متوازي السطوح: الخصائص والأنواع والمساحة والحجم - رياضيات - 2025

A متوازي هو هيئة هندسية تتكون من ستة وجوه، والسمة الرئيسية منها هي أن كل وجوهه هي متوازيات الأضلاع وأيضا أن وجوه نقيضه موازية لبعضها البعض. إنه متعدد الوجوه شائع في حياتنا اليومية ، حيث يمكننا العثور عليه في صناديق الأحذية ، وشكل الطوب ، وشكل الميكروويف ، وما إلى ذلك.

لكونه متعدد السطوح ، فإن متوازي السطوح يحيط بحجم محدود وجميع أوجهه مسطحة. وهي جزء من مجموعة المنشورات ، وهي تلك التي تحتوي على جميع رؤوسها في مستويين متوازيين.

عناصر الموازي

وجوه

تتكون كل منطقة من متوازي الأضلاع التي تحد من خط الموازي. خط متوازي له ستة أوجه ، حيث لكل وجه أربعة أوجه متجاورة وواحد مقابل. أيضا ، كل وجه يوازي نقيضه.

حواف

هم الجانب المشترك للوجهين. في المجموع ، يحتوي خط الموازي على اثني عشر حافة.

فيرتكس

إنها النقطة المشتركة لثلاثة وجوه متجاورة مع اثنين في اثنين. خط متوازي له ثمانية رؤوس.

قطري

بالنظر إلى وجهين على خط متوازي السطوح متقابلان لبعضهما البعض ، يمكننا رسم قطعة مستقيمة تمتد من رأس أحد الوجهين إلى الرأس المقابل للوجه الآخر.

يُعرف هذا الجزء بقطر خط الموازي. كل خط متوازي له أربعة أقطار.

مركز

إنها النقطة التي تتقاطع عندها جميع الأقطار.

خصائص خط الموازي

كما ذكرنا سابقًا ، يحتوي هذا الجسم الهندسي على اثني عشر ضلعًا وستة وجوه وثمانية رؤوس.

في خط متوازي ، يمكن تحديد ثلاث مجموعات مكونة من أربعة حواف ، والتي تكون متوازية مع بعضها البعض. علاوة على ذلك ، فإن حواف المجموعات المذكورة لها أيضًا خاصية لها نفس الطول.

خاصية أخرى تمتلكها الخطوط المتوازية هي أنها محدبة ، أي إذا أخذنا أي زوج من النقاط تنتمي إلى الجزء الداخلي من خط الموازي ، فإن الجزء الذي يحدده الزوج المذكور سيكون أيضًا ضمن خط الموازي.

بالإضافة إلى ذلك ، فإن الأشكال المتوازية للسطوح كونها متعددة السطوح محدبة تتوافق مع نظرية أويلر بالنسبة لمتعدد السطوح ، والتي تعطينا علاقة بين عدد الوجوه وعدد الأضلاع وعدد الرؤوس. يتم إعطاء هذه العلاقة في شكل المعادلة التالية:

C + V = A + 2

تُعرف هذه الخاصية باسم خاصية أويلر.

حيث C هو عدد الوجوه ، V عدد الرؤوس و A عدد الأضلاع.

أنواع

يمكننا تصنيف الخطوط المتوازية بناءً على وجوههم ، إلى الأنواع التالية:

أورثوهيدرون

هم متوازي السطوح حيث تتشكل وجوههم بستة مستطيلات. كل مستطيل عمودي على تلك التي تشترك في حافة. هم الأكثر شيوعًا في حياتنا اليومية ، وهذا هو الشكل المعتاد لعلب الأحذية والطوب.

المكعب العادي أو السداسي

هذه حالة خاصة للحالة السابقة ، حيث يكون كل وجه مربعًا.

يعد المكعب أيضًا جزءًا من الأجسام الهندسية التي تسمى المواد الصلبة الأفلاطونية. المادة الصلبة الأفلاطونية هي متعددة السطوح المحدبة ، بحيث تكون وجوهها وزواياه الداخلية متساوية مع بعضها البعض.

معين هندسي

إنه متوازي مع المعين لوجهه. كل هذه المعينات متساوية مع بعضها البعض ، لأنها تشترك في الحواف.

معين هندسي

وجوهها الستة عبارة عن أشكال معينية. تذكر أن المعين هو مضلع له أربعة جوانب وأربع زوايا تساوي اثنين إلى اثنين. المعينات هي متوازيات الأضلاع ليست مربعات ولا مستطيلات ولا معينات.

من ناحية أخرى ، فإن الخطوط المتوازية المائلة هي تلك التي لا يتفق فيها ارتفاع واحد على الأقل مع حوافها. في هذا التصنيف يمكننا أن ندرج المعين و المعين.

حساب الأقطار

لحساب قطري المجسم ، يمكننا استخدام نظرية فيثاغورس لـ R ³.

تذكر أن المجسم له خاصية أن كل جانب متعامد على الجوانب التي تشترك في الحافة. من هذه الحقيقة يمكننا أن نستنتج أن كل حافة متعامدة مع تلك التي تشترك في الرأس.

