ناقلات الجبر: الأساسيات ، المقادير ، النواقل - رياضيات

و الجبر ناقلات هي فرع من الرياضيات التي دراسات نظم المعادلات الخطية، ناقلات، المصفوفات، ومساحات ناقلات والتحولات الخطية. يتعلق بمجالات مثل الهندسة ، وحل المعادلات التفاضلية ، والتحليل الوظيفي ، وبحوث العمليات ، ورسومات الكمبيوتر ، من بين أمور أخرى.

المجال الآخر الذي تبناه الجبر الخطي هو الفيزياء ، لأنه من خلال هذا كان من الممكن تطوير دراسة الظواهر الفيزيائية ، ووصفها من خلال استخدام المتجهات. هذا جعل من الممكن فهم الكون بشكل أفضل.

الأساسيات

نشأ الجبر المتجه من دراسة الرباعية (تمديد الأعداد الحقيقية) 1 ، i ، j ، و k ، وكذلك من الهندسة الديكارتية التي روج لها جيبس وهيفيسايد ، اللذان أدركا أن المتجهات ستكون بمثابة أداة لـ تمثل مختلف الظواهر الفيزيائية.

تتم دراسة الجبر المتجه من خلال ثلاث أساسيات:

هندسيا

يتم تمثيل المتجهات بخطوط لها اتجاه ، ويتم تعريف العمليات مثل الجمع والطرح والضرب بأرقام حقيقية من خلال الطرق الهندسية.

تحليليا

يتم وصف المتجهات وعملياتها بأرقام تسمى المكونات. هذا النوع من الوصف هو نتيجة التمثيل الهندسي بسبب استخدام نظام إحداثيات.

بشكل بديهي

يتم عمل وصف للمتجهات بغض النظر عن نظام الإحداثيات أو أي نوع من التمثيل الهندسي.

تتم دراسة الأشكال في الفضاء من خلال تمثيلها في نظام مرجعي يمكن أن يكون في بُعد واحد أو أكثر. من بين الأنظمة الرئيسية:

- نظام أحادي البعد ، وهو عبارة عن خط مستقيم حيث تمثل نقطة واحدة (O) الأصل ونقطة أخرى (P) تحدد المقياس (الطول) واتجاهه:

- نظام الإحداثيات المستطيل (ثنائي الأبعاد) ، ويتكون من خطين متعامدين يسمى المحور السيني والمحور الصادي ، ويمران عبر نقطة أصل (O) ؛ بهذه الطريقة يتم تقسيم المستوى إلى أربع مناطق تسمى الأرباع. في هذه الحالة ، تُعطى النقطة (P) في المستوى بالمسافات الموجودة بين المحاور و P.

- نظام الإحداثيات القطبية (ثنائي الأبعاد). في هذه الحالة ، يتكون النظام من نقطة O (أصل) تسمى القطب وشعاع أصله في O يسمى المحور القطبي. في هذه الحالة ، تُعطى النقطة P من المستوى ، بالإشارة إلى القطب والمحور القطبي ، بالزاوية (Ɵ) ، والتي تتكون من المسافة بين الأصل والنقطة P.

- نظام مستطيل ثلاثي الأبعاد ، يتكون من ثلاثة خطوط متعامدة (x ، y ، z) أصلها النقطة O في الفضاء. يتم تشكيل ثلاث مستويات إحداثيات: xy و xz و yz ؛ سيتم تقسيم الفضاء إلى ثماني مناطق تسمى الثماني. يتم إعطاء مرجع النقطة P في الفضاء من خلال المسافات الموجودة بين الطائرات و P.

المقادير

المقدار هو كمية مادية يمكن حسابها أو قياسها من خلال قيمة عددية ، كما هو الحال في بعض الظواهر الفيزيائية ؛ ومع ذلك ، غالبًا ما يكون من الضروري أن تكون قادرًا على وصف هذه الظواهر بعوامل أخرى غير عددية. لهذا تصنف المقادير إلى نوعين:

الحجم القياسي

هي تلك الكميات التي تم تعريفها وتمثيلها عدديًا ؛ أي من خلال وحدة مع وحدة قياس. فمثلا:

أ) الوقت: 5 ثوان.

