. 2011
4. الدوال الجبرية. جيلبرت أميس بليس. شركة Courier Corporation ، 1 يناير 2004
5. مجلة الجمعية الرياضية الإسبانية ، المجلدات 5-6. الجمعية الرياضية الإسبانية ، مدريد 1916