الأعداد المنطقية: الخصائص والأمثلة والعمليات - رياضيات - 2026

و الأرقام عقلانية ويمكن الحصول على كافة الأرقام وتقسيم اثنين من الأعداد الصحيحة. أمثلة على الأرقام المنطقية هي: 3/4 ، 8/5 ، -16/3 وتلك التي تظهر في الشكل التالي. في رقم منطقي يشار إلى حاصل القسمة ، ويمكن القيام بذلك لاحقًا إذا لزم الأمر.

يمثل الشكل أي جسم مستدير لمزيد من الراحة. إذا أردنا تقسيمه إلى جزأين متساويين ، كما هو الحال في اليمين ، يتبقى لدينا نصفان وكل منهما يساوي 1/2.

الشكل 1. تُستخدم الأعداد النسبية لتقسيم الكل إلى عدة أجزاء. المصدر: Freesvg.

بتقسيمها إلى 4 أجزاء متساوية ، نحصل على 4 قطع وكل واحدة تساوي 1/4 ، كما في الصورة في المنتصف. وإذا كان يجب تقسيمه إلى 6 أجزاء متساوية ، فسيكون كل جزء يساوي 1/6 ، وهو ما نراه في الصورة على اليسار.

بالطبع ، يمكننا أيضًا تقسيمها إلى جزأين غير متساويين ، على سبيل المثال يمكننا الاحتفاظ بـ 3/4 أجزاء وحفظ 1/4 جزء. التقسيمات الأخرى ممكنة أيضًا ، مثل 4/6 أجزاء و 2/6 أجزاء. المهم أن مجموع كل الأجزاء هو 1.

بهذه الطريقة ، من الواضح أنه باستخدام الأرقام المنطقية ، يمكنك تقسيم وعد وتوزيع أشياء مثل الطعام والمال والأرض وجميع أنواع الأشياء في كسور. وبالتالي يتم توسيع عدد العمليات التي يمكن إجراؤها باستخدام الأرقام.

يمكن أيضًا التعبير عن الأرقام المنطقية في شكل عشري ، كما يتضح من الأمثلة التالية:

1/2 = 0.5

1/3 = 0.3333…..

3/4 = 0.75

1/7 = 0.142857142857142857 ………

لاحقًا سنشير إلى كيفية الانتقال من نموذج إلى آخر بأمثلة.

خصائص الأعداد المنطقية

الأرقام المنطقية ، التي سنشير إلى مجموعتها بالحرف Q ، لها الخصائص التالية:

-Q يشمل الأعداد الطبيعية N والأعداد الصحيحة Z.

مع الأخذ في الاعتبار أن أي رقم يمكن التعبير عنه على أنه حاصل القسمة بينه وبين 1 ، فمن السهل أن نرى أنه من بين الأعداد المنطقية توجد أيضًا أعداد طبيعية وأعداد صحيحة.

وبالتالي ، يمكن كتابة الرقم الطبيعي 3 في صورة كسر وأيضًا -5:

3 = 3/1

-5 = -5/1 = 5 / -1 = - (5/1)

بهذه الطريقة ، Q هي مجموعة عددية تتضمن عددًا أكبر من الأرقام ، وهو أمر ضروري للغاية ، لأن الأرقام "المستديرة" لا تكفي لوصف جميع العمليات الممكنة للقيام بها.

- يمكن جمع وطرح ومضاعفة وتقسيم الأعداد النسبية ، ونتيجة العملية هي رقم منطقي: 1/2 + 1/5 = 7/10 ؛ 1/2 - 1/5 = 3/10 ؛ (1/2) × (1/5) = 1/10 ؛ (1/2) ÷ (1/5) = 5/2.

- بين كل زوج من الأرقام المنطقية ، يمكن دائمًا العثور على رقم منطقي آخر. في الواقع ، يوجد عدد لا نهائي من الأعداد المنطقية بين عددين منطقيين.

على سبيل المثال ، بين الأسس المنطقية 1/4 و 1/2 هي الأسباب المنطقية 3/10 و 7/20 و 2/5 (وغيرها الكثير) ، والتي يمكن التحقق منها بالتعبير عنها في صورة كسور عشرية.

- يمكن التعبير عن أي رقم منطقي على النحو التالي: 1) عدد صحيح أو 2) عدد عشري محدود (صارم) أو دوري: 4/2 = 2 ؛ 1/4 = 0.25 ؛ 1/6 = 0.16666666 ……

-يمكن تمثيل نفس العدد بواسطة كسور مكافئة لانهائية وكلها تنتمي إلى Q. لنرى هذه المجموعة:

كلهم يمثلون الرقم العشري 0.428571…

-من بين جميع الكسور المتكافئة التي تمثل نفس العدد ، فإن الكسر غير القابل للاختزال ، وهو الأبسط على الإطلاق ، هو الممثل الكنسي لهذا الرقم. الممثل الكنسي للمثال أعلاه هو 3/7.

الشكل 2.- المجموعة Q للأرقام المنطقية. المصدر: ويكيميديا ​​كومنز. Uvm Eduardo Artur / CC BY-SA (https://creativecommons.org/licenses/by-sa/4.0).

أمثلة على الأرقام المنطقية

- الكسور الصحيحة التي يكون فيها البسط أقل من المقام:

- الكسور غير الصحيحة التي بسطها أكبر من المقام:

- الأعداد الطبيعية والأعداد الصحيحة:

-الكسور المتكافئة:

التمثيل العشري لرقم منطقي

عندما يقسم البسط على المقام ، يتم إيجاد الشكل العشري للعدد المنطقي. فمثلا:

2/5 = 0.4

3/8 = 0.375

1/9 = 0.11111…

6/11 = 0.545454…

في المثالين الأولين ، يكون عدد المنازل العشرية محدودًا. هذا يعني أنه عند إجراء القسمة ، يتم الحصول على ما تبقى من 0 أخيرًا.

من ناحية أخرى ، في العامين التاليين ، يكون عدد المنازل العشرية غير محدود وهذا هو سبب وضع علامة الحذف. في الحالة الأخيرة يوجد نمط في الكسور العشرية. في حالة الكسر 1/9 ، يتكرر الرقم 1 إلى أجل غير مسمى ، بينما في 6/11 يكون الرقم 54.

عند حدوث ذلك ، يُقال أن العلامة العشرية دورية ويُشار إليها بحرف إقحام مثل هذا:

تحويل عدد عشري إلى كسر

إذا كان عددًا عشريًا محدودًا ، فسيتم حذف الفاصلة ببساطة ويصبح المقام وحدة متبوعة بعدد من الأصفار كما هو الحال في الفاصلة العشرية. على سبيل المثال ، لتحويل الرقم العشري 1.26 إلى كسر ، اكتبه على النحو التالي:

1.26 = 126/100

ثم يتم تبسيط الكسر الناتج إلى الحد الأقصى:

126/100 = 63/50

إذا كانت العلامة العشرية غير محدودة ، يتم تحديد الفترة أولاً. ثم يتم اتباع هذه الخطوات لإيجاد الكسر الناتج:

-البسط هو الطرح بين الرقم (بدون فاصلة أو علامة إقحام) والجزء الذي لا يحتوي على علامة الإقحام.

-المقام هو عدد صحيح يحتوي على 9 بقدر ما توجد أرقام تحت الرمز ، وعدد 0 كما هو الحال في الجزء العشري الذي لا يقع تحت الرمز.

دعنا نتبع هذا الإجراء لتحويل الرقم العشري 0.428428428… إلى كسر.

- أولاً: تحديد الفترة وهو التسلسل المكرر: 428.

- بعد ذلك تتم عملية طرح الرقم بدون فاصلة أو تشكيل: 0428 من الجزء الذي لا يحتوي على محيط ، وهو 0. وبالتالي فهو 428 - 0 = 428.

-تم تكوين المقام ، مع العلم أنه يوجد 3 أشكال تحت الرمز المحيطي وجميعها تقع تحت المحيط. إذن ، المقام هو 999.

- أخيرًا يتم تكوين الكسر وتبسيطه إن أمكن:

0.428 = 428/999

ليس من الممكن التبسيط أكثر.

العمليات ذات الأعداد المنطقية

- جمع وطرح

الكسور التي لها نفس المقام

عندما يكون للكسرين نفس المقام ، يكون جمعهما و / أو طرحهما أمرًا سهلاً للغاية ، لأن البسط يتم إضافتهما جبريًا ، مع ترك نفس المضافات كمقام النتيجة. أخيرًا ، إذا أمكن ، يتم تبسيطها.

