- خصائص الأعداد المركبة
- تمثيل الأعداد المركبة
- - شكل ذو الحدين
- - الشكل القطبي
- أمثلة على الأعداد المركبة
- لماذا هم؟
- عدد العمليات المعقدة
- - مثال 1
- المحلول
- - المثال 2
- المحلول
- تطبيق
- المراجع
و الأعداد المركبة هي مجموعة العددي تغطي الأعداد الحقيقية وجميع جذور كثيرات الحدود بما في ذلك أزواج جذور أرقام سلبية. لا توجد هذه الجذور في مجموعة الأعداد الحقيقية ، ولكن في الأعداد المركبة يوجد الحل.
يتكون العدد المركب من جزء حقيقي وجزء يسمى "وهمي". الجزء الحقيقي يسمى a ، على سبيل المثال ، والجزء التخيلي ib ، بأرقام حقيقية a و b و "i" كوحدة تخيلية. بهذه الطريقة يأخذ الرقم المركب الشكل:

الشكل 1. - التمثيل ذو الحدين لعدد مركب من حيث الجزء الحقيقي والجزء التخيلي. المصدر: Pixabay.
أمثلة على الأعداد المركبة 2 - 3i ، -i ، 1 + (1/2) i. لكن قبل العمل معهم ، دعنا نرى من أين نشأت الوحدة التخيلية أنا ، مع الأخذ في الاعتبار هذه المعادلة التربيعية:
× 2 - 10 × + 34 = 0
حيث أ = 1 ، ب = -10 ، ج = 34.
عند تطبيق صيغة الحل لتحديد الحل ، نجد ما يلي:

كيفية تحديد قيمة √-36؟ لا يوجد رقم حقيقي ينتج عنه تربيع كمية سالبة. ثم نستنتج أن هذه المعادلة ليس لها حلول حقيقية.
ومع ذلك ، يمكننا كتابة هذا:
√-36 =-6 2 = √6 2 (-1) = 6√-1
إذا حددنا قيمة معينة x مثل:
× 2 = -1
وبالتالي:
س = ± √-1
وسيكون للمعادلة أعلاه حل. لذلك ، تم تعريف الوحدة التخيلية على أنها:
أنا = √-1
و هكذا:
√-36 = 6 ط
عمل العديد من علماء الرياضيات في العصور القديمة على حل مشاكل مماثلة ، ولا سيما عصر النهضة جيرولامو كاردانو (1501-1576) ونيكولو فونتانا (1501-1557) ورافاييل بومبيلي (1526-1572).
بعد سنوات ، أطلق رينيه ديكارت (1596-1650) على الكميات "خيالية" مثل √-36 في المثال. لهذا السبب تُعرف √-1 بالوحدة التخيلية.
خصائص الأعداد المركبة
- يُشار إلى مجموعة الأعداد المركبة بالرمز C وتتضمن الأعداد الحقيقية R والأرقام التخيلية Im. يتم تمثيل مجموعات الأرقام في مخطط Venn ، كما هو موضح في الشكل التالي:

الشكل 2. مخطط فين لمجموعات الأرقام. المصدر: F. Zapata.
-كل رقم مركب يتكون من جزء حقيقي وجزء وهمي.
-عندما يكون الجزء التخيلي من رقم مركب هو 0 ، فهو رقم حقيقي خالص.
-إذا كان الجزء الحقيقي من رقم مركب هو 0 ، فإن الرقم هو مجرد وهمي.
- يتساوى عددان مركبان إذا كان الجزء الحقيقي والجزء التخيلي الخاص بهما متماثلًا.
- في حالة الأعداد المركبة ، يتم تنفيذ العمليات المعروفة مثل الجمع والطرح والضرب وحاصل الضرب والتعزيز ، مما ينتج عنه رقم مركب آخر.
تمثيل الأعداد المركبة
يمكن تمثيل الأعداد المركبة بطرق مختلفة. فيما يلي أهمها:
- شكل ذو الحدين
إنه الشكل المعطى في البداية ، حيث z هو العدد المركب ، و a هو الجزء الحقيقي ، و b هو الجزء التخيلي و i هو الوحدة التخيلية:
او ايضا:
تتمثل إحدى طرق رسم الرقم المركب في الرسم البياني في المستوى المركب الموضح في هذا الشكل. المحور التخيلي Im عمودي ، بينما المحور الحقيقي أفقي ويشار إليه بـ Re.
يتم تمثيل الرقم المركب z في هذا المستوى كنقطة إحداثيات (س ، ص) أو (أ ، ب) ، كما هو الحال مع نقاط المستوى الحقيقي.
المسافة من الأصل إلى النقطة z هي مقياس العدد المركب ، والمشار إليه بالرمز r ، بينما φ هي الزاوية التي يصنعها r مع المحور الحقيقي.