ب) الكتلة: 10 كجم.

ج) الحجم: 40 مل.

د) درجة الحرارة: 40 درجة مئوية.

حجم المتجه

هي تلك الكميات التي يتم تحديدها وتمثيلها بواسطة وحدة مع وحدة ، وكذلك بواسطة الإحساس والاتجاه. فمثلا:

أ) السرعة: (5ȋ - 3ĵ) م / ث.

ب) التسارع: 13 م / ث ² ؛ S 45º E.

ج) القوة: 280 نيوتن ، 120 درجة.

د) الوزن: -40 ĵ كجم.

يتم تمثيل كميات المتجهات بيانياً بواسطة المتجهات.

ما هي النواقل؟

المتجهات هي تمثيلات بيانية لكمية متجهة ؛ أي أنها مقاطع خطية تكون نهايتها النهائية هي رأس السهم.

يتم تحديدها من خلال طول الوحدة أو طول القطعة ، واتجاهها الذي يشير إليه طرف السهم واتجاهه وفقًا للخط الذي ينتمي إليه. يُعرف أصل المتجه أيضًا باسم نقطة التطبيق.

عناصر المتجه هي كما يلي:

وحدة

إنها المسافة من الأصل إلى نهاية المتجه ، ممثلة برقم حقيقي مع وحدة. فمثلا:

-OM- = -A- = A = 6 سم

عنوان

إنه قياس الزاوية الموجودة بين المحور x (من الموجب) والمتجه ، بالإضافة إلى استخدام النقاط الأساسية (الشمال والجنوب والشرق والغرب).

إحساس

يتم تقديمه بواسطة رأس السهم الموجود في نهاية المتجه ، مما يشير إلى أين يتجه.

تصنيف النواقل

بشكل عام ، يتم تصنيف النواقل على النحو التالي:

ناقل ثابت

هو الذي تم إصلاح نقطة التطبيق (الأصل) ؛ أي أنه يظل مرتبطًا بنقطة في الفضاء ، لذا لا يمكنه التحرك فيه.

ناقل حر

يمكن أن يتحرك بحرية في الفضاء لأن أصله ينتقل إلى أي نقطة دون تغيير وحدته أو اتجاهه أو اتجاهه.

ناقل المنزلق

إنه واحد يمكنه نقل أصله على طول خط عمله دون تغيير وحدته أو اتجاهه أو اتجاهه.

خصائص النواقل

من بين الخصائص الرئيسية للنواقل ما يلي:

عدسات فرق النواقل

إنها تلك المتجهات الحرة التي لها نفس الوحدة ، والاتجاه (أو أنها متوازية) والشعور كمتجه منزلق أو ناقل ثابت.

النواقل المكافئة

يحدث عندما يكون لمتجهين نفس الاتجاه (أو متوازيان) ، نفس المعنى ، وعلى الرغم من وجود وحدات ونقاط تطبيق مختلفة ، إلا أنهما يسببان نفس التأثيرات.

ناقلات المساواة

هذه لها نفس الوحدة والاتجاه والإحساس ، حتى عندما تكون نقاط البداية مختلفة ، مما يسمح للمتجه المتوازي بترجمة نفسه دون التأثير عليه.

مقابل ناقلات

هم أولئك الذين لديهم نفس الوحدة والاتجاه ، لكن معناهم معاكس.

حتى النصر

وهي واحدة تساوي فيها الوحدة النمطية (1). يتم الحصول على ذلك عن طريق قسمة المتجه على وحدته ويستخدم لتحديد اتجاه وإحساس المتجه ، سواء في المستوى أو في الفضاء ، باستخدام متجهات القاعدة أو الوحدة المعيارية ، وهي:

ناقل فارغ

هو من المعامل الذي يساوي 0 ؛ أي أن نقطة نشأتها ونهايتها تتطابقان عند نفس النقطة.

