و مبدأ مضافة هو أسلوب العد احتمال أن يسمح قياس بعدة طرق يمكن أن يتم أي نشاط خارج، والتي، بدورها، لديها العديد من البدائل التي يتعين الاضطلاع بها، واحدة منها فقط يمكن اختيار في وقت واحد. مثال كلاسيكي على ذلك هو عندما تريد اختيار خط نقل للانتقال من مكان إلى آخر.
في هذا المثال ، ستتوافق البدائل مع جميع خطوط النقل الممكنة التي تغطي المسار المطلوب ، سواء جواً أو بحراً أو براً. لا يمكننا الذهاب إلى مكان ما باستخدام وسيلتي نقل في وقت واحد ؛ نحن بحاجة لاختيار واحد فقط.
يخبرنا المبدأ الإضافي أن عدد الطرق التي يتعين علينا القيام بها للقيام بهذه الرحلة سيتوافق مع مجموع كل بديل (وسيلة نقل) ممكنة موجودة للذهاب إلى المكان المطلوب ، وهذا يشمل حتى وسائل النقل التي تتوقف في مكان ما (أو أماكن) بينهما.
من الواضح ، في المثال السابق ، سنختار دائمًا البديل الأكثر راحة الذي يناسب إمكانياتنا ، ولكن من المهم للغاية على الأرجح معرفة عدد الطرق التي يمكن بها تنفيذ حدث ما.
احتمالا
بشكل عام ، الاحتمال هو مجال الرياضيات المسؤول عن دراسة الأحداث أو الظواهر والتجارب العشوائية.
التجربة أو الظاهرة العشوائية هي إجراء لا يؤدي دائمًا إلى نفس النتائج ، حتى لو تم إجراؤه بنفس الشروط الأولية ، دون تغيير أي شيء في الإجراء الأولي.
من الأمثلة الكلاسيكية والبسيطة لفهم ما تتكون منه التجربة العشوائية إجراء رمي قطعة نقود أو نرد. سيكون الإجراء هو نفسه دائمًا ، لكننا لن نحصل دائمًا على "رؤوس" أو "ستة" ، على سبيل المثال.
الاحتمالية مسؤولة عن توفير تقنيات لتحديد عدد مرات حدوث حدث عشوائي معين ؛ من بين النوايا الأخرى ، فإن الهدف الرئيسي هو التنبؤ بالأحداث المستقبلية المحتملة غير المؤكدة.
احتمالية وقوع حدث
وبشكل أكثر تحديدًا ، فإن احتمال وقوع حدث A هو رقم حقيقي بين صفر وواحد ؛ أي ، رقم ينتمي إلى الفترة. يتم الإشارة إليه بواسطة P (A).
إذا كانت P (A) = 1 ، فإن احتمال وقوع الحدث A هو 100٪ ، وإذا كان صفرًا فلا توجد فرصة لحدوثه. مساحة العينة هي مجموعة جميع النتائج المحتملة التي يمكن الحصول عليها بإجراء تجربة عشوائية.
هناك ما لا يقل عن أربعة أنواع أو مفاهيم للاحتمال ، اعتمادًا على الحالة: الاحتمال الكلاسيكي ، الاحتمال المتكرر ، الاحتمال الذاتي والاحتمال البديهي. كل واحد يركز على حالات مختلفة.
يشمل الاحتمال الكلاسيكي الحالة التي تحتوي فيها مساحة العينة على عدد محدود من العناصر.
في هذه الحالة ، سيكون احتمال حدوث حدث A هو عدد البدائل المتاحة للحصول على النتيجة المرجوة (أي عدد العناصر في المجموعة A) مقسومًا على عدد العناصر في مساحة العينة.
هنا يجب أن يؤخذ في الاعتبار أن جميع عناصر مساحة العينة يجب أن تكون متساوية الاحتمال (على سبيل المثال ، كمعطى لم يتم تغييره ، حيث يكون احتمال الحصول على أي من الأرقام الستة هو نفسه).
على سبيل المثال ، ما هو احتمال أن نحصل على رقم فردي؟ في هذه الحالة ، ستتكون المجموعة A من جميع الأرقام الفردية بين 1 و 6 ، وستتكون مساحة العينة من جميع الأرقام من 1 إلى 6. لذلك ، تحتوي A على 3 عناصر ومساحة العينة بها 6. لذلك لذلك ، P (A) = 3/6 = 1/2.
ما هو مبدأ الجمع؟
كما ذكرنا سابقًا ، يقيس الاحتمال عدد مرات حدوث حدث معين. كجزء من القدرة على تحديد هذا التكرار ، من المهم معرفة عدد الطرق التي يمكن بها تنفيذ هذا الحدث. يسمح لنا المبدأ الإضافي بإجراء هذا الحساب في حالة معينة.
