الأعداد المركبة: الخصائص ، الأمثلة ، العمليات - رياضيات - 2026

و الأعداد المركبة هي مجموعة العددي تغطي الأعداد الحقيقية وجميع جذور كثيرات الحدود بما في ذلك أزواج جذور أرقام سلبية. لا توجد هذه الجذور في مجموعة الأعداد الحقيقية ، ولكن في الأعداد المركبة يوجد الحل.

يتكون العدد المركب من جزء حقيقي وجزء يسمى "وهمي". الجزء الحقيقي يسمى a ، على سبيل المثال ، والجزء التخيلي ib ، بأرقام حقيقية a و b و "i" كوحدة تخيلية. بهذه الطريقة يأخذ الرقم المركب الشكل:

الشكل 1. - التمثيل ذو الحدين لعدد مركب من حيث الجزء الحقيقي والجزء التخيلي. المصدر: Pixabay.

أمثلة على الأعداد المركبة 2 - 3i ، -i ، 1 + (1/2) i. لكن قبل العمل معهم ، دعنا نرى من أين نشأت الوحدة التخيلية أنا ، مع الأخذ في الاعتبار هذه المعادلة التربيعية:

× ² - 10 × + 34 = 0

حيث أ = 1 ، ب = -10 ، ج = 34.

عند تطبيق صيغة الحل لتحديد الحل ، نجد ما يلي:

كيفية تحديد قيمة √-36؟ لا يوجد رقم حقيقي ينتج عنه تربيع كمية سالبة. ثم نستنتج أن هذه المعادلة ليس لها حلول حقيقية.

ومع ذلك ، يمكننا كتابة هذا:

√-36 =-6 ² = √6 ² (-1) = 6√-1

إذا حددنا قيمة معينة x مثل:

× ² = -1

وبالتالي:

س = ± √-1

وسيكون للمعادلة أعلاه حل. لذلك ، تم تعريف الوحدة التخيلية على أنها:

أنا = √-1

و هكذا:

√-36 = 6 ط

عمل العديد من علماء الرياضيات في العصور القديمة على حل مشاكل مماثلة ، ولا سيما عصر النهضة جيرولامو كاردانو (1501-1576) ونيكولو فونتانا (1501-1557) ورافاييل بومبيلي (1526-1572).

بعد سنوات ، أطلق رينيه ديكارت (1596-1650) على الكميات "خيالية" مثل √-36 في المثال. لهذا السبب تُعرف √-1 بالوحدة التخيلية.

خصائص الأعداد المركبة

- يُشار إلى مجموعة الأعداد المركبة بالرمز C وتتضمن الأعداد الحقيقية R والأرقام التخيلية Im. يتم تمثيل مجموعات الأرقام في مخطط Venn ، كما هو موضح في الشكل التالي:

الشكل 2. مخطط فين لمجموعات الأرقام. المصدر: F. Zapata.

-كل رقم مركب يتكون من جزء حقيقي وجزء وهمي.

-عندما يكون الجزء التخيلي من رقم مركب هو 0 ، فهو رقم حقيقي خالص.

-إذا كان الجزء الحقيقي من رقم مركب هو 0 ، فإن الرقم هو مجرد وهمي.

- يتساوى عددان مركبان إذا كان الجزء الحقيقي والجزء التخيلي الخاص بهما متماثلًا.

- في حالة الأعداد المركبة ، يتم تنفيذ العمليات المعروفة مثل الجمع والطرح والضرب وحاصل الضرب والتعزيز ، مما ينتج عنه رقم مركب آخر.

تمثيل الأعداد المركبة

يمكن تمثيل الأعداد المركبة بطرق مختلفة. فيما يلي أهمها:

- شكل ذو الحدين

إنه الشكل المعطى في البداية ، حيث z هو العدد المركب ، و a هو الجزء الحقيقي ، و b هو الجزء التخيلي و i هو الوحدة التخيلية:

او ايضا:

تتمثل إحدى طرق رسم الرقم المركب في الرسم البياني في المستوى المركب الموضح في هذا الشكل. المحور التخيلي Im عمودي ، بينما المحور الحقيقي أفقي ويشار إليه بـ Re.

يتم تمثيل الرقم المركب z في هذا المستوى كنقطة إحداثيات (س ، ص) أو (أ ، ب) ، كما هو الحال مع نقاط المستوى الحقيقي.

المسافة من الأصل إلى النقطة z هي مقياس العدد المركب ، والمشار إليه بالرمز r ، بينما φ هي الزاوية التي يصنعها r مع المحور الحقيقي.

الشكل 3. تمثيل رقم مركب في المستوى المركب. المصدر: ويكيميديا ​​كومنز.

يرتبط هذا التمثيل ارتباطًا وثيقًا بتمثيل المتجهات في المستوى الحقيقي. تتوافق قيمة r مع معامل العدد المركب.

