ما هي المعادلات الآنية؟ (تم حل التمارين) - رياضيات - 2025

في المعادلات الآنية هي تلك المعادلات التي يجب الوفاء بها في نفس الوقت. لذلك ، للحصول على معادلات متزامنة ، يجب أن يكون لديك أكثر من معادلة واحدة.

عندما يكون لديك معادلتان مختلفتان أو أكثر ، والتي يجب أن يكون لها نفس الحل (أو نفس الحلول) ، يُقال أن لديك نظام معادلات أو يُقال أيضًا أن لديك معادلات متزامنة.

عندما يكون لدينا معادلات متزامنة ، يمكن أن لا يكون لديهم حلول مشتركة أو لديهم كمية محدودة أو لديهم كمية غير محدودة.

المعادلات في وقت واحد

بالنظر إلى معادلتين مختلفتين Eq1 و Eq2 ، يتبع ذلك أن نظام هاتين المعادلتين يسمى المعادلات الآنية.

تحقق المعادلات الآنية أنه إذا كان S هو حل Eq1 ، فإن S هو أيضًا حل لـ Eq2 والعكس صحيح

مميزات

عندما يتعلق الأمر بنظام المعادلات الآنية ، يمكن أن يكون لديك معادلتان أو 3 معادلات أو معادلات N.

الطرق الأكثر شيوعًا المستخدمة في حل المعادلات الآنية هي: الاستبدال والمعادلة والتقليل. هناك أيضًا طريقة أخرى تسمى قاعدة كرامر ، وهي مفيدة جدًا للأنظمة التي تحتوي على أكثر من معادلتين متزامنتين.

مثال على المعادلات الآنية هو النظام

المعادلة 1: س + ص = 2

المعادلة 2: 2x-y = 1

يمكن ملاحظة أن x = 0 ، y = 2 هو حل لـ Eq1 ولكنه ليس حلاً لـ Eq2.

الحل الوحيد المشترك بين المعادلتين هو x = 1 ، y = 1. أي أن x = 1 ، y = 1 هو حل نظام المعادلات الآنية.

تمارين محلولة

بعد ذلك ، ننتقل إلى حل نظام المعادلات الآنية الموضحة أعلاه ، من خلال الطرق الثلاثة المذكورة.

التمرين الأول

حل نظام المعادلات Eq1: x + y = 2، Eq2 = 2x-y = 1 باستخدام طريقة التعويض.

المحلول

تتكون طريقة التعويض من حل أحد المجهولين في إحدى المعادلات ثم استبداله في المعادلة الأخرى. في هذه الحالة بالذات ، يمكننا إيجاد "y" من المعادلة Eq1 ونحصل على y = 2-x.

باستبدال قيمة «y» في المعادلة 2 ، نحصل على 2x- (2-x) = 1. لذلك ، نحصل على 3x-2 = 1 ، أي x = 1.

بعد ذلك ، نظرًا لأن قيمة x معروفة ، يتم استبدالها بـ "y" ونحصل على y = 2-1 = 1.

لذلك ، فإن الحل الوحيد لنظام المعادلات الآنية Eq1 و Eq2 هو x = 1 ، y = 1.

التمرين الثاني

حل نظام المعادلات Eq1: x + y = 2، Eq2 = 2x-y = 1 باستخدام طريقة المطابقة.

المحلول

تتكون طريقة المطابقة من حل نفس المجهول في كلتا المعادلتين ثم مطابقة المعادلات الناتجة.

بحل "x" من كلا المعادلتين ، نحصل على x = 2-y ، وأن x = (1 + y) / 2. الآن ، تمت معادلة هاتين المعادلتين ونحصل على 2-y = (1 + y) / 2 ، والتي يتبعها 4-2y = 1 + y.

تجميع المجهول "y" في نفس الجانب ينتج عنه y = 1. الآن وقد عُرفت "y" ، ننتقل إلى إيجاد قيمة "x". بالتعويض عن y = 1 ، نحصل على x = 2-1 = 1.

لذلك ، فإن الحل المشترك بين المعادلتين Eq1 و Eq2 هو x = 1 ، y = 1.

التمرين الثالث

حل نظام المعادلات Eq1: x + y = 2، Eq2 = 2x-y = 1 باستخدام طريقة الاختزال.

المحلول

تتكون طريقة الاختزال من ضرب المعادلات المعطاة بالمعاملات المناسبة ، بحيث يتم إلغاء أحد المتغيرات عند إضافة هذه المعادلات.

في هذا المثال بالذات ، ليس من الضروري ضرب أي معادلة بأي معامل ، فقط أضفهم. بإضافة Eq1 زائد Eq2 ، نحصل على 3x = 3 ، والتي نحصل منها على x = 1.

عند تقييم x = 1 في Eq1 ، نحصل على 1 + y = 2 ، والذي يتبع منه y = 1.

لذلك ، x = 1 ، y = 1 هو الحل الوحيد للمعادلتين الآنيتين Eq1 و Eq2.

التمرين الرابع

حل نظام المعادلات الآنية Eq1: 2x-3y = 8 و Eq2: 4x-3y = 12.

المحلول

في هذا التمرين ، لا توجد طريقة معينة مطلوبة ، وبالتالي يمكن تطبيق الطريقة الأكثر راحة لكل قارئ.

في هذه الحالة ، سيتم استخدام طريقة التخفيض. بضرب Eq1 في -2 يعطي المعادلة Eq3: -4x + 6y = -16. الآن ، بإضافة Eq3 و Eq2 نحصل على 3y = -4 ، وبالتالي y = -4 / 3.

الآن ، عند تقييم y = -4 / 3 في المعادلة 1 ، نحصل على 2x-3 (-4/3) = 8 ، حيث 2x + 4 = 8 ، وبالتالي ، x = 2.

في الختام ، الحل الوحيد لنظام المعادلات الآنية Eq1 و Eq2 هو x = 2 ، y = -4 / 3.

الملاحظة

يمكن تطبيق الطرق الموضحة في هذه المقالة على الأنظمة التي تحتوي على أكثر من معادلتين متزامنتين.

كلما زادت المعادلات وكلما زاد عدد المجهول ، زاد تعقيد الإجراء لحل النظام.

أي طريقة لحل أنظمة المعادلات ستنتج نفس الحلول ، أي أن الحلول لا تعتمد على الطريقة المطبقة.

المراجع

1. فوينتيس ، أ. (2016). الرياضيات الأساسية. مقدمة في حساب التفاضل والتكامل. Lulu.com.
2. جارو ، م. (2014). الرياضيات: المعادلات التربيعية: كيف نحل المعادلة التربيعية. ماريلو جارو.
3. هايسلر ، إي أف ، وبول ، آر إس (2003). الرياضيات للإدارة والاقتصاد. تعليم بيرسون.
4. Jiménez، J.، Rofríguez، M.، & Estrada، R. (2005). الرياضيات 1 سبتمبر. عتبة.
5. بريسيادو ، كونيتيكت (2005). دورة الرياضيات الثالثة. المقدمة الافتتاحية.
6. روك ، نيو مكسيكو (2006). أنا الجبر سهل! سهل جدا. صحافة فريق روك.
7. سوليفان ، ج. (2006). الجبر وعلم المثلثات. تعليم بيرسون.