أخذ العينات العشوائية: المنهجية ، المزايا ، العيوب ، الأمثلة - رياضيات - 2026

و أخذ العينات العشوائية هي كيفية اختيار عينة ممثلة إحصائيا عن عدد معين من السكان. جزء من المبدأ القائل بأن كل عنصر في العينة يجب أن يكون له نفس احتمالية الاختيار.

السحب هو مثال على أخذ العينات العشوائية ، حيث يتم تخصيص رقم لكل فرد من السكان المشاركين. لاختيار الأرقام المقابلة لجوائز اليانصيب (العينة) ، يتم استخدام بعض الأساليب العشوائية ، على سبيل المثال استخراج الأرقام التي تم تدوينها على بطاقات مماثلة من صندوق بريد.

الشكل 1. في المعاينة العشوائية ، يتم سحب العينة من السكان بشكل عشوائي باستخدام بعض الأساليب التي تضمن أن جميع العناصر لها نفس احتمالية اختيارها. المصدر: netquest.com.

في المعاينة العشوائية ، من الضروري اختيار حجم العينة بشكل مناسب ، لأن عينة غير تمثيلية من السكان يمكن أن تؤدي إلى استنتاجات خاطئة ، بسبب التقلبات الإحصائية.

حجم العينة

توجد صيغ لتحديد الحجم المناسب للعينة. أهم عامل يجب مراعاته هو ما إذا كان حجم السكان معروفًا أم لا. لنلقِ نظرة على الصيغ لتحديد حجم العينة:

الحالة 1: حجم السكان غير معروف

عندما يكون حجم المجتمع N غير معروف ، فمن الممكن تحديد عينة ذات حجم مناسب n لتحديد ما إذا كانت فرضية معينة صحيحة أم خاطئة.

لهذا ، يتم استخدام الصيغة التالية:

أين:

-p هو احتمال صحة الفرضية.

-q هو احتمال أنه ليس كذلك ، لذلك q = 1 - p.

-E هو الهامش النسبي للخطأ ، على سبيل المثال خطأ 5٪ له هامش E = 0.05.

-Z له علاقة بمستوى الثقة الذي تتطلبه الدراسة.

في التوزيع الطبيعي القياسي (أو المعياري) ، يكون مستوى الثقة بنسبة 90٪ هو Z = 1،645 ، لأن احتمال أن تكون النتيجة بين -1،645σ و + 1،645σ هي 90٪ ، حيث هي الانحراف المعياري.

مستويات الثقة وقيم Z المقابلة لها

1.- مستوى ثقة 50٪ يتوافق مع Z = 0.675.

2.- مستوى ثقة 68.3٪ يتوافق مع Z = 1.

3.- مستوى ثقة 90٪ يعادل Z = 1،645.

4.- مستوى ثقة 95٪ يتوافق مع Z = 1.96

5.- مستوى ثقة 95.5٪ يتوافق مع Z = 2.

6.- مستوى ثقة 99.7٪ يعادل Z = 3.

أحد الأمثلة حيث يمكن تطبيق هذه الصيغة سيكون في دراسة لتحديد متوسط ​​وزن الحصى على الشاطئ.

من الواضح أنه ليس من الممكن دراسة ووزن كل الحصى على الشاطئ ، لذلك يُنصح باستخراج عينة عشوائية قدر الإمكان وبالعدد المناسب من العناصر.

الشكل 2. لدراسة خصائص الحصى على الشاطئ ، من الضروري اختيار عينة عشوائية بعدد تمثيلي لها. (المصدر: pixabay)

الحالة 2: حجم السكان معروف

عندما يكون عدد العناصر N التي تشكل مجموعة معينة (أو الكون) معروفًا ، إذا أردنا تحديد عينة ذات دلالة إحصائية من الحجم n بأخذ عينات عشوائية بسيطة ، فهذه هي الصيغة:

أين:

-Z هو المعامل المرتبط بمستوى الثقة.

-p هو احتمال نجاح الفرضية.

-q هو احتمال الفشل في الفرضية ، p + q = 1.

-N هو حجم إجمالي السكان.

-E هو الخطأ النسبي في نتيجة الدراسة.

أمثلة

تعتمد منهجية استخراج العينات كثيرًا على نوع الدراسة التي يجب القيام بها. لذلك ، فإن أخذ العينات العشوائية له عدد لا حصر له من التطبيقات:

المسوحات والاستبيانات

على سبيل المثال ، في الاستطلاعات الهاتفية ، يتم اختيار الأشخاص الذين سيتم استشارتهم باستخدام مولد أرقام عشوائي ، ينطبق على المنطقة قيد الدراسة.

إذا كنت ترغب في تطبيق استبيان على موظفي شركة كبيرة ، فيمكنك اللجوء إلى اختيار المستجيبين من خلال رقم الموظف أو رقم بطاقة الهوية.