- الشكل القطبي

يتكون الشكل القطبي من التعبير عن العدد المركب بإعطاء قيم r و. إذا نظرنا إلى الشكل ، فإن قيمة r تقابل وتر المثلث القائم الزاوية. تساوي الأرجل أ وب ، أو س وص.

من الشكل ذي الحدين أو ذي الحدين ، يمكننا الانتقال إلى الشكل القطبي عن طريق:

الزاوية φ هي الزاوية المكونة من المقطع r بالمحور الأفقي أو المحور التخيلي. يُعرف باسم وسيطة العدد المركب. في هذا الطريق:

الحجة لها قيم لا نهائية ، مع الأخذ في الاعتبار أنه في كل مرة يتم فيها الدوران ، والتي تساوي 2π راديان ، تحتل r نفس الموضع مرة أخرى. بهذه الطريقة العامة ، يتم التعبير عن حجة z ، المشار إليها Arg (z) ، على النحو التالي:

حيث k هو عدد صحيح ويستخدم للإشارة إلى عدد المنعطفات: 2 ، 3 ، 4…. تشير العلامة إلى اتجاه الدوران ، إذا كان في اتجاه عقارب الساعة أو عكس اتجاه عقارب الساعة.

الشكل 4. التمثيل القطبي لعدد مركب في المستوى المركب. المصدر: ويكيميديا ​​كومنز.

وإذا أردنا الانتقال من الصورة القطبية إلى الصيغة ذات الحدين ، فإننا نستخدم النسب المثلثية. من الشكل السابق يمكننا أن نرى ما يلي:

س = ص كوس φ

y = r sin φ

بهذه الطريقة z = r (cos φ + i sin φ)

والذي يتم اختصاره على النحو التالي:

ض = ص رابطة الدول المستقلة φ

أمثلة على الأعداد المركبة

يتم إعطاء الأرقام المركبة التالية في شكل ذي الحدين:

أ) 3 + ط

ب) 4

د) -6 ط

وهذه في شكل زوج مرتب:

أ) (-5 ، -3)

ب) (0 ، 9)

ج) (7.0)

أخيرًا ، يتم إعطاء هذه المجموعة في الشكل القطبي أو المثلثي:

أ) √2 رابطة الدول المستقلة 45º

ب) √3 رابطة الدول المستقلة 30

ج) 2 cis 315º

لماذا هم؟

تتجاوز فائدة الأعداد المركبة حل المعادلة التربيعية الموضحة في البداية ، لأنها ضرورية في مجال الهندسة والفيزياء ، خاصة في:

- دراسة الموجات الكهرومغناطيسية

-تحليل التيار المتردد والجهد

- نمذجة جميع أنواع الإشارات

-نظرية النسبية ، حيث يُفترض أن الوقت مقدار خيالي.

عدد العمليات المعقدة

باستخدام الأعداد المركبة ، يمكننا إجراء جميع العمليات التي تتم باستخدام عمليات حقيقية. بعضها يكون أسهل إذا كانت الأرقام تأتي في شكل ذي حدين ، مثل الجمع والطرح. في المقابل ، يكون الضرب والقسمة أبسط إذا تم تنفيذهما بالصيغة القطبية.

دعنا نرى بعض الأمثلة:

- مثال 1

أضف z ₁ = 2 + 5i و z ₂ = -3 -8i

المحلول

تتم إضافة الأجزاء الحقيقية بشكل منفصل عن الأجزاء التخيلية:

ض ₁ + ض ₂ = (2 + 5 ط) + (-3 -8 ط) = -1 -3 ط

- المثال 2

اضرب z ₁ = 4 cis 45º ب z ₂ = 5 cis 120º

المحلول

يمكن إثبات أن حاصل ضرب عددين مركبين في الشكل القطبي أو المثلثي يتم الحصول عليه من خلال:

ض ₁. ض ₂ = ص ₁.R ₂ رابطة الدول المستقلة (φ ₁ + φ ₂)

على هذا النحو:

ض ₁. ض ₂ = (4 × 5) رابطة الدول المستقلة (45 + 120) = 20 رابطة الدول المستقلة 165º

تطبيق

تطبيق بسيط للأعداد المركبة هو إيجاد جميع جذور معادلة كثيرة الحدود مثل تلك الموضحة في بداية المقالة.

في حالة المعادلة x ² - 10x + 34 = 0 ، بتطبيق صيغة الحل التي نحصل عليها:

لذلك فإن الحلول هي:

س ₁ = 5 + 3 ط

س ₂ = 5 - 3 ط

المراجع

1. إيرل ، ر. الأعداد المركبة. تم الاسترجاع من: maths.ox.ac.uk.
2. Figuera، J. 2000. الرياضيات 1. متنوع. إصدارات CO-BO.
3. هوفمان ، ج. 2005. اختيار موضوعات الرياضيات. منشورات مونفورت.
4. Jiménez، R. 2008. الجبر. برنتيس هول.
5. ويكيبيديا. ارقام مركبة. تم الاسترجاع من: en.wikipedia.org