لمعرفة مجموع مربعات رقمين متتاليين ، يمكن إيجاد صيغة تكفي لاستبدال الأرقام المتضمنة للحصول على النتيجة.
يمكن العثور على هذه الصيغة بطريقة عامة ، أي يمكن استخدامها لأي زوج من الأرقام المتتالية.
بقولك "أرقام متتالية" ، فأنت تقول ضمنيًا أن كلا الرقمين عبارة عن أعداد صحيحة. ويشير ب "المربعات" إلى تربيع كل رقم.
على سبيل المثال ، إذا تم أخذ العددين 1 و 2 في الاعتبار ، فإن مربعاتهما هي 1² = 1 و 2² = 4 ، وبالتالي ، فإن مجموع المربعات هو 1 + 4 = 5.
من ناحية أخرى ، إذا تم أخذ العددين 5 و 6 ، فإن مربعاتهما تكون 5² = 25 و 6² = 36 ، بحيث يكون مجموع المربعات 25 + 36 = 61.
ما مجموع مربعات عددين متتاليين؟
الهدف الآن هو تعميم ما تم القيام به في الأمثلة السابقة. للقيام بذلك ، من الضروري إيجاد طريقة عامة لكتابة عدد صحيح وعدد صحيح متتالي.
إذا نظرت إلى عددين صحيحين متتاليين ، على سبيل المثال 1 و 2 ، يمكنك أن ترى أن 2 يمكن كتابتها على أنها 1 + 1. أيضًا ، إذا تمت ملاحظة الرقمين 23 و 24 ، فسيتم استنتاج أنه يمكن كتابة 24 كـ 23 + 1.
بالنسبة للأعداد الصحيحة السالبة ، يمكن أيضًا التحقق من هذا السلوك. في الواقع ، إذا تم أخذ -35 و -36 في الاعتبار ، فيمكن ملاحظة أن -35 = -36 + 1.
لذلك ، إذا تم اختيار أي عدد صحيح "n" ، فإن العدد الصحيح المتتالي مع "n" هو "n + 1". وهكذا ، تم بالفعل إنشاء علاقة بين عددين صحيحين متتاليين.
ما هو مجموع المربعات؟
بالنظر إلى رقمين صحيحين متتاليين "n" و "n + 1" ، تكون مربعاتهما "n²" و "(n + 1) ²" باستخدام خصائص المنتجات البارزة ، يمكن كتابة هذا المصطلح الأخير على النحو التالي:
(ن + 1) ² = n² + 2 * n * 1 + 1² = n² + 2n + 1.
أخيرًا ، يتم الحصول على مجموع مربعات العددين المتتاليين من خلال التعبير:
n² + n² + 2n + 1 = 2n² + 2n +1 = 2n (n + 1) +1.
إذا تم تفصيل الصيغة السابقة ، فيمكن ملاحظة أنه يكفي فقط معرفة أصغر عدد صحيح "n" لمعرفة مجموع المربعات ، أي أنه يكفي فقط استخدام أصغر رقمين صحيحين.
منظور آخر للصيغة التي تم الحصول عليها هو: يتم ضرب الأرقام المختارة ، ثم يتم ضرب النتيجة التي تم الحصول عليها في 2 وأخيراً يتم إضافة 1.
من ناحية أخرى ، المضاف الأول على اليمين هو رقم زوجي ، وإضافة 1 سينتج عنه فردي. يشير هذا إلى أن نتيجة جمع مربعات رقمين متتاليين ستكون دائمًا رقمًا فرديًا.
يمكن أيضًا ملاحظة أنه نظرًا لأنه يتم إضافة رقمين مربعين ، فإن هذه النتيجة ستكون دائمًا موجبة.
أمثلة
1.- ضع في اعتبارك الأعداد الصحيحة 1 و 2. أصغر عدد صحيح هو 1. باستخدام الصيغة السابقة ، استنتج أن مجموع المربعات هو: 2 * (1) * (1 + 1) +1 = 2 * 2 + 1 = 4 + 1 = 5. وهو ما يتفق مع التهم التي تم إجراؤها في البداية.
2.- إذا تم أخذ الأعداد الصحيحة 5 و 6 ، فسيكون مجموع المربعات 2 * 5 * 6 + 1 = 60 + 1 = 61 ، وهو ما يتطابق أيضًا مع النتيجة التي تم الحصول عليها في البداية.
3.- إذا تم اختيار الأعداد الصحيحة -10 و -9 ، يكون مجموع مربعاتها: 2 * (- 10) * (- 9) + 1 = 180 + 1 = 181.
4.- دع الأعداد الصحيحة في هذه الفرصة تكون -1 و 0 ، ثم يتم إعطاء مجموع مربعاتها بواسطة 2 * (- 1) * (0) + 1 = 0 +1 = 1.
المراجع
- بوزاس ، PG (2004). مدرسة الجبر الثانوية: العمل التعاوني في الرياضيات. طبعات نارسيا.
- كابيلو ، آر إن (2007). القوى والجذور. انشر كتبك.
- كابريرا ، VM (1997). الحساب 4000. مقدمة افتتاحية.
- جيفارا ، MH (بدون تاريخ). مجموعة الأعداد الصحيحة. EUNED.
- Oteyza، E. d. (2003). البجرا. تعليم بيرسون.
- سميث ، سا (2000). الجبر. تعليم بيرسون.
- طومسون. (2006). اجتياز GED: الرياضيات. InterLingua للنشر.