مقاييس الاتجاه المركزي للبيانات المجمعة (أمثلة) - رياضيات - 2026

تُستخدم مقاييس الاتجاه المركزي للبيانات المجمعة في الإحصائيات لوصف سلوكيات معينة لمجموعة من البيانات المقدمة ، مثل القيمة القريبة منها ، ومتوسط ​​البيانات التي تم جمعها ، من بين أمور أخرى.

عند أخذ كمية كبيرة من البيانات ، من المفيد تجميعها للحصول على ترتيب أفضل منها وبالتالي القدرة على حساب مقاييس معينة للاتجاه المركزي.

من بين المقاييس الأكثر استخدامًا للاتجاه المركزي المتوسط ​​الحسابي والوسيط والوضع. تخبر هذه الأرقام صفات معينة حول البيانات التي تم جمعها في تجربة معينة.

لاستخدام هذه المقاييس ، تحتاج أولاً إلى معرفة كيفية تجميع مجموعة بيانات.

البيانات المجمعة

لتجميع البيانات ، يجب عليك أولاً حساب نطاق البيانات ، الذي يتم الحصول عليه بطرح أعلى قيمة مطروحًا منها أقل قيمة للبيانات.

ثم يتم اختيار رقم "k" ، وهو عدد الفئات التي نريد تجميع البيانات فيها.

النطاق مقسوم على "k" للحصول على سعة الفئات المراد تجميعها. هذا الرقم هو C = R / k.

أخيرًا ، يبدأ التجميع ، حيث يتم اختيار رقم أقل من أقل قيمة للبيانات التي تم الحصول عليها.

سيكون هذا الرقم هو الحد الأدنى من الدرجة الأولى. يضاف إلى ذلك C. ستكون القيمة التي تم الحصول عليها هي الحد الأعلى للفئة الأولى.

ثم تضاف C إلى هذه القيمة ويتم الحصول على الحد الأعلى للفئة الثانية. بهذه الطريقة ننتقل إلى الحصول على الحد الأعلى للفئة الأخيرة.

بعد تجميع البيانات ، يمكن حساب المتوسط ​​والوسيط والوضع.

لتوضيح كيفية حساب المتوسط ​​الحسابي والوسيط والوضع ، سننتقل إلى مثال.

مثال

لذلك ، عند تجميع البيانات ، سيتم الحصول على جدول مثل الجدول التالي:

المقاييس الثلاثة الرئيسية للاتجاه المركزي

الآن سننتقل إلى حساب المتوسط ​​الحسابي والوسيط والوضع. سيتم استخدام المثال أعلاه لتوضيح هذا الإجراء.

1- الوسط الحسابي

يتكون المتوسط ​​الحسابي من ضرب كل تردد في متوسط ​​الفترة. ثم تضاف كل هذه النتائج ، وأخيراً يتم تقسيمها على إجمالي البيانات.

باستخدام المثال السابق ، يمكن الحصول على أن المتوسط ​​الحسابي يساوي:

(4 * 2 + 4 * 4 + 6 * 6 + 4 * 8) / 18 = (8 + 16 + 36 + 32) / 18 = 5.11111

يشير هذا إلى أن متوسط ​​قيمة البيانات في الجدول هو 5.11111.

2- متوسطة

لحساب متوسط ​​مجموعة بيانات ، نرتب أولاً جميع البيانات من الأصغر إلى الأكبر. يمكن أن تحدث حالتان:

- إذا كان عدد البيانات فرديًا ، فإن الوسيط هو البيانات الموجودة في المركز مباشرةً.

- إذا كان عدد البيانات زوجيًا ، فإن الوسيط هو متوسط ​​البيانات الموجودة في المركز.

عندما يتعلق الأمر بالبيانات المجمعة ، يتم حساب الوسيط على النحو التالي:

- يتم حساب N / 2 ، حيث N هو إجمالي البيانات.

- يتم البحث عن الفاصل الزمني الأول حيث يكون التردد المتراكم (مجموع الترددات) أكبر من N / 2 ، ويتم تحديد الحد الأدنى لهذه الفترة ، يسمى Li.

يتم إعطاء الوسيط بالصيغة التالية:

Me = Li + (Ls-Li) * (N / 2 - التردد المتراكم قبل Li) / التردد [Li، Ls)

Ls هو الحد الأعلى للفترة المذكورة أعلاه.

إذا تم استخدام جدول البيانات السابق ، N / 2 = 18/2 = 9. الترددات المتراكمة هي 4 و 8 و 14 و 18 (واحد لكل صف من الجدول).

لذلك ، يجب تحديد الفاصل الزمني الثالث ، لأن التردد التراكمي أكبر من N / 2 = 9.

إذن Li = 5 و Ls = 7. عند تطبيق الصيغة الموضحة أعلاه ، يجب عليك:

أنا = 5 + (7-5) * (9-8) / 6 = 5 + 2 * 1/6 = 5 + 1/3 = 16/3 ≈ 5.3333.

3- الموضة

الوضع هو القيمة التي لها أعلى تردد بين جميع البيانات المجمعة ؛ أي القيمة التي تتكرر في معظم الأوقات في مجموعة البيانات الأولية.

عندما يكون لديك قدر كبير جدًا من البيانات ، يتم استخدام الصيغة التالية لحساب وضع البيانات المجمعة:

Mo = Li + (Ls-Li) * (تردد Li - تردد L (i-1)) / ((تردد Li - تردد L (i-1)) + (تردد Li - تردد L (أنا + 1)))

الفاصل الزمني [Li، Ls) هو الفاصل الزمني حيث يوجد أعلى تردد. بالنسبة للمثال الوارد في هذه المقالة ، يتم إعطاء الوضع بواسطة:

مو = 5 + (7-5) * (6-4) / ((6-4) + (6-4)) = 5 + 2 * 2/4 = 5 + 1 = 6.

الصيغة الأخرى التي يتم استخدامها للحصول على قيمة تقريبية للوضع هي كما يلي:

Mo = Li + (Ls-Li) * (التردد L (i + 1)) / (التردد L (i-1) + التردد L (i + 1)).

بهذه الصيغة ، تكون الحسابات كما يلي:

Mo = 5 + (7-5) * 4 / (4 + 4) = 5 + 2 * 4/8 = 5 + 1 = 6.

المراجع

1. بيل هاوس ، دكتور (2011). أبراهام دي Moivre: تمهيد الطريق للاحتمالية الكلاسيكية وتطبيقاتها. اضغط CRC.
2. سيفوينتس ، جي إف (2002). مقدمة في نظرية الاحتمالية. جامعة كولومبيا الوطنية.
3. داستون ، إل (1995). الاحتمال الكلاسيكي في عصر التنوير. مطبعة جامعة برينستون.
4. لارسون ، HJ (1978). مقدمة في نظرية الاحتمالات والاستدلال الإحصائي. التحرير ليموزا.
5. Martel ، PJ ، & Vegas ، FJ (1996). الاحتمالية والإحصاء الرياضي: تطبيقات في الممارسة السريرية والإدارة الصحية. طبعات دياز دي سانتوس.
6. Vázquez، AL، & Ortiz، FJ (2005). الأساليب الإحصائية لقياس المتغيرات ووصفها والتحكم فيها. إد جامعة كانتابريا.
7. فاسكيز ، إس جي (2009). دليل الرياضيات للوصول للجامعة. افتتاحية مركز الدراسات Ramon Areces SA.