قوانين مورغان

إن أعين مورغان هي قواعد استنتاج مستخدمة في المنطق الافتراضى ، والتي تحدد نتيجة إنكار الانفصال وربط القضايا أو المتغيرات المقترحة. تم تحديد هذه القوانين من قبل عالم الرياضيات Augustus De Morgan.

تمثل قوانين مورجان أداة مفيدة جدًا لإثبات صحة التفكير الرياضي. في وقت لاحق تم تعميمها ضمن مفهوم المجموعات بواسطة عالم الرياضيات جورج بول.

هذا التعميم الذي قدمه Boole مكافئ تمامًا لقوانين Morgan الأولية ، لكنه تم تطويره خصيصًا للمجموعات بدلاً من الافتراضات. يُعرف هذا التعميم أيضًا باسم قوانين مورغان.

مراجعة المنطق الإفتراضي

قبل النظر إلى ماهية قوانين مورجان على وجه التحديد وكيفية استخدامها ، من المفيد تذكر بعض المفاهيم الأساسية للمنطق الافتراضى. (لمزيد من التفاصيل راجع مقالة المنطق الإفتراضي).

في مجال المنطق الرياضي (أو الافتراضى) ، الاستدلال هو استنتاج يتم إصداره من مجموعة من المقدمات أو الفرضيات. هذا الاستنتاج ، إلى جانب المقدمات المذكورة أعلاه ، يؤدي إلى ما يعرف بالتفكير الرياضي.

يجب إثبات مثل هذا المنطق أو رفضه ؛ أي ليست كل الاستنتاجات أو الاستنتاجات في التفكير الرياضي صحيحة.

مغالطة

يُعرف الاستنتاج الخاطئ المأخوذ من فرضيات معينة يُفترض أنها صحيحة بالمغالطة. تتميز المغالطات بخصوصية كونها حججًا تبدو صحيحة ، لكنها ليست كذلك من الناحية الرياضية.

المنطق الإقتراحي مسؤول على وجه التحديد عن تطوير وتوفير طرق يمكن بواسطتها ، بدون أي غموض ، التحقق من صحة أو دحض المنطق الرياضي ؛ أي استنتاج استنتاج صحيح من الأماكن. تُعرف هذه الطرق باسم قواعد الاستدلال ، والتي تعد قوانين مورغان جزءًا منها.

الاقتراحات

العناصر الأساسية لمنطق الافتراض هي الافتراضات. الاقتراحات هي عبارات يمكن القول بأنها صحيحة أم لا ، ولكن لا يمكن أن تكون صحيحة أو خاطئة في نفس الوقت. يجب ألا يكون هناك غموض في هذا الأمر.

مثلما يمكن دمج الأرقام من خلال عمليات الجمع والطرح والضرب والقسمة ، يمكن تشغيل المقترحات عن طريق الوصلات المنطقية المعروفة (أو الموصلات): النفي (¬ ، "لا") ، الفصل (V ، "أو") ، والترابط (Ʌ ، "و") ، الشرطي (→ ، "إذا… ، ثم…") والثنائي الشرطي (↔ ، "إذا ، وفقط إذا").

للعمل بشكل أكثر عمومية ، بدلاً من النظر في افتراضات محددة ، يتم النظر في المتغيرات الافتتاحية التي تمثل أي افتراضات ، وعادة ما يتم الإشارة إليها بأحرف صغيرة p ، q ، r ، s ، إلخ.

الصيغة المقترحة هي مزيج من المتغيرات الافتراضية عن طريق بعض الروابط المنطقية. بمعنى آخر ، إنه تكوين للمتغيرات الافتراضية. عادة ما يتم الإشارة إليها بأحرف يونانية.

يقال أن الصيغة المقترحة تعني منطقيًا أخرى عندما يكون الأخير صحيحًا في كل مرة يكون فيها الأول صحيحًا. يشار إلى هذا من قبل:

عندما يكون التضمين المنطقي بين صيغتين افتراضيتين متبادلين - أي عندما يكون الضمني السابق صالحًا أيضًا بالمعنى المعاكس - يُقال أن الصيغ مكافئة منطقيًا ، ويتم الإشارة إليها بواسطة

التكافؤ المنطقي هو نوع من المساواة بين الصيغ المقترحة ويسمح باستبدال أحدهما بآخر عند الضرورة.

تتكون قوانين مورغان من تكافؤين منطقيين بين شكلين افتراضيين ، وهما:

تسمح هذه القوانين بفصل نفي الانفصال أو الاقتران ، باعتباره نفي المتغيرات المعنية.

