المضلع المحدب: التعريف ، العناصر ، الخصائص ، الأمثلة - رياضيات - 2026

A مضلع محدب هو شكل هندسي الواردة في الطائرة التي يتميز لأنه لديه كل الأقطار في الداخل وزواياه قياس أقل من 180º. من بين خصائصه ما يلي:

1) يتكون من عدد n مقاطع متتالية حيث ينضم آخر المقاطع إلى الأول. 2) لا يتقاطع أي من المقاطع بطريقة تحدد المستوى في منطقة داخلية ومنطقة خارجية. 3) كل زاوية في المنطقة الداخلية أقل تمامًا من زاوية المستوى.

الشكل 1. المضلعات 1 و 2 و 6 محدبة. (من إعداد ريكاردو بيريز).

هناك طريقة بسيطة لتحديد ما إذا كان المضلع محدبًا أم لا ، وهي النظر في الخط الذي يمر عبر أحد جوانبه ، والذي يحدد نصفين. إذا كانت الجوانب الأخرى للمضلع في نفس المستوى النصفي في كل خط يمر عبر جانب واحد ، فهذا يعني أنه مضلع محدب.

عناصر المضلع

يتكون كل مضلع من العناصر التالية:

- الجوانب

- الرؤوس

الجوانب هي كل من الأجزاء المتتالية التي يتكون منها المضلع. في المضلع ، لا يمكن أن يكون لأي من المقاطع المكونة له نهاية مفتوحة ، وفي هذه الحالة سيكون هناك خط مضلع ولكن ليس مضلعًا.

الرؤوس هي نقاط الوصل لقطعتين متتاليتين. في المضلع ، عدد الرؤوس دائمًا يساوي عدد الأضلاع.

إذا تقاطع جانبان أو أجزاء من مضلع ، فهذا يعني أن لديك مضلعًا متقاطعًا. لا تعتبر نقطة العبور قمة الرأس. المضلع المتقاطع هو مضلع غير محدب. المضلعات النجمية هي مضلعات متقاطعة وبالتالي فهي ليست محدبة.

عندما يكون للمضلع نفس الطول ، يكون لدينا مضلع منتظم. جميع المضلعات العادية محدبة.

المضلعات المحدبة وغير المحدبة

يوضح الشكل 1 عدة مضلعات ، بعضها محدب والبعض الآخر ليس كذلك. دعنا نحللهم:

الرقم 1 عبارة عن مضلع ثلاثي الأضلاع (مثلث) وجميع الزوايا الداخلية أقل من 180 درجة ، وبالتالي فهو مضلع محدب. جميع المثلثات عبارة عن مضلعات محدبة.

الرقم 2 عبارة عن مضلع رباعي الأضلاع (رباعي الأضلاع) حيث لا يتقاطع أي من الأضلاع وتكون كل زاوية داخلية أقل من 180 درجة. ثم يكون مضلعًا محدبًا بأربعة جوانب (رباعي محدب).

من ناحية أخرى ، فإن الرقم 3 عبارة عن مضلع بأربعة جوانب ولكن إحدى زواياه الداخلية أكبر من 180 درجة ، لذلك فهو لا يفي بشرط التحدب. أي أنه مضلع غير محدب رباعي الأضلاع يسمى رباعي الأضلاع المقعر.

الرقم 4 عبارة عن مضلع به أربعة أجزاء (جوانب) ، يتقاطع اثنان منها. الزوايا الأربع الداخلية أقل من 180 درجة ، ولكن نظرًا لتقاطع الجانبين ، يكون مضلعًا متقاطعًا غير محدب (رباعي متقاطع).

الحالة الأخرى هي الرقم 5. هذا مضلع بخمسة أضلاع ، لكن بما أن إحدى زواياه الداخلية أكبر من 180 درجة ، فلدينا مضلع مقعر.

أخيرًا ، الرقم 6 ، الذي يحتوي أيضًا على خمسة جوانب ، جميع زواياه الداخلية أقل من 180 درجة ، لذلك فهو مضلع محدب بخمسة أضلاع (خماسي محدب).

خصائص المضلع المحدب

1- يقسم المضلع غير المتقاطع أو المضلع البسيط المستوى الذي يحتوي عليه إلى منطقتين. المنطقة الداخلية والمنطقة الخارجية ، حيث يمثل المضلع الحد الفاصل بين المنطقتين.

ولكن إذا كان المضلع محدبًا بالإضافة إلى ذلك ، فلدينا منطقة داخلية متصلة ببساطة ، مما يعني أنه بأخذ أي نقطتين من المنطقة الداخلية ، يمكن دائمًا ضمها بواسطة جزء ينتمي بالكامل إلى المنطقة الداخلية.

الشكل 2. مضلع محدب متصل ببساطة ، بينما المضلع المقعر غير متصل. (من إعداد ريكاردو بيريز).

2- كل زاوية داخلية لمضلع محدب أقل من زاوية مستوي (180 درجة).

3- تنتمي جميع النقاط الداخلية لمضلع محدب دائمًا إلى أحد أنصاف المستويات المحددة بواسطة الخط الذي يمر عبر رأسين متتاليين.

4- في المضلع المحدب ، يتم احتواء جميع الأقطار بالكامل في المنطقة الداخلية متعددة الأضلاع.

5- تنتمي النقاط الداخلية لمضلع محدب بالكامل إلى القطاع الزاوي المحدب المحدد بكل زاوية داخلية.

6- كل مضلع تكون كل رءوسه على محيطه هو مضلع محدب يسمى المضلع الدوري.

7- كل مضلع دوري محدب ، ولكن ليس كل مضلع محدب هو دوري.

8- أي مضلع غير متقاطع (مضلع بسيط) له جميع جوانبه متساوية الطول هو محدب ويعرف باسم المضلع المنتظم.

الأقطار والزوايا في المضلعات المحدبة

9- العدد الإجمالي N لأقطار المضلع المحدب مع عدد n من الأضلاع تعطى بالصيغة التالية:

ن = ½ ن (ن - 3)

الإثبات: في مضلع محدب به جوانب n من كل رأس ، يتم رسم n - 3 أقطار ، حيث يتم استبعاد الرأس نفسه والرأسين المتجاورين. نظرًا لوجود رؤوس n ، يتم رسم إجمالي n (n - 2) قطريًا ، ولكن تم رسم كل قطري مرتين ، وبالتالي فإن عدد الأقطار (بدون تكرار) هو n (n-2) / 2.

10- مجموع S للزوايا الداخلية لمضلع محدب مع عدد n من الأضلاع يعطى بالعلاقة التالية:

S = (ن - 2) 180 درجة

أمثلة

مثال 1

السداسي الحلقي عبارة عن مضلع له ستة أضلاع وستة رؤوس ، لكن جميع الرءوس تقع على نفس المحيط. كل مضلع دوري محدب.

سداسي دوري.

مثال 2

أوجد قيمة الزوايا الداخلية لإيجون منتظم.

الحل: إن enegon عبارة عن مضلع ذو 9 جوانب ، ولكن إذا كان منتظمًا أيضًا ، فإن جميع جوانبه وزواياه متساوية.

مجموع الزوايا الداخلية لمضلع ذو 9 جوانب هو:

S = (9-2) 180º = 7 * 180º = 1260º

ولكن هناك 9 زوايا داخلية متساوية القياس α ، لذلك يجب تحقيق المساواة التالية:

S = 9 α = 1260º

مما يلي أن قياس α لكل زاوية داخلية من enegon العادي هو:

α = 1260º / 9 = 140º