يجب أيضًا اختيار الرقم المذكور بشكل عشوائي ، باستخدام على سبيل المثال مولد رقم عشوائي.

الشكل 3. يمكن تطبيق استبيان عن طريق اختيار المشاركين بشكل عشوائي. المصدر: Pixabay.

سؤال وجواب

في حال كانت الدراسة على أجزاء مصنعة بواسطة آلة ، يجب اختيار الأجزاء بشكل عشوائي ، ولكن من دفعات يتم تصنيعها في أوقات مختلفة من اليوم ، أو في أيام أو أسابيع مختلفة.

مميزات

عينة عشوائية بسيطة:

- يسمح بتخفيض تكاليف الدراسة الإحصائية ، حيث أنه ليس من الضروري دراسة مجموع السكان للحصول على نتائج موثوقة إحصائياً ، مع مستويات الثقة المطلوبة ومستوى الخطأ المطلوب في الدراسة.

- تجنب التحيز: حيث أن اختيار العناصر المراد دراستها عشوائي تمامًا ، تعكس الدراسة بأمانة خصائص المجتمع ، على الرغم من دراسة جزء منها فقط.

سلبيات

- الطريقة غير مناسبة في الحالات التي تريد معرفة التفضيلات في مجموعات أو طبقات سكانية مختلفة.

في هذه الحالة ، من الأفضل تحديد المجموعات أو الأجزاء التي سيتم إجراء الدراسة عليها مسبقًا. بمجرد تحديد الطبقات أو المجموعات ، إذا كان من الملائم لكل منها تطبيق عينات عشوائية.

- من المستبعد جدًا الحصول على معلومات عن قطاعات الأقليات ، والتي من الضروري أحيانًا معرفة خصائصها.

على سبيل المثال ، إذا كان الأمر يتعلق بالحملة على منتج باهظ الثمن ، فمن الضروري معرفة تفضيلات قطاعات الأقليات الأكثر ثراءً.

تمرين حل

نريد دراسة تفضيل السكان لمشروب كولا معين ، لكن لا توجد دراسة سابقة في هذه المجموعة ، التي لا يُعرف حجمها.

من ناحية أخرى ، يجب أن تكون العينة ممثلة بحد أدنى من الثقة بنسبة 90٪ ويجب أن تحتوي الاستنتاجات على خطأ بنسبة 2٪.

-كيفية تحديد حجم العينة؟

- ما هو حجم العينة إذا أصبح هامش الخطأ أكثر مرونة إلى 5٪؟

المحلول

نظرًا لأن حجم السكان غير معروف ، يتم استخدام الصيغة الواردة أعلاه لتحديد حجم العينة:

ن = (Z ² ف ف) / (ه ²)

نحن نفترض أن هناك احتمالية متساوية للتفضيل (p) لعلامتنا التجارية من المشروبات الغازية اعتبارًا من عدم التفضيل (q) ، لذلك p = q = 0.5.

من ناحية أخرى ، نظرًا لأن نتيجة الدراسة يجب أن تحتوي على نسبة خطأ أقل من 2٪ ، فإن الخطأ النسبي E سيكون 0.02.

أخيرًا ، تنتج قيمة Z = 1،645 مستوى ثقة بنسبة 90٪.

بإيجاز ، لدينا القيم التالية:

Z = 1645

ص = 0.5

ف = 0.5

E = 0.02

باستخدام هذه البيانات ، يتم حساب الحد الأدنى لحجم العينة:

ن = (1.645 ² 0.5 0.5) / (0.02 ²) = 1691.3

وهذا يعني أن الدراسة بهامش الخطأ المطلوب والمستوى المختار من الثقة ، يجب أن تحتوي على عينة من المستجيبين لا يقل عن 1692 فردًا ، يتم اختيارهم بأخذ عينات عشوائية بسيطة.

إذا انتقلت من هامش خطأ 2٪ إلى 5٪ ، فإن حجم العينة الجديد هو:

ن = (1.645 ² 0.5 0.5) / (0.05 ²) = 271

وهو عدد أقل بكثير من الأفراد. في الختام ، فإن حجم العينة حساس للغاية لهامش الخطأ المطلوب في الدراسة.

المراجع

1. Berenson، M. 1985. إحصائيات للإدارة والاقتصاد ، المفاهيم والتطبيقات. افتتاحية Interamericana.
2. الإحصاء. أخذ عينات عشوائية. مأخوذة من: encyclopediaeconomica.com.
3. الإحصاء. أخذ العينات. تم الاسترجاع من: Estadistica.mat.uson.mx.
4. قابل للاستكشاف. أخذ عينات عشوائية. تم الاسترجاع من: explorable.com.
5. مور ، د. 2005. الإحصاء الأساسي التطبيقي. الثاني. الإصدار.
6. نتكويست. أخذ عينات عشوائية. تم الاسترجاع من: netquest.com.
7. ويكيبيديا. أخذ العينات الإحصائية. تم الاسترجاع من: en.wikipedia.org