المنطق الرياضي: الأصل ، ما يدرسه ، الأنواع - رياضيات - 2026

و المنطق الرياضي أو المنطق الرمزي هو اللغة الرياضية التي تغطي الأدوات التي من خلالها يمكن للمرء أن يؤكد أو ينفي والتفكير الرياضي.

من المعروف أنه لا يوجد لبس في الرياضيات. بالنظر إلى حجة رياضية ، فهي إما صالحة أو ببساطة ليست كذلك. لا يمكن أن تكون خاطئة وصحيحة في نفس الوقت.

يتمثل أحد الجوانب الخاصة للرياضيات في أنها تتمتع بلغة رسمية وصارمة يمكن من خلالها تحديد صحة الحجة. ما الذي يجعل منطقًا معينًا أو أي برهان رياضي غير قابل للدحض؟ هذا هو كل ما يدور حوله المنطق الرياضي.

وبالتالي ، فإن المنطق هو تخصص الرياضيات المسؤول عن دراسة الاستدلال الرياضي والبراهين ، وتوفير الأدوات لتكون قادرة على استنتاج استنتاج صحيح من الجمل أو الافتراضات السابقة.

للقيام بذلك ، يتم استخدام البديهيات والجوانب الرياضية الأخرى التي سيتم تطويرها لاحقًا.

الأصل والتاريخ

التواريخ الدقيقة فيما يتعلق بالعديد من جوانب المنطق الرياضي غير مؤكدة. ومع ذلك ، فإن معظم المراجع حول هذا الموضوع تتبع أصلها إلى اليونان القديمة.

أرسطو

تُعزى بداية المعالجة الصارمة للمنطق ، جزئيًا ، إلى أرسطو ، الذي كتب مجموعة من أعمال المنطق ، والتي تم تجميعها وتطويرها لاحقًا بواسطة فلاسفة وعلماء مختلفين ، حتى العصور الوسطى. يمكن اعتبار هذا "المنطق القديم".

لاحقًا ، في ما يُعرف بالعصر المعاصر ، تحرك لايبنيز برغبة عميقة في إنشاء لغة عالمية للتفكير رياضيًا ، كما أثر علماء الرياضيات الآخرون مثل جوتلوب فريج وجوزيبي بينو بشكل ملحوظ على تطوير المنطق الرياضي بمساهمات كبيرة ، من بينها ، البديهيات Peano ، التي تصوغ خصائص لا غنى عنها للأعداد الطبيعية.

كان للرياضيين جورج بول وجورج كانتور أيضًا تأثير كبير في هذا الوقت ، مع مساهمات مهمة في مجموعة النظرية وجداول الحقيقة ، من بين جوانب أخرى ، الجبر المنطقي (بواسطة جورج بول) وبديهية الاختيار (بقلم جورج كانتور).

هناك أيضًا Augustus De Morgan مع قوانين Morgan المعروفة ، والتي تفكر في النفي والاقتران والفصل والشرطية بين المقترحات ، ومفاتيح تطوير المنطق الرمزي ، و Jhon Venn مع مخططات Venn الشهيرة.

في القرن العشرين ، تقريبًا بين عامي 1910 و 1913 ، برز برتراند راسل وألفريد نورث وايتهيد مع نشرهما لكتاب Principia mathematica ، وهو مجموعة من الكتب التي تجمع وتطور وتفترض سلسلة من البديهيات ونتائج المنطق.

ماذا يدرس المنطق الرياضي؟

الاقتراحات

يبدأ المنطق الرياضي بدراسة الافتراضات. الاقتراح هو بيان يمكن قوله دون أي لبس إذا كان صحيحًا أم لا. فيما يلي أمثلة على المقترحات:

• 2 + 4 = 6.
• 5 ² = 35.
• في عام 1930 حدث زلزال في أوروبا.

الأول هو بيان صحيح والثاني هو بيان خاطئ. الثالث ، على الرغم من أن الشخص الذي يقرأها قد لا يعرف ما إذا كان صحيحًا أو فوريًا ، إلا أنه عبارة يمكن اختبارها وتحديد ما إذا كانت قد حدثت بالفعل أم لا.

فيما يلي أمثلة على التعبيرات التي ليست افتراضات:

• انها شقراء.
• 2 س = 6.
• هيا نلعب!
• هل تحب الافلام

في الاقتراح الأول ، لم يتم تحديد من هي ، وبالتالي لا يمكن تأكيد أي شيء. في الاقتراح الثاني ، ما يمثل "x" لم يتم تحديده. إذا قيل بدلاً من ذلك أن 2x = 6 لبعض الأعداد الطبيعية x ، فإنه في هذه الحالة يتوافق مع اقتراح ، في الواقع صحيح ، لأنه بالنسبة لـ x = 3 يكون صحيحًا.

العبارتان الأخيرتان لا تتطابقان مع الاقتراح ، حيث لا توجد طريقة لرفضهما أو تأكيدهما.

يمكن دمج اقتراحين أو أكثر (أو ربطهما) باستخدام وصلات منطقية معروفة (أو موصلات). هؤلاء هم:

• الإنكار: "إنها لا تمطر".
• مفرق: "اشترت لويزا حقيبة بيضاء أو رمادية."
• اقتران: "4 ² = 16 و 2 × 5 = 10".
• مشروط: "إذا هطل المطر ، فلن أذهب إلى صالة الألعاب الرياضية بعد ظهر اليوم."
• بشروط مزدوجة: "أذهب إلى صالة الألعاب الرياضية بعد الظهر إذا ، وفقط إذا ، لم تمطر."

يُطلق على الاقتراح الذي لا يحتوي على أي من الروابط السابقة اقتراحًا بسيطًا (أو ذريًا). على سبيل المثال ، "2 أقل من 4" اقتراح بسيط. تسمى الافتراضات التي تحتوي على بعض الوصلات بالقضايا المركبة ، مثل "1 + 3 = 4 و 4 عدد زوجي".

عادةً ما تكون البيانات التي يتم الإدلاء بها عن طريق الافتراضات طويلة ، لذلك من الممل دائمًا كتابتها كما رأينا حتى الآن. لهذا السبب ، يتم استخدام لغة رمزية. عادة ما يتم تمثيل العروض بأحرف كبيرة مثل P ، Q ، R ، S ، إلخ. والرموز الرمزية كالآتي:

لهذا السبب

على العكس من اقتراح مشروط

هو الاقتراح

و مضادة متبادلة (أو contrapositive) من اقتراح

هو الاقتراح

جداول الحقيقة

مفهوم آخر مهم في المنطق هو مفهوم جداول الحقيقة. قيم الحقيقة لمقترح ما هي احتمالان لمقترح ما: صحيح (سيتم الإشارة إليه بواسطة V وسيُقال إن قيمة الحقيقة هي V) أو خطأ (والتي سيتم الإشارة إليها بواسطة F وسيقال أن قيمتها هو حقا F).

تعتمد قيمة الحقيقة للمقترح المركب بشكل حصري على قيم الحقيقة للقضايا البسيطة التي تظهر فيه.

للعمل بشكل أكثر عمومية ، لن نأخذ في الاعتبار افتراضات محددة ، ولكن المتغيرات الافتراضية p ، q ، r ، s ، إلخ ، والتي ستمثل أي افتراضات.

مع هذه المتغيرات والوصلات المنطقية ، يتم تشكيل الصيغ الافتتاحية المعروفة ، تمامًا كما يتم بناء المقترحات المركبة.

إذا تم استبدال كل من المتغيرات التي تظهر في صيغة افتراضية بقضية ، يتم الحصول على اقتراح مركب.

فيما يلي جداول الحقيقة للوصلات المنطقية:

هناك صيغ افتراضية لا تتلقى سوى القيمة V في جدول الحقيقة الخاص بهم ، أي أن العمود الأخير من جدول الحقيقة لديه فقط القيمة V. تُعرف هذه الأنواع من الصيغ باسم الحشو. فمثلا:

التالي هو جدول الحقيقة للصيغة

يُقال أن الصيغة α تعني منطقيًا صيغة أخرى β ، إذا كانت α صحيحة في كل مرة β صحيحة. أي في جدول الحقيقة لـ α و ، الصفوف حيث α لها V ، β لها أيضًا V. نحن مهتمون فقط بالصفوف التي تحتوي α على القيمة V. تدوين الضمني المنطقي هو كما يلي:

يلخص الجدول التالي خصائص التضمين المنطقي:

يقال إن صيغتين افتراضيتين متكافئتان منطقيًا إذا كانت جداول الحقيقة الخاصة بهما متطابقة. يستخدم الترميز التالي للتعبير عن التكافؤ المنطقي:

تلخص الجداول التالية خصائص التكافؤ المنطقي:

أنواع المنطق الرياضي

هناك أنواع مختلفة من المنطق ، خاصة إذا أخذ المرء في الاعتبار المنطق العملي أو غير الرسمي الذي يشير إلى الفلسفة ، من بين مجالات أخرى.

بقدر ما يتعلق الأمر بالرياضيات ، يمكن تلخيص أنواع المنطق على النحو التالي:

• المنطق الرسمي أو الأرسطي (المنطق القديم).
• المنطق الإقتراحي: وهو مسؤول عن دراسة كل ما يتعلق بصحة الحجج والمقترحات باستخدام لغة رسمية ورمزية.
• المنطق الرمزي: يركز على دراسة المجموعات وخصائصها ، وأيضًا بلغة رسمية ورمزية ، ويرتبط ارتباطًا وثيقًا بالمنطق الافتراضي.
• المنطق الاندماجي: أحد أحدث المنطق المطوَّر ، يتضمن نتائج يمكن تطويرها باستخدام الخوارزميات.
• البرمجة المنطقية: تستخدم في مختلف الحزم ولغات البرمجة.

المناطق

من بين المجالات التي تستخدم المنطق الرياضي بطريقة لا غنى عنها في تطوير تفكيرهم وحججهم ، تبرز الفلسفة ، ونظرية المجموعات ، ونظرية الأعداد ، والرياضيات الجبرية البناءة ولغات البرمجة.

المراجع

1. آيلوين ، سي يو (2011). المنطق والمجموعات والأرقام. ميريدا - فنزويلا: مجلس المطبوعات ، جامعة لوس أنديس.
2. بارانتيس ، هـ. ، دياز ، ب. ، موريللو ، إم ، وسوتو ، أ. (1998). مقدمة في نظرية الأعداد. EUNED.
3. كاستانيدا ، س. (2016). الدورة الأساسية لنظرية الأعداد. الجامعة الشمالية.
4. Cofré، A.، & Tapia، L. (1995). كيفية تطوير التفكير المنطقي الرياضي. دار النشر الجامعية.
5. سرقسطة ، AC (سادس). نظرية الأعداد رؤية التحرير Libros.