مكونات المتجهات

مكونات المتجه هي قيم إسقاطات المتجه على محاور النظام المرجعي ؛ اعتمادًا على تحلل المتجه ، والذي يمكن أن يكون على محورين أو ثلاثي الأبعاد ، سيتم الحصول على مكونين أو ثلاثة مكونات ، على التوالي.

مكونات المتجه هي أرقام حقيقية ، والتي يمكن أن تكون موجبة أو سالبة أو حتى صفر (0).

وبالتالي ، إذا كان لدينا متجه Ā ، مع الأصل في نظام إحداثيات مستطيل في المستوى xy (ثنائي الأبعاد) ، فإن الإسقاط على المحور x هو Āx والإسقاط على المحور y هو y. وبالتالي ، سيتم التعبير عن المتجه كمجموع متجهات مكوناته.

أمثلة

المثال الأول

لدينا متجه Ā يبدأ من الأصل ويتم إعطاء إحداثيات نهاياته. وبالتالي ، فإن المتجه Ā = (Ā _x ، A _y) = (4 ، 5) سم.

إذا كان المتجه Ā يعمل في أصل نظام إحداثيات مثلث ثلاثي الأبعاد (في الفضاء) x ، y ، z ، حتى نقطة أخرى (P) ، فإن الإسقاطات على محاوره ستكون Āx و y و z ؛ وبالتالي ، سيتم التعبير عن المتجه كمجموع نواقل مكونة الثلاثة.

المثال الثاني

لدينا متجه Ā يبدأ من الأصل ويتم إعطاء إحداثيات نهاياته. وبالتالي ، فإن المتجه Ā = (A _x ، A _y، A _z) = (4، 6، -3) سم.

يمكن التعبير عن المتجهات التي لها إحداثياتها المستطيلة بدلالة متجهاتها الأساسية. لذلك ، يجب فقط ضرب كل إحداثي في متجه الوحدة الخاص به ، بحيث يكون المستوي والفضاء كما يلي:

بالنسبة للمستوى: Ā = A _x i + A _y j.

للمساحة: Ā = A _x i + A _y j + A _z k.

عمليات ناقلات

هناك العديد من الكميات التي لها وحدة نمطية وشعور واتجاه ، مثل التسارع والسرعة والإزاحة والقوة وغيرها.

يتم تطبيق هذه في مجالات علمية مختلفة ، ولتطبيقها من الضروري في بعض الحالات إجراء عمليات مثل الجمع والطرح والضرب والقسمة للمتجهات والقياسات.

جمع وطرح المتجهات

تعتبر عملية جمع وطرح المتجهات عملية جبرية واحدة لأنه يمكن كتابة الطرح كمجموع ؛ على سبيل المثال ، يمكن التعبير عن طرح المتجهين و على النحو التالي:

Ā - Ē = Ā + (-Ē)

توجد طرق مختلفة لإجراء عمليات الجمع والطرح للمتجهات: يمكن أن تكون رسومية أو تحليلية.

الطرق الرسومية

تستخدم عندما يكون للناقل وحدة واتجاه واتجاه. لهذا ، يتم رسم الخطوط التي تشكل شكلًا يساعد لاحقًا في تحديد النتيجة. من بين أشهرها ما يلي:

طريقة متوازي الأضلاع

لإجراء إضافة أو طرح متجهين ، يتم اختيار نقطة مشتركة على محور الإحداثيات - والتي ستمثل نقطة أصل المتجهات - مع الحفاظ على وحدتها واتجاهها واتجاهها.