مثال

نفذ الإضافة الجبرية التالية وقم بتبسيط النتيجة:

الكسر الناتج غير قابل للاختزال بالفعل.

الكسور ذات القواسم المختلفة

في هذه الحالة ، يتم استبدال الإضافات بكسور مكافئة لها نفس المقام ثم يتم اتباع الإجراء الموصوف بالفعل.

مثال

اجمع جبريًا الأعداد المنطقية التالية ، مع تبسيط النتيجة:

الخطوات هي:

-تحديد المضاعف المشترك الأصغر (lcm) في المقامات 5 و 8 و 3:

سم (5،8،3) = 120

سيكون هذا هو مقام الكسر الناتج بدون تبسيط.

- لكل كسر: اقسم المضاعف المشترك الأصغر على المقام واضرب في البسط. يتم وضع نتيجة هذه العملية ، مع الإشارة الخاصة بها ، في بسط الكسر. بهذه الطريقة ، يتم الحصول على كسر مكافئ للأصل ، ولكن مع المضاعف المشترك الأصغر كمقام.

على سبيل المثال ، بالنسبة للكسر الأول ، يتم إنشاء البسط على النحو التالي: (120/5) × 4 = 96 ونحصل على:

تابع بنفس الطريقة مع الكسور المتبقية:

أخيرًا ، يتم استبدال الكسور المتكافئة دون نسيان علامتها ويتم تنفيذ المجموع الجبري للبسط:

(4/5) + (14/8) - (11/3) + 2 = (96/120) + (210/120) - (440/120) + (240/120) =

= (96 + 210-440 + 24) / 120 = -110 / 120 = -11 / 12

- الضرب والقسمة

يتم الضرب والقسمة باتباع القواعد الموضحة أدناه:

الشكل 3. قواعد لضرب وقسمة الأعداد النسبية. المصدر: F. Zapata.

على أي حال ، من المهم أن نتذكر أن عملية الضرب تبادلية ، مما يعني أن ترتيب العوامل لا يغير المنتج. هذا لا يحدث مع القسمة ، لذلك يجب الحرص على احترام الترتيب بين المقسوم والمقسوم عليه.

مثال 1

قم بتنفيذ العمليات التالية وتبسيط النتيجة:

أ) (5/3) × (8/15)

ب) (-4/5) ÷ (2/9)

إجابة على

(5/3) × (8/15) = (5 × 8) / (3 × 15) = 15/120 = 1/8

الجواب ب

(-4/5) ÷ (2/9) = (-4 × 9) / (5 × 2) = -36 / 10 = -18/5

مثال 2

كان لدى لويزا 45 دولارًا. أنفق عشره في شراء كتاب و 2/5 مما بقي على قميص. كم من المال تركت لويزا؟ عبر عن النتيجة في صورة كسر غير قابل للاختزال.

المحلول

تكلفة الكتاب (1/10) × 45 دولارًا = 0.1 × 45 دولارًا = 4.5 دولارًا

لذلك ، تركت لويزا مع:

45 - 4.5 دولار = 40.5 دولار

وبهذا المال ذهبت لويزا إلى متجر الملابس واشترت القميص ، وكان سعره:

(2/5) × 40.5 دولارًا = 16.2 دولارًا

الآن لدى لويزا في محفظتها:

40.5 - 16.2 دولار = 24.3 دولار

للتعبير عنها في صورة كسر يتم كتابتها على النحو التالي:

24.3 = 243/10

هذا غير قابل للاختزال.

المراجع

1. بالدور ، أ. 1986. الحساب. طبعات وتوزيع الدستور.
2. كارينا ، إم. 2019. دليل الرياضيات. جامعة ليتورال الوطنية.
3. Figuera، J. 2000. الرياضيات 8. Ediciones Co-Bo.
4. Jiménez، R. 2008. الجبر. برنتيس هول.
5. الأعداد المنطقية. تم الاسترجاع من: Cimanet.uoc.edu.
6. أرقام نسبية. تم الاسترجاع من: webdelprofesor.ula.ve.