- Homothecy
- الخصائص
- أنواع
- تماثل مباشر
- التماثل العكسي
- تكوين
- أمثلة
- المثال الأول
- المحلول
- المثال الثاني
- المحلول
- المراجع
و تمدد هو تغيير الهندسي في الطائرة التي يمكن مضاعفتها المسافات من نقطة ثابتة تسمى المركز (O) بعامل مشترك. بهذه الطريقة ، تتوافق كل نقطة P مع نقطة أخرى P 'ناتج التحويل ، وتتوافق هذه مع النقطة O.
لذا ، فإن التماثل هو تطابق بين شكلين هندسيين ، حيث تسمى النقاط المحولة متجانسة ، ويتم محاذاة هذه مع نقطة ثابتة ومع مقاطع موازية لبعضها البعض.
Homothecy
Homothecy هو تحويل لا يحتوي على صورة متطابقة ، لأنه من الشكل سيتم الحصول على شخصية أو أكثر بحجم أكبر أو أصغر من الشكل الأصلي ؛ وهذا يعني أن التماثل يحول المضلع إلى مضلع آخر مشابه.
من أجل تحقيق التماثل ، يجب أن تتوافق النقطة إلى النقطة والخط إلى السطر ، بحيث تتم محاذاة أزواج النقاط المتجانسة مع نقطة ثابتة ثالثة ، وهي مركز التماثل.
وبالمثل ، يجب أن تكون أزواج الخطوط التي تربط بينهما متوازية. العلاقة بين هذه الأجزاء ثابتة تسمى نسبة التماثل (ك) ؛ بهذه الطريقة يمكن تعريف التماثل على النحو التالي:
لتنفيذ هذا النوع من التحول ، نبدأ باختيار نقطة عشوائية ، والتي ستكون مركز التماثل.
من هذه النقطة ، يتم رسم مقاطع الخط لكل رأس من الشكل المراد تحويله. يتم إعطاء المقياس الذي يتم فيه استنساخ الشكل الجديد بنسبة التماثل (k).
الخصائص
واحدة من الخصائص الرئيسية للتماثل هو أنه ، من خلال السبب التماثل (ك) ، فإن جميع الشخصيات المتماثلة متشابهة. من بين الخصائص البارزة الأخرى ما يلي:
- مركز homothecia (O) هو النقطة المزدوجة الوحيدة ويتحول هذا إلى نفسه ؛ أي أنها لا تختلف.
- الخطوط التي تمر عبر المركز تتحول إلى نفسها (تكون مزدوجة) ، لكن النقاط التي يتكون منها ليست مزدوجة.
- يتم تحويل الخطوط التي لا تمر عبر المركز إلى خطوط متوازية ؛ بهذه الطريقة ، تظل زوايا التماثل كما هي.
- صورة المقطع بتماثل المركز O والنسبة k ، هي قطعة موازية لهذا ولها k في طولها. على سبيل المثال ، كما يمكن رؤيته في الصورة التالية ، سينتج عن المقطع AB من homothecy مقطع آخر A'B '، بحيث يكون AB موازيًا لـ A'B' وسيكون k:
- الزوايا المتجانسة متطابقة. أي أن لديهم نفس المقياس. لذلك ، فإن صورة الزاوية هي زاوية لها نفس السعة.
من ناحية أخرى ، لدينا أن التماثل يختلف باختلاف قيمة نسبته (ك) ، ويمكن أن تحدث الحالات التالية:
- إذا كان الثابت k = 1 ، فإن جميع النقاط ثابتة لأنها تحول نفسها. وهكذا ، يتطابق الشكل المتماثل مع الشكل الأصلي وسيطلق على التحول وظيفة الهوية.
- إذا ك 1 ، فإن النقطة الثابتة الوحيدة ستكون مركز التماثل (O).
- إذا كانت k = -1 ، فإن التناسق يصبح تناظرًا مركزيًا (C) ؛ أي يحدث دوران حول C بزاوية 180 أو.
- إذا كان k> 1 ، فسيكون حجم الشكل المحول أكبر من الحجم الأصلي.
- إذا كان 0 <k <1 ، فسيكون حجم الشكل المحول أصغر من الحجم الأصلي.
- إذا كان -1 <ك <0 ، فسيكون حجم الشكل المحول أصغر وسيتم تدويره بالنسبة إلى الأصل.