يمكن قراءة الأول على النحو التالي: نفي الانفصال يساوي اقتران النفي. والثاني يقرأ هكذا: نفي العطف هو فصل النفي.

بمعنى آخر ، إنكار فصل متغيرين افتراضيين يعادل اقتران نفي كلا المتغيرين. وبالمثل ، فإن رفض اقتران متغيرين افتراضيين يعادل فصل نفي كلا المتغيرين.

كما ذكرنا سابقًا ، فإن استبدال هذا التكافؤ المنطقي يساعد على إثبات النتائج المهمة ، إلى جانب قواعد الاستدلال الأخرى الموجودة. باستخدام هذه ، يمكنك تبسيط العديد من الصيغ الافتتاحية ، بحيث تكون أكثر فائدة للعمل معها.

فيما يلي مثال لإثبات رياضي باستخدام قواعد الاستدلال ، بما في ذلك قوانين مورغان. على وجه التحديد ، يتضح أن الصيغة:

إنه يعادل:

هذا الأخير أسهل في الفهم والتطوير.

برهنة

ومن الجدير بالذكر أنه يمكن إثبات صحة قوانين مورغان رياضيًا. إحدى الطرق هي مقارنة جداول الحقيقة الخاصة بك.

مجموعات

يمكن أيضًا تطوير نفس قواعد الاستدلال ومفاهيم المنطق المطبقة على الافتراضات بالنظر إلى المجموعات. هذا ما يُعرف باسم الجبر البولي ، نسبة لعالم الرياضيات جورج بول.

للتمييز بين الحالات ، من الضروري تغيير الترميز والنقل إلى مجموعات ، كل المفاهيم التي سبق رؤيتها للمنطق الافتراضي.

المجموعة هي مجموعة من الأشياء. يُشار إلى المجموعات بأحرف كبيرة A و B و C و X… وعناصر المجموعة يُشار إليها بأحرف صغيرة a و b و c و x وما إلى ذلك. عندما ينتمي عنصر a إلى مجموعة X ، يتم الإشارة إليه بواسطة:

عندما لا تنتمي إلى X ، يكون الترميز:

طريقة تمثيل المجموعات هي بوضع عناصرها داخل الأقواس. على سبيل المثال ، يتم تمثيل مجموعة الأعداد الطبيعية بواسطة:

يمكن أيضًا تمثيل المجموعات دون كتابة قائمة صريحة بعناصرها. يمكن التعبير عنها بالصيغة {:}. يُقرأ القولون "هكذا". على يسار النقطتين ، يتم وضع متغير يمثل عناصر المجموعة ، وإلى الجانب الأيمن يتم وضع الخاصية أو الشرط الذي يحققونه. هذا هو:

على سبيل المثال ، يمكن التعبير عن مجموعة الأعداد الصحيحة الأكبر من -4 على النحو التالي:

أو بشكل مكافئ ، وأكثر اختصارًا ، مثل:

بالمثل ، تمثل التعبيرات التالية مجموعات الأرقام الفردية والزوجية ، على التوالي:

الاتحاد والتقاطع ومكملات المجموعات

بعد ذلك سنرى نظائر الوصلات المنطقية في حالة المجموعات ، والتي تعد جزءًا من العمليات الأساسية بين المجموعات.

الاتحاد والتقاطع

يتم تعريف اتحاد وتقاطع المجموعات ، على التوالي ، على النحو التالي:

على سبيل المثال ، ضع في اعتبارك المجموعات:

لذلك عليك أن:

تكملة

يتكون تكملة المجموعة من العناصر التي لا تنتمي إلى المجموعة المذكورة (من نفس النوع الذي يمثله الأصل). يُشار إلى تكملة المجموعة أ بالآتي:

على سبيل المثال ، ضمن الأعداد الطبيعية ، تكملة مجموعة الأعداد الزوجية هي الأعداد الفردية والعكس صحيح.

لتحديد تكملة المجموعة ، يجب أن تكون المجموعة العالمية أو الرئيسية للعناصر قيد الدراسة واضحة من البداية. على سبيل المثال ، ليس من نفسه اعتبار تكملة مجموعة على الأعداد الطبيعية أكثر من الأرقام المنطقية.

يوضح الجدول التالي العلاقة أو التناظر الموجود بين العمليات في المجموعات المحددة مسبقًا ، وروابط المنطق المقترح: