و أنواع التكاملات التي نجدها في حساب التفاضل والتكامل هي التكاملات إلى أجل غير مسمى وتكاملات محددة. على الرغم من أن للتكاملات المحددة تطبيقات أكثر بكثير من التكاملات غير المحددة ، فمن الضروري أولاً تعلم كيفية حل التكاملات غير المحددة.
أحد التطبيقات الأكثر جاذبية للتكاملات المحددة هو حساب حجم صلب الثورة. كلا النوعين من التكاملات لهما نفس خصائص الخطية وأيضًا لا تعتمد تقنيات التكامل على نوع التكامل.
صلب الثورة
ولكن على الرغم من التشابه الشديد بينهما ، إلا أن هناك اختلافًا رئيسيًا واحدًا ؛ في النوع الأول من التكامل ، تكون النتيجة دالة (وهي غير محددة) بينما في النوع الثاني تكون النتيجة رقمًا.
الأنواع الأساسية للتكاملات
عالم التكاملات واسع للغاية ولكن بداخله يمكننا التمييز بين نوعين أساسيين من التكاملات ، والتي لها قابلية كبيرة للتطبيق في الحياة اليومية.
1- التكاملات غير المحددة
إذا كانت F '(x) = f (x) لكل x في مجال f ، فإننا نقول أن F (x) مشتق عكسي أو بدائي أو تكامل لـ f (x).
من ناحية أخرى ، دعونا نلاحظ أن (F (x) + C) '= F' (x) = f (x) ، مما يعني أن تكامل الوظيفة ليس فريدًا ، نظرًا لإعطاء قيم مختلفة للثابت C سنحصل على مختلف المشتقات العكسية.
لهذا السبب يسمى F (x) + C بالتكامل غير المحدد لـ f (x) ويسمى C ثابت التكامل ونكتبه بالطريقة التالية
لا يتجزأ إلى أجل غير مسمى
كما نرى ، فإن التكامل غير المحدد للدالة f (x) هو مجموعة من الوظائف.
على سبيل المثال ، إذا كنت تريد إيجاد التكامل غير المحدد للدالة f (x) = 3x² ، فيجب عليك أولاً إيجاد المشتق العكسي لـ f (x).
من السهل ملاحظة أن F (x) = x³ مشتق عكسي ، حيث أن F '(x) = 3x². لذلك ، يمكن استنتاج أن
∫f (x) dx = ∫3x²dx = x³ + C.
2- التكاملات المحددة
لنفترض أن y = f (x) دالة حقيقية ومستمرة على فترة زمنية مغلقة واجعل F (x) مشتق عكسي لـ f (x). التكامل المحدد لـ f (x) بين الحدين a و b يسمى الرقم F (b) -F (a) ، ويُشار إليه على النحو التالي
النظرية الأساسية لحساب التفاضل والتكامل
تُعرف الصيغة الموضحة أعلاه باسم "النظرية الأساسية لحساب التفاضل والتكامل." هنا تسمى "أ" الحد الأدنى وتسمى "ب" الحد الأعلى. كما ترى ، فإن التكامل المحدد للدالة هو الرقم.
في هذه الحالة ، إذا تم حساب التكامل المحدد لـ f (x) = 3x² في الفاصل الزمني ، فسيتم الحصول على رقم.
لتحديد هذا الرقم نختار F (x) = x³ كمشتق عكسي لـ f (x) = 3x². ثم نحسب F (3) -F (0) وهو ما يعطينا النتيجة 27-0 = 27. في الختام ، التكامل المحدد لـ f (x) في الفترة هو 27.
يمكن ملاحظة أنه إذا تم اختيار G (x) = x³ + 3 ، فإن G (x) هي مشتق عكسي لـ f (x) يختلف عن F (x) ، لكن هذا لا يؤثر على النتيجة منذ G (3) -G (0) = (27 + 3) - (3) = 27. لهذا السبب ، لا يظهر ثابت التكامل في التكاملات المحددة.
أحد أكثر التطبيقات المفيدة لهذا النوع من التكامل هو أنه يسمح لنا بحساب مساحة (حجم) الشكل المستوي (من صلب ثورة) ، وإنشاء وظائف مناسبة وحدود تكامل (ومحور دوران).
ضمن التكاملات المحددة يمكننا أن نجد امتدادات مختلفة لها ، مثل تكاملات الخط والتكاملات السطحية والتكاملات غير الصحيحة والتكاملات المتعددة ، من بين أمور أخرى ، وكلها لها تطبيقات مفيدة للغاية في العلوم والهندسة.
المراجع
- كاستيليرو ، جي إم (2012). هل من السهل الدمج؟ دليل الدراسة الذاتية. مدريد: ESIC.
- Casteleiro ، JM ، & Gómez-lvarez ، RP (2002). حساب التفاضل والتكامل (إيضاح مصور). مدريد: افتتاحية ESIC.
- فليمينج ، دبليو ، وفاربرج ، دي (1989). الرياضيات المسبقة. برنتيس هول PTR.
- فليمينج ، دبليو ، وفاربرج ، دي (1989). رياضيات حساب التفاضل والتكامل: نهج لحل المشكلات (2 ، إيضاح مصور). ميشيغان: برنتيس هول.
- كيشان ، هـ. (2005). حساب التكامل. ناشرون وموزعون اتلانتيك.
- بورسيل ، EJ ، Varberg ، D. ، & Rigdon ، SE (2007). حساب التفاضل والتكامل (الطبعة التاسعة). برنتيس هول.