و الزاوية المحيطية من دائرة واحد هو أن لديها الرأس على الدائرة وشعاعها والقاطع أو الظل الى ذلك. نتيجة لذلك ، ستكون الزاوية المحدبة دائمًا محدبة أو مسطحة.
في الشكل 1 ، يتم تمثيل عدة زوايا منقوشة في محيط كل منها. يتم كتابة الزاوية ∠EDF من خلال جعل رأسها D على المحيط وشعاعيها =.
في المثلث المتساوي الساقين ، تكون الزوايا المجاورة للقاعدة متساوية ، لذلك ∠BCO = ∠ABC = α. من ناحية أخرى ، COB = 180º - β.
بالنظر إلى مجموع الزوايا الداخلية للمثلث COB ، لدينا:
α + α + (180º - β) = 180º
مما يلي أن 2 α = β ، أو ما يعادله: α = β / 2. هذا يتفق مع ما تنص عليه النظرية 1: قياس الزاوية المحيطية هو نصف الزاوية المركزية ، إذا كانت كلتا الزاويتين تقابلان الوتر نفسه.
مظاهرة 1 ب
الشكل 6. البناء الإضافي لتوضيح أن α = β / 2. المصدر: F. Zapata مع Geogebra.
في هذه الحالة لدينا الزاوية المحيطية ∠ABC ، حيث يقع مركز الدائرة O داخل الزاوية.
لإثبات النظرية 1 في هذه الحالة ، ارسم الشعاع المساعد).push ({}) ؛
وبالمثل ، فإن الزاويتين المركزيتين 1 و 2 متجاورتان للشعاع المذكور. وهكذا لدينا نفس الوضع كما تظهر 1A، لذلك يمكن القول إن α 2 = β 2 /2 و الفا 1 = β 1 /2. كما α = α 1 + α 2 و β β = 1 + β 2 ديك إذن أن α = α 1 + α 2 = β 1 /2 + β 2 /2 = (β 1 + β 2) / 2 = β / اثنان.
في الاستنتاج α = β / 2 ، والذي يحقق النظرية 1.
- نظرية 2
الشكل 7. الزوايا المحيطية ذات القياس المتساوي α ، لأنها تقابل نفس القوس A⌒C. المصدر: F. Zapata مع Geogebra.
- نظرية 3
الزوايا المنقوشة التي تتبع وترات من نفس المقياس متساوية.
الشكل 8. الزوايا المحيطية التي تتبع وترات متساوية القياس لها قياس متساوٍ β. المصدر: F. Zapata مع Geogebra.
أمثلة
- مثال 1
بيّن أن الزاوية المحيطية التي تقابل القطر هي الزاوية القائمة.
المحلول
الزاوية المركزية ∠AOB المرتبطة بالقطر هي زاوية مستوية ، قياسها 180 درجة.
وفقًا للنظرية 1 ، فإن كل زاوية منقوشة في المحيط الذي يقابل نفس الوتر (في هذه الحالة القطر) لها نصف قياس الزاوية المركزية التي تقابل نفس الوتر ، والتي هي في مثالنا 180º / 2 = 90º.
الشكل 9: كل زاوية محيطية تقابل القطر هي زاوية قائمة. المصدر: F. Zapata مع Geogebra.
- المثال 2
الخط (BC) المماس عند A للمحيط C ، يحدد الزاوية المحيطية ∠BAC (انظر الشكل 10).
تحقق من استيفاء النظرية 1 للزوايا المدوَّنة.
الشكل 10. الزاوية المحيطية BAC وزاويتها المحدبة المركزية AOA. المصدر: F. Zapata مع Geogebra.
المحلول
الزاوية ∠BAC منقوشة لأن رأسها يقع على المحيط ، وضلعها [AB) و [AC) مماس للمحيط ، لذلك يتم استيفاء تعريف الزاوية المحيطية.
من ناحية أخرى ، فإن الزاوية المحيطية ∠BAC تقابل القوس A⌒A ، وهو المحيط بأكمله. الزاوية المركزية التي تقابل القوس A⌒A هي زاوية محدبة يكون قياسها هو الزاوية الكاملة (360 درجة).
الزاوية المحيطية التي تقابل القوس بأكمله تقيس نصف الزاوية المركزية المرتبطة به ، أي ∠BAC = 360º / 2 = 180º.
مع كل ما سبق ، يتم التحقق من أن هذه الحالة الخاصة تفي بالنظرية 1.
المراجع
- بالدور. (1973). الهندسة وعلم المثلثات. دار النشر الثقافية في أمريكا الوسطى.
- EA (2003). عناصر الهندسة: مع التدريبات وهندسة البوصلة. جامعة ميديلين.
- الهندسة 1 ESO. الزوايا على المحيط. تم الاسترجاع من: edu.xunta.es/
- كل العلوم. تمارين الزوايا في المحيط المقترحة. تم الاسترجاع من: francesphysics.blogspot.com
- ويكيبيديا. الزاوية المحيطية. تم الاسترجاع من: es.wikipedia.com