الأرقام غير المنطقية: التاريخ ، الخصائص ، التصنيف ، الأمثلة - رياضيات - 2026

على أرقام غير منطقية هي تلك التي لديها أرقام عشرية لانهائية من دون نمط تكرار التعبير، وبالتالي، لا يمكن أن يتم الحصول عليها من النسبة بين أي اثنين من الأعداد الصحيحة.

من بين أفضل الأرقام غير المنطقية المعروفة:

الشكل 1. الأرقام غير المنطقية التالية من أعلى إلى أسفل: باي ورقم أويلر والنسبة الذهبية وجذران تربيعان. المصدر: Pixabay.

من بينها ، بلا شك π (باي) هي الأكثر شيوعًا ، ولكن هناك الكثير. تنتمي جميعها إلى مجموعة الأعداد الحقيقية ، وهي المجموعة العددية التي تجمع الأعداد المنطقية وغير المنطقية معًا.

تشير علامة القطع في الشكل 1 إلى أن الكسور العشرية تستمر إلى ما لا نهاية ، ما يحدث هو أن مساحة الآلات الحاسبة العادية تسمح فقط بإظهار القليل منها.

إذا نظرنا بعناية ، فكلما قمنا بعمل حاصل قسمة بين رقمين كاملين ، نحصل على رقم عشري بأرقام محدودة أو إذا لم يكن الأمر كذلك ، بأرقام لا نهائية يتكرر فيها واحد أو أكثر. حسنًا ، هذا لا يحدث مع الأعداد غير المنطقية.

تاريخ الأعداد غير المنطقية

أسس عالم الرياضيات القديم العظيم فيثاغورس ، المولود عام 582 قبل الميلاد في ساموس باليونان ، مدرسة فيثاغورس للفكر واكتشف النظرية الشهيرة التي تحمل اسمه. لدينا هنا على اليسار (ربما عرفه البابليون قبل فترة طويلة).

الشكل 2. تطبق نظرية فيثاغورس على مثلث أضلاعه تساوي 1. المصدر: Pixabay / Wikimedia Commons.

حسنًا ، عندما طبق فيثاغورس (أو ربما أحد تلاميذه) النظرية على مثلث قائم الزاوية أضلاعه تساوي 1 ، وجد العدد غير النسبي √2.

لقد فعل ذلك بهذه الطريقة:

ج = -1 ² + 1 ² = -1 + 1 = -2

وعلى الفور أدرك أن هذا الرقم الجديد لا يأتي من حاصل القسمة بين عددين طبيعيين آخرين ، وهما الرقمان المعروفان في ذلك الوقت.

لذلك أطلق عليها اسم غير منطقي ، وتسبب الاكتشاف في قلق وحيرة شديدين بين الفيثاغوريين.

خصائص الأعداد غير النسبية

يرمز -The كل مجموعة من أرقام غير منطقية بحرف I وأحيانا باسم Q * أو س ^C. الاتحاد بين الأعداد غير النسبية I أو Q * والأرقام المنطقية Q ، يؤدي إلى ظهور مجموعة الأعداد الحقيقية R.

- باستخدام الأرقام غير المنطقية ، يمكن إجراء العمليات الحسابية المعروفة: الجمع والطرح والضرب والقسمة والتمكين والمزيد.

- لم يتم تعريف القسمة على 0 بين الأعداد غير المنطقية أيضًا.

- ليس بالضرورة أن يكون المجموع والمنتج بين الأعداد غير النسبية عددًا غير نسبي آخر. فمثلا:

√2 س √8 = 16 = 4

و 4 ليس عددًا غير نسبي.

-ومع ذلك ، فإن مجموع عدد منطقي زائد عدد غير نسبي يعطي نتيجة غير منطقية. في هذا الطريق:

1 + √2 = 2.41421356237…

- حاصل ضرب عدد نسبي يختلف عن 0 برقم غير نسبي هو أيضًا غير منطقي. لنلقِ نظرة على هذا المثال:

2 × √2 = 2.828427125…

- ينتج عن مقلوب اللاعقل عددًا غير نسبي آخر. لنجرب بعضًا:

1 / √2 = 0.707106781…

1 / √3 = 0.577350269…

هذه الأرقام مثيرة للاهتمام لأنها أيضًا قيم بعض النسب المثلثية للزوايا المعروفة. معظم النسب المثلثية عبارة عن أرقام غير منطقية ، ولكن هناك استثناءات ، مثل sin 30º = 0.5 = ، وهو أمر منطقي.

- في المجموع ، يتم استيفاء الخصائص التبادلية والجمعيات. إذا كان a و b رقمين غير منطقيين ، فهذا يعني أن:

أ + ب = ب + أ.

وإذا كان c عددًا غير نسبي آخر ، إذن:

(أ + ب) + ج = أ + (ب + ج).