ينص المبدأ الإضافي على ما يلي: إذا كان الحدث A له طرق "أ" للتنفيذ ، وكان "ب" حدثًا آخر له طرق "ب" في التنفيذ ، وإذا كان بالإمكان حدوث "أ" أو "ب" فقط وليس كلاهما في نفس الوقت في نفس الوقت ، فإن طرق تحقيق A أو B (A deB) هي a + b.
بشكل عام ، يتم تحديد هذا لاتحاد عدد محدود من المجموعات (أكبر من أو يساوي 2).
أمثلة
المثال الأول
إذا كان محل لبيع الكتب يبيع كتبًا في الأدب ، وعلم الأحياء ، والطب ، والهندسة المعمارية ، والكيمياء ، منها 15 نوعًا مختلفًا من الكتب في الأدب ، و 25 في علم الأحياء ، و 12 عن الطب ، و 8 عن الهندسة المعمارية ، و 10 عن الكيمياء ، فكم عدد الخيارات المتاحة للشخص لاختيار كتاب معماري أو كتاب أحياء؟
يخبرنا مبدأ الجمع أن عدد الخيارات أو الطرق لإجراء هذا الاختيار هو 8 + 25 = 33.
يمكن أيضًا تطبيق هذا المبدأ في حالة وجود حدث واحد ، والذي بدوره له بدائل مختلفة يتعين تنفيذها.
افترض أنك تريد أداء نشاط أو حدث معين A ، وأن هناك عدة بدائل له ، على سبيل المثال n.
في المقابل، فإن البديل الأول له 1 سبل يجري، والبديل الثاني له 2 سبل يجري القيام به، وهلم جرا، عدد البديل ن يمكن القيام به في ن طرق.
ينص المبدأ الإضافي على أنه يمكن إجراء الحدث A من 1 + إلى 2 +… + بطرق n.
المثال الثاني
لنفترض أن شخصًا ما يريد شراء زوج من الأحذية. عندما وصل إلى متجر الأحذية ، وجد نموذجين مختلفين فقط من حجم حذائه.
هناك لونان متاحان للواحد وخمسة ألوان متوفرة للآخر. كم عدد الطرق التي يستخدمها هذا الشخص لإجراء عملية الشراء هذه؟ وفقًا لمبدأ الجمع ، فإن الإجابة هي 2 + 5 = 7.
يجب استخدام المبدأ الإضافي عندما تريد حساب طريقة أداء حدث أو آخر ، وليس كلاهما في وقت واحد.
لحساب الطرق المختلفة لتنفيذ حدث معًا ("و") مع آخر - أي أن كلا الحدثين يجب أن يحدثا في وقت واحد - يتم استخدام مبدأ الضرب.
يمكن أيضًا تفسير المبدأ الإضافي من حيث الاحتمال على النحو التالي: احتمال حدوث حدث A أو حدث B ، والذي يُشار إليه بـ P (A∪B) ، مع العلم أن A لا يمكن أن يحدث في وقت واحد لـ B ، تُعطى بواسطة P (A∪B) = P (A) + P (B).
المثال الثالث
ما هو احتمال الحصول على الرقم 5 عند رمي نرد أو رأس عند رمي قطعة نقود؟
كما رأينا أعلاه ، بشكل عام ، فإن احتمال الحصول على أي رقم عند رمي النرد هو 1/6.
على وجه الخصوص ، فإن احتمال الحصول على 5 هو أيضًا 1/6. وبالمثل ، فإن احتمال الحصول على الوجه عند رمي قطعة نقود هو 1/2. إذن ، إجابة السؤال السابق هي P (A∪B) = 1/6 + 1/2 = 2/3.
المراجع
- بيل هاوس ، دكتور (2011). أبراهام دي Moivre: تمهيد الطريق للاحتمالية الكلاسيكية وتطبيقاتها. اضغط CRC.
- سيفوينتس ، جي إف (2002). مقدمة في نظرية الاحتمالية. من مواطني كولومبيا.
- داستون ، إل (1995). الاحتمال الكلاسيكي في عصر التنوير. مطبعة جامعة برينستون.
- هوبكنز ، ب. (2009). موارد لتدريس الرياضيات المتقطعة: مشاريع الفصول الدراسية ووحدات التاريخ والمقالات.
- جونسونباو ، ر. (2005). الرياضيات المتقطعة. تعليم بيرسون.
- لارسون ، HJ (1978). مقدمة في نظرية الاحتمالات والاستدلال الإحصائي. التحرير ليموزا.
- لطفية ، لوس أنجلوس (2012). حل مسائل الرياضيات المحددة والمتقطعة. محرري جمعية البحث والتعليم.
- Martel ، PJ ، & Vegas ، FJ (1996). الاحتمالية والإحصاء الرياضي: تطبيقات في الممارسة السريرية والإدارة الصحية. طبعات دياز دي سانتوس.
- بادرو ، إف سي (2001). الرياضيات المتقطعة. بوليتيك. كاتالونيا.
- شتاينر ، إي (2005). الرياضيات للعلوم التطبيقية. العودة.