لحساب طول قطري المجسم ، نتابع على النحو التالي:

1. نحسب قطر أحد الوجوه ، والذي سنضعه كقاعدة. لهذا نستخدم نظرية فيثاغورس. دعنا نسمي هذا القطر d _b.

2. ثم باستخدام d _{b ،} يمكننا تكوين مثلث قائم الزاوية جديد ، بحيث يكون وتر المثلث المذكور هو القطر D الذي نبحث عنه.

3. نستخدم نظرية فيثاغورس مرة أخرى ولدينا أن طول هذا القطر هو:

هناك طريقة أخرى لحساب الأقطار بطريقة أكثر بيانية وهي إضافة متجهات مجانية.

تذكر أنه تمت إضافة متجهين مجانيين A و B عن طريق وضع ذيل المتجه B بطرف المتجه A.

المتجه (A + B) هو الذي يبدأ عند ذيل A وينتهي عند طرف B.

دعونا نفكر في خط متوازي نرغب في حساب قطري له.

نحدد الحواف بالمتجهات الموجهة بشكل ملائم.

ثم نضيف هذه المتجهات وسيكون المتجه الناتج هو قطري خط الموازي.

منطقة

تُعطى مساحة خط الموازي بمجموع كل منطقة من مناطق وجوهها.

إذا حددنا أحد الجوانب كقاعدة ،

A _L + 2A _B = المساحة الإجمالية

حيث A _L يساوي مجموع مساحات جميع الجوانب المجاورة للقاعدة ، تسمى المنطقة الجانبية و A _B هي مساحة القاعدة.

اعتمادًا على نوع خط الموازي الذي نتعامل معه ، يمكننا إعادة كتابة هذه الصيغة.

منطقة مجسم مجسم

يتم إعطاؤه بواسطة الصيغة

أ = 2 (أب + ب ج + ج).

مثال 1

بالنظر إلى مجسم السطوح التالي ، مع الجوانب أ = 6 سم ، ب = 8 سم ، ج = 10 سم ، احسب مساحة خط الموازي وطول قطره.

باستخدام صيغة مساحة المجسم الذي نحصل عليه

أ = 2 = 2 = 2 = 376 سم ².

لاحظ أنه نظرًا لكونه متعامدًا فإن طول أي من أقطاره الأربعة هو نفسه.

باستخدام نظرية فيثاغورس للفضاء ، لدينا هذا

د = (6 ² + 8 ² + 10 ²) ^1/2 = (36 + 64 + 100) ^1/2 = (200) ^1/2

مساحة المكعب

نظرًا لأن كل حافة لها نفس الطول ، لدينا أ = ب وأ = ج. الاستبدال في الصيغة السابقة لدينا

أ = 2 (أأ + أأ + أأ) = 2 (3 أ ²) = 6 أ ²

أ = 6 أ ²

مثال 2

صندوق وحدة التحكم في الألعاب على شكل مكعب. إذا أردنا تغليف هذا الصندوق بغلاف هدايا ، فما مقدار الورق الذي سننفقه مع العلم أن طول حواف المكعب يبلغ 45 سم؟

باستخدام صيغة مساحة المكعب نحصل على ذلك

أ = 6 (45 سم) ² = 6 (2025 سم ²) = 12150 سم ²

منطقة المعين

نظرًا لأن جميع وجوههم متشابهة ، فقط احسب مساحة أحدهم واضربها في ستة.

لدينا أن مساحة المعين يمكن حسابها من خلال أقطارها بالصيغة التالية

A _R = (Dd) / 2

باستخدام هذه الصيغة ، فإن المساحة الإجمالية للمعين المعين هي

A _T = 6 (Dd) / 2 = 3Dd.

مثال 3

تتشكل وجوه الشكل المعين التالي بواسطة معين قطري قطره D = 7 سم و d = 4 سم. ستكون منطقتك

أ = 3 (7 سم) (4 سم) = 84 سم ².

منطقة المعين

لحساب مساحة المعين يجب أن نحسب مساحة المعينات التي يتكون منها. بما أن الخطوط المتوازية تفي بخاصية أن الأضلاع المتقابلة لها نفس المساحة ، يمكننا ربط الأضلاع في ثلاثة أزواج.

بهذه الطريقة لدينا أن منطقتك ستكون

A _T = 2b ₁ h ₁ + 2b ₂ h ₂ + 2b ₃ h ₃

حيث تكون b _i هي القواعد المرتبطة بالجوانب و h _i ارتفاعها النسبي المقابل لهذه القواعد.

مثال 4

ضع في اعتبارك الموازي التالي ،

حيث يكون للجانب A والجانب A '(جانبه المقابل) قاعدة b = 10 والارتفاع h = 6. سيكون للمنطقة المحددة قيمة

أ ₁ = 2 (10) (6) = 120

B و B 'لهما b = 4 و h = 6 ، لذلك

أ ₂ = 2 (4) (6) = 48

YC و C 'لديهما b = 10 و h = 5 ، وبالتالي

أ ₃ = 2 (10) (5) = 100

أخيرًا ، منطقة المعين هي

أ = 120 + 48 + 100 = 268.