- الخاصية التوزيعية للضرب فيما يتعلق بالجمع هي خاصية أخرى معروفة جيداً تنطبق أيضًا على الأعداد غير النسبية. في هذه الحالة:

أ (ب + ج) = أب + ج

- للغير عقلاني نقيضه: - أ. عندما يتم جمعها معًا تكون النتيجة 0:

أ + (- أ) = 0

- يوجد بين سببين منطقيين مختلفين عدد غير نسبي واحد على الأقل.

موقع الرقم غير النسبي على الخط الحقيقي

الخط الحقيقي هو خط أفقي حيث توجد الأرقام الحقيقية ، وتعتبر الأرقام غير المنطقية جزءًا مهمًا منه.

لإيجاد عدد غير نسبي على الخط الحقيقي ، في الشكل الهندسي ، يمكننا استخدام نظرية فيثاغورس والمسطرة والبوصلة.

كمثال ، سنحدد موقع √5 على الخط الحقيقي ، والذي نرسم له مثلثًا قائم الزاوية مع أضلاعه x = 2 و y = 1 ، كما هو موضح في الشكل:

الشكل 3. طريقة لتحديد رقم غير نسبي على الخط الحقيقي. المصدر: F. Zapata.

وفقًا لنظرية فيثاغورس ، فإن وتر المثلث هو:

ج = ^{2 2} + 1 ² = 4 + 1 = 5

الآن يتم وضع البوصلة مع النقطة عند 0 ، حيث يكون أحد رؤوس المثلث القائم الزاوية أيضًا. يجب أن تكون نقطة قلم البوصلة عند قمة الرأس A.

يتم رسم قوس محيط يقطع الخط الحقيقي. نظرًا لأن المسافة بين مركز المحيط وأي نقطة عليه هي نصف القطر ، والتي تساوي √5 ، فإن نقطة التقاطع أيضًا بعيدة عن المركز from5.

من الرسم البياني يمكن ملاحظة أن √5 تقع بين 2 و 2.5. تعطينا الآلة الحاسبة القيمة التقريبية لـ:

√5 = 2.236068

وهكذا ، ببناء مثلث بأضلاعه المناسبة ، يمكن تحديد مواقع أخرى غير منطقية ، مثل √7 وغيرها.

تصنيف الأعداد غير المنطقية

يتم تصنيف الأرقام غير المنطقية إلى مجموعتين:

-جبري

- متسامي أو متعالي

الأعداد الجبرية

الأرقام الجبرية ، التي قد تكون أو لا تكون غير منطقية ، هي حلول للمعادلات متعددة الحدود التي يكون شكلها العام:

a _n x ⁿ + a _n-1 x ^n-1 + a _n-2 x ^n-2 +…. + أ ₁ س + أ _س = 0

مثال على معادلة متعددة الحدود هي معادلة تربيعية مثل هذا:

× ³ - 2 س = 0

من السهل إظهار أن العدد غير النسبي √2 هو أحد حلول هذه المعادلة.

الأعداد المتسامية

من ناحية أخرى ، فإن الأرقام المتعالية ، على الرغم من أنها غير منطقية ، لا تظهر أبدًا كحل لمعادلة متعددة الحدود.

الأرقام المتسامية الموجودة في أغلب الأحيان في الرياضيات التطبيقية هي π ، بسبب علاقتها بالمحيط والرقم e ، أو رقم أويلر ، وهو أساس اللوغاريتمات الطبيعية.

ممارسه الرياضه

يوضع مربع رمادي على مربع أسود في الموضع الموضح في الشكل. من المعروف أن مساحة المربع الأسود تبلغ 64 سم ². كم أطوال كلا المربعين؟

الشكل 4. مربعان نريد إيجاد طول ضلعه. المصدر: F. Zapata.

الرد

مساحة المربع مع الضلع L هي:

أ = ل ²

نظرًا لأن المربع الأسود بمساحة 64 سم ² ، فيجب أن تكون ضلعه 8 سم.

هذا القياس هو نفسه قطري المربع الرمادي. بتطبيق نظرية فيثاغورس على هذا القطر ، وتذكر أن أضلاع المربع هي نفسها ، سيكون لدينا:

8 ² = L _g ² + L _g ²

حيث L _g هو جانب المربع الرمادي.

لذلك: ² لتر _ز ² = 8 ²

تطبيق الجذر التربيعي على جانبي المساواة:

L _g = (8 / √2) سم

المراجع

1. Carena، M. 2019. دليل الرياضيات لما قبل الجامعة. جامعة ليتورال الوطنية.
2. Figuera ، J. 2000. الرياضيات 9th. الدرجة العلمية. إصدارات CO-BO.
3. Jiménez، R. 2008. الجبر. برنتيس هول.
4. البوابة التعليمية. الأعداد غير النسبية وخصائصها. تم الاسترجاع من: portaleducativo.net.
5. ويكيبيديا. أرقام غير منطقية. تم الاسترجاع من: es.wikipedia.org.