ثم يتم رسم الخطوط بالتوازي مع المتجهات لتشكيل متوازي أضلاع. المتجه الناتج هو القطر الذي ينتقل من نقطة أصل كلا المتجهين إلى قمة متوازي الأضلاع:

طريقة المثلث

في هذه الطريقة ، يتم وضع المتجهات واحدة تلو الأخرى ، مع الاحتفاظ بوحداتها واتجاهاتها واتجاهاتها. سيكون المتجه الناتج هو اتحاد أصل المتجه الأول بنهاية المتجه الثاني:

طرق تحليلية

يمكن إضافة متجهين أو أكثر أو طرحهما بطريقة هندسية أو متجهية:

طريقة هندسية

عندما يكون متجهان مثلثًا أو متوازي أضلاع ، فإن m).push ({}) ؛

- خاصية التوزيع القياسي: إذا تم ضرب المتجه في مجموع عددين ، فإنه يساوي ضرب المتجه لكل عددي.

تكاثر النواقل

يمكن إجراء عملية الضرب أو الضرب للمتجهات كجمع أو طرح ، لكن القيام بذلك بهذه الطريقة يفقد المعنى المادي ولا يوجد تقريبًا في التطبيقات. لهذا السبب ، فإن أكثر أنواع المنتجات شيوعًا هي المنتج القياسي والمتجه.

منتج عددي

يُعرف أيضًا باسم المنتج النقطي لمتجهين. عندما يتم ضرب الوحدات النمطية لمتجهين في جيب التمام لأصغر زاوية تشكل بينهما ، يتم الحصول على عدد قياسي. للتعبير عن حاصل الضرب القياسي بين متجهين ، يتم وضع نقطة بينهما ، ويمكن تعريف ذلك على النحو التالي:

تعتمد قيمة الزاوية الموجودة بين المتجهين على ما إذا كانا متوازيين أم متعامدين ؛ لذلك عليك أن:

- إذا كانت المتجهات متوازية ولها نفس المعنى ، جيب التمام 0º = 1.

- إذا كانت المتجهات متوازية ولها اتجاهات متعاكسة ، فجيب التمام 180º = -1.

- إذا كانت المتجهات متعامدة ، فيكون 90º = 0.

يمكن أيضًا حساب هذه الزاوية مع العلم أن:

المنتج النقطي له الخصائص التالية:

- الخاصية التبادلية: ترتيب المتجهات لا يغير العدد.

-خاصية التوزيع: إذا تم ضرب العدد القياسي بمجموع متجهين ، فإنه يساوي ضرب العدد القياسي لكل متجه.

المنتج المتجه

الضرب المتجهي ، أو الضرب العرضي لمتجهين A و B ، سينتج عنه متجه C جديد ويتم التعبير عنه باستخدام تقاطع بين المتجهات:

سيكون للمتجه الجديد خصائصه الخاصة. من ذلك الطريق:

- الاتجاه: سيكون هذا المتجه الجديد عموديًا على المستوى الذي يتم تحديده بواسطة المتجهات الأصلية.

- الاتجاه: يتم تحديده بقاعدة اليد اليمنى ، حيث يتم تدوير المتجه A باتجاه B ، مما يشير إلى اتجاه الدوران بالأصابع ، ويتم تحديد اتجاه المتجه بالإبهام.

- الوحدة النمطية: يتم تحديدها بضرب وحدات المتجهات AxB ، بجيب أصغر زاوية موجودة بين هذه المتجهات. يتم التعبير عنها:

تعتمد قيمة الزاوية الموجودة بين المتجهين على ما إذا كانا متوازيين أو متعامدين. لذلك يمكن ذكر ما يلي:

- إذا كانت المتجهات متوازية ولها نفس المعنى ، فإن الجيب 0º = 0.

- إذا كانت المتجهات متوازية ولها اتجاهات متعاكسة ، فجيب 180º = 0.

- إذا كانت المتجهات متعامدة ، فيكون 90º = 1.

عندما يتم التعبير عن منتج متجه من حيث المتجهات الأساسية الخاصة به ، يكون لدينا: