يطلق عليه اسم أولي نسبيًا (coprime أو أوليًا نسبيًا لبعضهما البعض) لأي زوج من الأعداد الصحيحة ليس له قاسم مشترك بخلاف 1.
بعبارة أخرى ، يعتبر عددان صحيحان عددًا أوليًا نسبيًا إذا لم يكن لهما أي عامل مشترك في تحللهما إلى أعداد أولية.
على سبيل المثال ، إذا تم اختيار 4 و 25 ، فسيكون التحليل الأولي لكل منهما 2² و 5² على التوالي. كما يتضح ، ليس لهذه العوامل أي عوامل مشتركة ، وبالتالي فإن 4 و 25 هي أعداد أولية نسبية.
من ناحية أخرى ، إذا تم اختيار 6 و 24 ، عند إجراء تحللهم إلى عوامل أولية ، نحصل على 6 = 2 * 3 و 24 = 2³ * 3.
كما ترى ، فإن هذين التعبيرين الأخيرين لهما عامل مشترك واحد على الأقل ، وبالتالي ، فهما ليسا أعداد أولية نسبية.
أبناء العم الأقارب
أحد التفاصيل التي يجب توخي الحذر معها هو أن القول بأن زوجًا من الأعداد الصحيحة هي أعداد أولية نسبية لا يعني أن أيًا منهم هو عدد أولي.
من ناحية أخرى ، يمكن تلخيص التعريف أعلاه على النحو التالي: عددين صحيحين "أ" و "ب" هما عددان أوليان نسبيان إذا ، وفقط إذا ، كان القاسم المشترك الأكبر بينهما هو 1 ، أي gcd (أ ، ب) = 1.
نتيجتان فوريتان من هذا التعريف هما:
-إذا كان «a» (أو «b») عددًا أوليًا ، فإن gcd (a، b) = 1.
-إذا كان «أ» و «ب» عددًا أوليًا ، فإن gcd (أ ، ب) = 1.
بمعنى ، إذا كان أحد الأرقام المختارة على الأقل عددًا أوليًا ، فإن زوج الأرقام يكون عددًا أوليًا نسبيًا.
ميزات أخرى
النتائج الأخرى التي تُستخدم لتحديد ما إذا كان رقمان يمثلان عددًا أوليًا نسبيًا هي:
-إذا كان هناك رقمان صحيحان متتاليان فهذا يعني أنهما أعداد أولية نسبية.
- رقمان طبيعيان "أ" و "ب" هما عددان أوليان نسبيان إذا ، وفقط إذا كانت الأرقام "(2 ^ أ) -1" و "(2 ^ ب) -1" أعداد أولية نسبية.
- عددين صحيحين «أ» و «ب» هما عددان أوليان نسبيان إذا ، وفقط إذا ، عند رسم النقطة (أ ، ب) في المستوى الديكارتي ، وبناء الخط الذي يمر عبر الأصل (0،0) و (أ ، ب) ، لا يحتوي على أي نقطة ذات إحداثيات عدد صحيح.
أمثلة
1.- ضع في اعتبارك الأعداد الصحيحة 5 و 12. التحليلات في العوامل الأولية لكلا الرقمين هي: 5 و 2² * 3 على التوالي. في الختام ، gcd (5،12) = 1 ، لذلك ، 5 و 12 هي أعداد أولية نسبية.
2.- دع الأرقام -4 و 6. ثم -4 = -2² و 6 = 2 * 3 ، بحيث تكون شاشة LCD (-4 ، 6) = 2 ≠ 1. في الاستنتاج -4 و 6 ليسا أعداد أولية نسبية.
إذا واصلنا رسم الخط الذي يمر عبر الأزواج المرتبة (-4.6) و (0،0) ، ولتحديد معادلة الخط المذكور ، فيمكن التحقق من أنه يمر عبر النقطة (-2 ، 3).
مرة أخرى نستنتج أن -4 و 6 ليسا أعداد أولية نسبية.
3.- العددين 7 و 44 هما عدد أولي نسبي ويمكن استنتاجه بسرعة بفضل ما قيل أعلاه ، حيث أن 7 عدد أولي.
4.- انظر إلى الرقمين 345 و 346. لكونهما رقمين متتاليين ، يتم التحقق من أن gcd (345،346) = 1 ، وبالتالي فإن 345 و 346 هما عدد أولي نسبي.
5.- إذا تم أخذ الأرقام 147 و 74 في الاعتبار ، فهذه أعداد أولية نسبية ، حيث أن 147 = 3 * 7² و 74 = 2 * 37 ، وبالتالي فإن شاشة LCD (147 ، 74) = 1.
6.- الأرقام 4 و 9 هي أعداد أولية نسبية. لإثبات ذلك ، يمكن استخدام التوصيف الثاني المذكور أعلاه. في الواقع ، 2 ^ 4-1 = 16-1 = 15 و 2 ^ 9-1 = 512-1 = 511.
الأرقام التي تم الحصول عليها هي 15 و 511. التحليل الأولي لهذه الأرقام هو 3 * 5 و 7 * 73 على التوالي ، بحيث أن LCD (15،511) = 1.
كما ترى ، فإن استخدام التوصيف الثاني هو عمل أطول وأكثر شاقة من التحقق منه مباشرة.
7.- انظر إلى الأرقام -22 و -27. ثم يمكن إعادة كتابة هذه الأرقام على النحو التالي: -22 = -2 * 11 و -27 = -3³. لذلك ، فإن gcd (-22، -27) = 1 ، إذن -22 و -27 هي أعداد أولية نسبية.
المراجع
- بارانتيس ، هـ. ، دياز ، ب. ، موريللو ، إم ، وسوتو ، أ. (1998). مقدمة في نظرية الأعداد. EUNED.
- بوردون ، PL (1843). العناصر الحسابية. مكتبة الأرامل والأطفال في كاليخا.
- كاستانيدا ، س. (2016). الدورة الأساسية لنظرية الأعداد. الجامعة الشمالية.
- جيفارا ، MH (بدون تاريخ). مجموعة الأعداد الصحيحة. EUNED.
- المعهد العالي لتدريب المعلمين (إسبانيا) ، JL (2004). الأرقام والأشكال والأحجام في بيئة الطفل. وزارة التعليم.
- بالمر ، سي آي ، وبيب ، سادس (1979). الرياضيات العملية: الحساب والجبر والهندسة وعلم المثلثات وحكم الشريحة (طبع ed.). العودة.
- روك ، نيو مكسيكو (2006). أنا الجبر سهل! سهل جدا. صحافة فريق روك.
- سميث ، سا (2000). الجبر. تعليم بيرسون.
- Szecsei ، D. (2006). الرياضيات الأساسية وما قبل الجبر (يتضح الصورة). الصحافة المهنية.
- Toral، C.، & Preciado، M. (1985). دورة الرياضيات الثانية. المقدمة الافتتاحية.
- واغنر ، جي ، كايسيدو ، أ ، وكولورادو ، هـ. (2010). المبادئ الأساسية للحساب. إليزكوم ساس