ما هي المثلثات المائلة؟ (مع تمارين) - رياضيات - 2026

و مثلثات المائل هي تلك المثلثات التي لا المستطيلات. بمعنى آخر ، المثلثات بحيث لا تكون أي من زواياها قائمة (قياسها 90 درجة).

نظرًا لعدم وجود زوايا قائمة ، فلا يمكن تطبيق نظرية فيثاغورس على هذه المثلثات.

لذلك ، لمعرفة البيانات في مثلث مائل ، من الضروري استخدام صيغ أخرى.

الصيغ اللازمة لحل المثلث المائل هي ما يسمى بقوانين الجيب وجيب التمام ، والتي سيتم وصفها لاحقًا.

بالإضافة إلى هذه القوانين ، يمكن دائمًا استخدام حقيقة أن مجموع الزوايا الداخلية للمثلث يساوي 180 درجة.

المثلثات المائلة

كما ذكرنا في البداية ، المثلث المائل هو مثلث بحيث لا قياس أي من زواياه 90 درجة.

إن مشكلة إيجاد أطوال أضلاع المثلث المائل وكذلك إيجاد قياسات زواياه تسمى "حل المثلثات المائلة".

من الحقائق المهمة عند التعامل مع المثلثات أن مجموع الزوايا الداخلية الثلاث للمثلث يساوي 180º. هذه نتيجة عامة ، لذلك يمكن أيضًا تطبيقها على المثلثات المائلة.

قوانين الجيب وجيب التمام

إعطاء مثلث ABC أضلاعه "أ" و "ب" و "ج":

- ينص قانون الجيب على أن a / sin (A) = b / sin (B) = c / sin (C) ، حيث A و B و C هي الزوايا المقابلة لـ «a» و «b» و «c "على التوالي.

- ينص قانون جيب التمام على أن: c² = a² + b² - 2ab * cos (C). بالتساوي ، يمكن استخدام الصيغ التالية:

b² = a² + c² - 2ac * cos (B) أو a² = b² + c² - 2bc * cos (A).

باستخدام هذه الصيغ ، يمكن حساب بيانات المثلث المائل.

تمارين

فيما يلي بعض التدريبات حيث يجب العثور على البيانات المفقودة للمثلثات المعينة ، بناءً على بعض البيانات المقدمة.

التمرين الأول

إذا كان المثلث ABC مثل A = 45º و B = 60º و a = 12cm ، احسب البيانات الأخرى للمثلث.

المحلول

باستخدام أن مجموع الزوايا الداخلية للمثلث يساوي 180º لدينا ذلك

C = 180º-45º-60º = 75º.

الزوايا الثلاث معروفة بالفعل. ثم يتم استخدام قانون الجيب لحساب الضلعين المفقودين.

المعادلات التي تنشأ هي 12 / sin (45º) = b / sin (60º) = c / sin (75º).

من المساواة الأولى يمكننا حلها لـ «ب» والحصول عليها

ب = 12 * خطيئة (60 درجة) / خطيئة (45 درجة) = 6√6 ≈ 14.696 سم.

يمكننا أيضًا إيجاد حل لـ «ج» والحصول عليها

c = 12 * sin (75º) / sin (45º) = 6 (1 + 3) ≈ 16.392 سم.

التمرين الثاني

إذا كان المثلث ABC مثل A = 60º و C = 75º و b = 10 سم ، احسب البيانات الأخرى للمثلث.

المحلول

كما في التمرين السابق ، B = 180º-60º-75º = 45º. علاوة على ذلك ، باستخدام قانون الجيب ، لدينا أن a / sin (60º) = 10 / sin (45º) = c / sin (75º) ، والذي منه حصلنا على أن a = 10 * sin (60º) / sin (45º) = 5√6 ≈ 12.247 سم و c = 10 * sin (75º) / sin (45º) = 5 (1 + 3) ≈ 13.660 سم.

التمرين الثالث

إذا كان المثلث ABC مثل أ = 10 سم ، ب = 15 سم ، ج = 80 درجة ، احسب البيانات الأخرى للمثلث.

المحلول

يُعرف في هذا التمرين زاوية واحدة فقط ، وبالتالي لا يمكن البدء بها كما في التمرينين السابقين. أيضًا ، لا يمكن تطبيق قانون الجيب لأنه لا يمكن حل أي معادلة.

لذلك ، نشرع في تطبيق قانون جيب التمام. ومن ثم هذا

ج² = 10² + 15² - 2 (10) (15) كوس (80 درجة) = 325-300 * 0.173 × 272.905 سم ،

بحيث ج ≈ 16.51 سم. الآن ، بمعرفة الجوانب الثلاثة ، يتم استخدام قانون الجيب ويتم الحصول على ذلك

10 / sin (A) = 15 / sin (B) = 16.51cm / sin (80º).

ومن ثم ، فإن حل B ينتج عنه sin (B) = 15 * sin (80º) / 16.51 ≈ 0.894 ، مما يعني أن B ≈ 63.38º.

الآن ، يمكننا الحصول على أن A = 180º - 80º - 63.38º ≈ 36.62º.

التمرين الرابع

أضلاع المثلث المائل أ = 5 سم ، ب = 3 سم ، ج = 7 سم. أوجد زوايا المثلث.

المحلول

مرة أخرى ، لا يمكن تطبيق قانون الجيب بشكل مباشر حيث لا يمكن استخدام أي معادلة للحصول على قيمة الزوايا.

باستخدام قانون جيب التمام ، لدينا c² = a² + b² - 2ab cos (C) ، ومنه عند الحل ، لدينا cos (C) = (a² + b² - c²) / 2ab = (5² + 3²-7²) / 2 * 5 * 3 = -15/30 = -1/2 وبالتالي C = 120º.

الآن إذا تمكنا من تطبيق قانون الجيب وبالتالي الحصول على 5 / sin (A) = 3 / sin (B) = 7 / sin (120º) ، حيث يمكننا إيجاد B والحصول على الخطيئة (B) = 3 * الخطيئة (120º) / 7 = 0.371 ، بحيث يكون B = 21.79º.

أخيرًا ، تم حساب الزاوية الأخيرة باستخدام ذلك A = 180º-120º-21.79º = 38.21º.

المراجع

1. Landaverde ، ف. د. (1997). الهندسة (طبع ed.). التقدم.
2. ليك ، د. (2006). مثلثات (يتضح الصورة). هاينمان رينتري.
3. بيريز ، سي دي (2006). حساب مسبق. تعليم بيرسون.
4. رويز ، Á. ، و Barrantes ، H. (2006). الهندسة. تقنية CR.
5. سوليفان ، م. (1997). حساب مسبق. تعليم بيرسون.
6. سوليفان ، م. (1997). علم المثلثات والهندسة التحليلية. تعليم بيرسون.