الشكل 3. تمثيل رقم مركب في المستوى المركب. المصدر: ويكيميديا كومنز.
يرتبط هذا التمثيل ارتباطًا وثيقًا بتمثيل المتجهات في المستوى الحقيقي. تتوافق قيمة r مع معامل العدد المركب.
- الشكل القطبي
يتكون الشكل القطبي من التعبير عن العدد المركب بإعطاء قيم r و. إذا نظرنا إلى الشكل ، فإن قيمة r تقابل وتر المثلث القائم الزاوية. تساوي الأرجل أ وب ، أو س وص.
من الشكل ذي الحدين أو ذي الحدين ، يمكننا الانتقال إلى الشكل القطبي عن طريق:
الزاوية φ هي الزاوية المكونة من المقطع r بالمحور الأفقي أو المحور التخيلي. يُعرف باسم وسيطة العدد المركب. في هذا الطريق:
الحجة لها قيم لا نهائية ، مع الأخذ في الاعتبار أنه في كل مرة يتم فيها الدوران ، والتي تساوي 2π راديان ، تحتل r نفس الموضع مرة أخرى. بهذه الطريقة العامة ، يتم التعبير عن حجة z ، المشار إليها Arg (z) ، على النحو التالي:
حيث k هو عدد صحيح ويستخدم للإشارة إلى عدد المنعطفات: 2 ، 3 ، 4…. تشير العلامة إلى اتجاه الدوران ، إذا كان في اتجاه عقارب الساعة أو عكس اتجاه عقارب الساعة.

الشكل 4. التمثيل القطبي لعدد مركب في المستوى المركب. المصدر: ويكيميديا كومنز.
وإذا أردنا الانتقال من الصورة القطبية إلى الصيغة ذات الحدين ، فإننا نستخدم النسب المثلثية. من الشكل السابق يمكننا أن نرى ما يلي:
س = ص كوس φ
y = r sin φ
بهذه الطريقة z = r (cos φ + i sin φ)
والذي يتم اختصاره على النحو التالي:
ض = ص رابطة الدول المستقلة φ
أمثلة على الأعداد المركبة
يتم إعطاء الأرقام المركبة التالية في شكل ذي الحدين:
أ) 3 + ط
ب) 4
د) -6 ط
وهذه في شكل زوج مرتب:
أ) (-5 ، -3)
ب) (0 ، 9)
ج) (7.0)
أخيرًا ، يتم إعطاء هذه المجموعة في الشكل القطبي أو المثلثي:
أ) √2 رابطة الدول المستقلة 45º
ب) √3 رابطة الدول المستقلة 30
ج) 2 cis 315º
لماذا هم؟
تتجاوز فائدة الأعداد المركبة حل المعادلة التربيعية الموضحة في البداية ، لأنها ضرورية في مجال الهندسة والفيزياء ، خاصة في:
- دراسة الموجات الكهرومغناطيسية
-تحليل التيار المتردد والجهد
- نمذجة جميع أنواع الإشارات
-نظرية النسبية ، حيث يُفترض أن الوقت مقدار خيالي.
عدد العمليات المعقدة
باستخدام الأعداد المركبة ، يمكننا إجراء جميع العمليات التي تتم باستخدام عمليات حقيقية. بعضها يكون أسهل إذا كانت الأرقام تأتي في شكل ذي حدين ، مثل الجمع والطرح. في المقابل ، يكون الضرب والقسمة أبسط إذا تم تنفيذهما بالصيغة القطبية.
دعنا نرى بعض الأمثلة:
- مثال 1
أضف z 1 = 2 + 5i و z 2 = -3 -8i
المحلول
تتم إضافة الأجزاء الحقيقية بشكل منفصل عن الأجزاء التخيلية:
ض 1 + ض 2 = (2 + 5 ط) + (-3 -8 ط) = -1 -3 ط
- المثال 2
اضرب z 1 = 4 cis 45º ب z 2 = 5 cis 120º
المحلول
يمكن إثبات أن حاصل ضرب عددين مركبين في الشكل القطبي أو المثلثي يتم الحصول عليه من خلال:
ض 1. ض 2 = ص 1.R 2 رابطة الدول المستقلة (φ 1 + φ 2)
على هذا النحو:
ض 1. ض 2 = (4 × 5) رابطة الدول المستقلة (45 + 120) = 20 رابطة الدول المستقلة 165º
تطبيق
تطبيق بسيط للأعداد المركبة هو إيجاد جميع جذور معادلة كثيرة الحدود مثل تلك الموضحة في بداية المقالة.
في حالة المعادلة x 2 - 10x + 34 = 0 ، بتطبيق صيغة الحل التي نحصل عليها:

لذلك فإن الحلول هي:
س 1 = 5 + 3 ط
س 2 = 5 - 3 ط
المراجع
- إيرل ، ر. الأعداد المركبة. تم الاسترجاع من: maths.ox.ac.uk.
- Figuera، J. 2000. الرياضيات 1. متنوع. إصدارات CO-BO.
- هوفمان ، ج. 2005. اختيار موضوعات الرياضيات. منشورات مونفورت.
- Jiménez، R. 2008. الجبر. برنتيس هول.
- ويكيبيديا. ارقام مركبة. تم الاسترجاع من: en.wikipedia.org
