الزوايا التكميلية: أي منها وكيف يتم حسابها ، أمثلة ، تمارين - رياضيات - 2026

زاويتان أو أكثر هما زاويتان مكملتان إذا كان مجموع قياساتهما يتوافق مع قياس الزاوية القائمة. كما هو معروف ، فإن قياس الزاوية القائمة بالدرجات يساوي 90 درجة ، ويساوي بالراديان π / 2.

على سبيل المثال ، الزاويتان المتجاورتان لوتر المثلث القائم الزاوية مكملان لبعضهما البعض ، لأن مجموع قياساتهما هو 90º. الشكل التالي توضيح للغاية في هذا الصدد:

الشكل 1. على اليسار ، عدة زوايا برأس مشترك. إلى اليمين ، زاوية مقدارها 60 درجة تكمل الزاوية α (ألفا). المصدر: F. Zapata.

يظهر ما مجموعه أربع زوايا في الشكل 1. α و مكملان لأنهما متجاورتان ويكمل مجموعهما الزاوية اليمنى. وبالمثل ، فإن β مكملة لـ which ، والتي يتبع منها أن γ و α متساويان في القياس.

الآن ، بما أن مجموع α و يساوي 90 درجة ، فيمكن القول إن α و مكملان. علاوة على ذلك ، نظرًا لأن β و لهما نفس α التكميلي ، فيمكن القول إن β و لهما نفس المقياس.

أمثلة على الزوايا التكميلية

تطلب الأمثلة التالية العثور على الزوايا المجهولة ، المميزة بعلامات استفهام في الشكل 2.

الشكل 2. أمثلة مختلفة من الزوايا التكميلية. المصدر: F. Zapata.

- أمثلة أ ، ب ، ج

الأمثلة التالية مرتبة حسب درجة التعقيد.

مثال أ

في الشكل أعلاه ، لدينا أن الزاويتين المجاورتين α و 40º تضافان إلى الزاوية القائمة. أي α + 40º = 90º ، وبالتالي فإن α = 90º- 40º = 50º.

مثال ب

بما أن β مكملة للزاوية 35º ، إذن β = 90º - 35º = 55º.

مثال ج

من الشكل 2C لدينا مجموع γ + 15º + 15º = 90º. بمعنى آخر ، γ مكمل للزاوية 30º = 15º + 15º. لهذا السبب:

γ = 90º- 30º = 60º

- أمثلة D و E و F.

في هذه الأمثلة هناك المزيد من الزوايا المعنية. للعثور على المجهول ، يجب على القارئ تطبيق مفهوم الزاوية التكميلية عدة مرات حسب الضرورة.

مثال د

بما أن X مكمل لـ 72º ، فإنه يتبع ذلك X = 90º - 72º = 18º. علاوة على ذلك ، فإن Y مكملة لـ X ، لذلك Y = 90º - 18º = 72º.

وأخيرًا ، فإن Z مكمل لـ Y. ومن كل ما سبق ، يتبع ذلك:

Z = 90º - 72º = 18º

مثال هـ

الزاويتان و 2δ متكاملتان ، لذلك δ + 2δ = 90º.

أي 3δ = 90º ، مما يعني أن δ = 90º / 3 = 30º.

مثال F

إذا استدعينا الزاوية بين que و 10º U ، فإن U مكمل لكليهما ، لأنه يُلاحظ أن مجموعهما يكمل الزاوية اليمنى. من الذي يتبع ذلك U = 80º. بما أن U مكملة لـ ω ، إذن ω = 10º.

تمارين

تم اقتراح ثلاث تمارين أدناه. في كل منهم يجب إيجاد قيمة الزاويتين A و B بالدرجات ، بحيث تتحقق العلاقات الموضحة في الشكل 3.

الشكل 3. الرسوم التوضيحية لتمارين الزاوية التكميلية. المصدر: F. Zapata.

- التمرين 1

حدد قيم الزاويتين أ وب من الجزء الأول) بالشكل 3.