حجم متوازي السطوح

الصيغة التي تعطينا حجم خط متوازي السطوح هي حاصل ضرب مساحة أحد أوجهه بالارتفاع المقابل لذلك الوجه.

V = A _C h _C

اعتمادًا على نوع خط الموازي ، يمكن تبسيط هذه الصيغة.

وهكذا لدينا على سبيل المثال أن حجم المجسم سيعطى بواسطة

V = ABC.

حيث تمثل a و b و c طول حواف المجسم.

وفي الحالة الخاصة للمكعب هو

الخامس = أ ³

مثال 1

هناك ثلاثة نماذج مختلفة لصناديق ملفات تعريف الارتباط وتريد أن تعرف في أي من هذه النماذج يمكنك تخزين المزيد من ملفات تعريف الارتباط ، أي أي من الصناديق يحتوي على أكبر حجم.

الأول هو مكعب طول حرفه أ = 10 سم

سيكون حجمه V = 1000 سم ³

الثانية لها حواف ب = 17 سم ، ج = 5 سم ، د = 9 سم

وبالتالي فإن حجمه هو V = 765 cm ³

والثالث: e = 9 cm ، f = 9 cm ، g = 13 cm

وحجمه V = 1053 سم ³

لذلك ، الصندوق الذي يحتوي على أكبر حجم هو الثالث.

طريقة أخرى للحصول على حجم متوازي السطوح هي استخدام الجبر المتجه. على وجه الخصوص ، منتج النقاط الثلاث.

أحد التفسيرات الهندسية التي يمتلكها المنتج القياسي الثلاثي هو حجم خط متوازي السطوح ، الذي تتكون حوافه من ثلاثة متجهات تشترك في نفس الرأس كنقطة بداية.

بهذه الطريقة ، إذا كان لدينا خط متوازي السطوح وأردنا معرفة حجمه ، يكفي تمثيله في نظام إحداثيات في R ³ بجعل أحد رؤوسه متطابقًا مع الأصل.

ثم نمثل الحواف التي تتوافق في الأصل مع المتجهات كما هو موضح في الشكل.

وبهذه الطريقة نحصل على حجم متوازي السطوح المذكور من خلال

V = - AxB ∙ C-

أو ، على نحو مكافئ ، الحجم هو محدد المصفوفة 3 × 3 ، المكونة من مكونات متجهات الحافة.

مثال 2

عند تمثيل خط الموازي التالي في R ^{3 ،} يمكننا أن نرى أن المتجهات التي تحددها هي التالية

ش = (-1 ، -3 ، 0) ، ع = (5 ، 0 ، 0) ، ث = (-0.25 ، -4 ، 4)

باستخدام المنتج القياسي الثلاثي لدينا

الخامس = - (uxv) ∙ ث-

uxv = (-1، -3،0) x (5، 0، 0) = (0،0، - 15)

(uxv) ∙ ث = (0،0، - 15) ∙ (-0.25، -4، 4) = 0 + 0 + 4 (- 15) = - 60

من هذا نستنتج أن V = 60

دعونا ننظر الآن إلى خط الموازي التالي في R3 الذي يتم تحديد حوافه بواسطة المتجهات

أ = (2 ، 5 ، 0) ، ب = (6 ، 1 ، 0) وج = (3 ، 4 ، 4)

باستخدام المحددات يعطينا ذلك

وبالتالي ، فإن حجم خط الموازي المذكور هو 112.

كلاهما طرق مكافئة لحساب الحجم.

متوازي السطوح المثالي

يُعرف مجسم الوجه باسم لبنة أويلر (أو كتلة أويلر) التي تحقق خاصية أن كل من طول حوافها وطول الأقطار لكل وجه من وجوهها هي أعداد صحيحة.

على الرغم من أن أويلر لم يكن أول عالم يدرس ortohedra التي تحقق هذه الخاصية ، إلا أنه وجد نتائج مثيرة للاهتمام عنها.

اكتشف بول هالك أصغر لبنة أويلر وأطوال حوافها أ = 44 ، ب = 117 ، ج = 240.

مشكلة مفتوحة في نظرية الأعداد كما يلي

هل هناك ortohedra كاملة؟

في الوقت الحالي ، لم تتم الإجابة على هذا السؤال ، حيث لم يكن من الممكن إثبات عدم وجود مثل هذه الجثث ، ولكن لم يتم العثور على أي منها.

ما تم توضيحه حتى الآن هو وجود خطوط متوازية كاملة. أول ما يتم اكتشافه له طول حوافه القيم 103 و 106 و 271.

فهرس

1. جاي ، ر. (1981). مشاكل غير محلولة في نظرية الأعداد. سبرينغر.
2. Landaverde ، ف. د. (1997). الهندسة. التقدم.
3. ليثولد ، إل (1992). الحساب مع الهندسة التحليلية. HARLA، SA
4. ريندون ، أ. (2004). الرسم الفني: كتاب النشاط 3 Bachillerato الثاني. تيبار.
5. ريسنيك ، ر. ، هاليداي ، د. ، وكرين ، ك. (2001). الفيزياء المجلد. 1. المكسيك: كونتيننتال.