- إذا كانت k <-1 ، فسيكون حجم الشكل المحول أكبر وسيتم تدويره بالنسبة إلى الأصل.
أنواع
يمكن أيضًا تصنيف التماثل إلى نوعين ، اعتمادًا على قيمة نسبته (ك):
تماثل مباشر
يحدث إذا كان الثابت k> 0 ؛ أي أن النقاط المتجانسة على نفس الجانب فيما يتعلق بالمركز:
سيكون عامل التناسب أو نسبة التشابه بين الأرقام التماثلية المباشرة موجبة دائمًا.
التماثل العكسي
يحدث إذا كان الثابت k <0 ؛ أي أن النقاط الأولية وتماثلاتها تقع على طرفي نقيض فيما يتعلق بمركز التماثل المتماثل ولكنها تتماشى معه. سيكون المركز بين الشكلين:
سيكون عامل التناسب أو نسبة التشابه بين الأرقام التماثلية العكسية سالبة دائمًا.
تكوين
عندما يتم تنفيذ عدة حركات متتالية حتى الحصول على رقم مساوٍ للأصل ، تحدث تركيبة من الحركات. تكوين العديد من الحركات هو أيضا حركة.
ينتج عن التكوين بين اثنين من homothecies جديد homotheci ؛ أي أن هناك منتجًا من التماثلات حيث سيتم محاذاة المركز مع مركز التحولين الأصليين ، والنسبة (k) هي حاصل ضرب النسبتين.
وهكذا ، في تكوين اثنين من المتجانسات H 1 (O 1 ، k 1) و H 2 (O 2 ، k 2) ، فإن مضاعفة نسبهم: k 1 xk 2 = 1 سينتج عنه تماثل النسبة k 3 = ك 1 XK 2. سيكون مركز هذا التماثل الجديد (O 3) على الخط O 1 O 2.
Homothecia يتوافق مع تغيير مسطح لا رجوع فيه ؛ إذا تم تطبيق تماثلان لهما نفس المركز والنسبة ولكن بعلامة مختلفة ، فسيتم الحصول على الرقم الأصلي.
أمثلة
المثال الأول
طبق تماثلًا على المضلع المحدد للمركز (O) ، الواقع على بعد 5 سم من النقطة A ونسبته k = 0.7.
المحلول
يتم اختيار أي نقطة كمركز للتماثل ، ومن هذه النقطة يتم رسم الأشعة من خلال رؤوس الشكل:
المسافة من المركز (O) إلى النقطة A هي OA = 5 ؛ بهذا ، يمكن تحديد مسافة إحدى النقاط المتجانسة (OA ') ، مع العلم أيضًا أن k = 0.7:
OA '= kx OA.
OA '= 0.7 × 5 = 3.5.
يمكن إجراء العملية لكل رأس ، أو يمكن أيضًا رسم المضلع المتماثل مع تذكر أن المضلعين لهما جوانب متوازية:
أخيرًا ، يبدو التحول كما يلي:
المثال الثاني
قم بتطبيق تماثل على المضلع المحدد مع المركز (O) ، والذي يقع على بعد 8.5 سم من النقطة C ونسبته y k = -2.
المحلول
المسافة من المركز (O) إلى النقطة C هي OC = 8.5 ؛ باستخدام هذه البيانات ، من الممكن تحديد مسافة إحدى النقاط المتجانسة (OC ') ، مع العلم أيضًا أن k = -2:
OC '= kx OC.
OC '= -2 × 8.5 = -17
بعد رسم أجزاء رؤوس المضلع المحول ، أصبح لدينا أن النقاط الأولية وتماثلاتها تقع على طرفي نقيض بالنسبة إلى المركز:
المراجع
- ألفارو ريندون ، أركنساس (2004). الرسم الفني: دفتر النشاط.
- أنطونيو ألفاريز دي لا روزا ، جيه إل (2002). تقارب ، تنادد و Homothecy.
- باير ، ر. (2012). الجبر الخطي والهندسة الإسقاطية. شركة البريد السريع.
- هيبرت ، واي (1980). الرياضيات العامة والاحتمالات والإحصاء.
- Meserve ، BE (2014). المفاهيم الأساسية للهندسة. شركة البريد السريع.
- ناحبين ، ل. (1980). مقدمة في الجبر. العودة.