المحلول

من الشكل الموضح يمكن ملاحظة أن A و B متكاملان ، لذلك A + B = 90º. نعوض بالتعبير عن A و B كدالة في x المعطى في الجزء الأول):

(س / 2 + 7) + (2 س + 15) = 90

ثم يتم تجميع المصطلحات بشكل مناسب ويتم الحصول على معادلة خطية بسيطة:

(5 س / 2) + 22 = 90

بطرح 22 في كلا العضوين لدينا:

5 س / 2 = 90-22 = 68

وأخيرًا يتم مسح قيمة x:

س = 2 * 68/5 = 136/5

الآن يمكن إيجاد الزاوية A بالتعويض عن قيمة X:

أ = (136/5) / 2 +7 = 103/5 = 20.6 º.

بينما الزاوية ب هي:

ب = 2 * 136/5 + 15 = 347 / الخامس = 69.4 درجة.

- تمرين 2

أوجد قيم الزاويتين A و B للصورة II ، الشكل 3.

المحلول

مرة أخرى ، بما أن A و B زاويتان متكاملتان ، فإن ذلك يتبع: A + B = 90º. بالتعويض عن التعبير عن A و B كدالة لـ x المعطى في الجزء الثاني) من الشكل 3 ، لدينا:

(2 س - 10) + (4 س + 40) = 90

يتم تجميع المصطلحات المتشابهة معًا للحصول على المعادلة:

6 س + 30 = 90

قسمة كلا العضوين على 6 تحصل على:

س + 5 = 15

مما يلي ذلك x = 10º.

هكذا:

أ = 2 * 10-10 = 10º

ب = 4 * 10 + 40 = 80 درجة.

- التمرين 3

حدد قيم الزاويتين أ وب من الجزء الثالث) بالشكل 3.

المحلول

مرة أخرى يتم تحليل الشكل بعناية لإيجاد الزوايا المكملة. في هذه الحالة ، لدينا أ + ب = 90 درجة. بالتعويض عن التعبير عن A و B كدالة لـ x المعطى في الشكل ، لدينا:

(-x +45) + (4x -15) = 90

3 س + 30 = 90

ينتج عن قسمة كلا العضوين على 3 ما يلي:

س + 10 = 30

مما يتبع ذلك x = 20º.

بمعنى آخر ، الزاوية أ = -20 +45 = 25 درجة. ومن جانبها: ب = 4 * 20-15 = 65 درجة.

الزوايا الجانبية العمودية

يقال إن زاويتين لهما جوانب متعامدة إذا كان لكل جانب جانب متعامد على الآخر. يوضح الشكل التالي المفهوم:

الشكل 4. زوايا الأضلاع المتعامدة. المصدر: F. Zapata.

في الشكل 4 ، لوحظت الزاويتان α و ، على سبيل المثال. لاحظ الآن أن كل زاوية لها عموديها المقابل في الزاوية الأخرى.

يُلاحظ أيضًا أن α و لهما نفس الزاوية التكميلية z ، وبالتالي يستنتج المراقب على الفور أن α و لهما نفس المقياس. يبدو إذن أنه إذا كانت هناك زاويتان لهما أضلاع متعامدة مع بعضهما البعض ، فإنهما متساويتان ، لكن دعونا ننظر إلى حالة أخرى.

فكر الآن في الزاويتين α و. هاتان الزاويتان لهما أيضًا جوانب متعامدة متناظرة ، ولكن لا يمكن القول إنهما متساويتان في القياس ، لأن إحداهما حادة والأخرى منفرجة.

لاحظ أن ω + θ = 180º. علاوة على ذلك θ = α. إذا استبدلت هذا التعبير بـ z في المعادلة الأولى ، فستحصل على:

δ + α = 180º ، حيث و α زاويتان متعامدتان على الجانبين.

القاعدة العامة لزوايا الأضلاع المتعامدة

1. Baldor، JA 1973. هندسة الطائرة والفضاء. ثقافة أمريكا الوسطى.
2. القوانين والصيغ الرياضية. أنظمة قياس الزوايا. تم الاسترجاع من: ingemecanica.com.
3. وينتورث ، جي هندسة الطائرة. تم الاسترجاع من: gutenberg.org.
4. ويكيبيديا. زوايا متكاملة. تم الاسترجاع من: es.wikipedia.com
5. ويكيبيديا. ناقل. تم الاسترجاع من: es.wikipedia.com
6. Zapata F. Goniómetro: التاريخ ، الأجزاء ، العملية. تم الاسترجاع من: lifeder.com