نظرية المجموعات: الخصائص والعناصر والأمثلة والتمارين - رياضيات - 2025

و نظرية المجموعات هي فرع من المنطق الذي الرياضية هي المسؤولة عن دراسة العلاقات بين الكيانات تسمى مجموعات. تتميز المجموعات بأنها مجموعات من الأشياء من نفس الطبيعة. الأشياء المذكورة هي عناصر المجموعة ويمكن أن تكون: أرقامًا وحروفًا وأشكالًا هندسية وكلمات تمثل الأشياء والأشياء نفسها وغيرها.

كان جورج كانتور ، في نهاية القرن التاسع عشر ، هو من اقترح نظرية المجموعات. بينما قام علماء رياضيات بارزون آخرون في القرن العشرين بإضفاء الطابع الرسمي عليهم: جوتلوب فريج ، وإرنست زيرميلو ، وبرتراند راسل ، وأدولف فراينكل ، وغيرهم.

الشكل 1. مخطط فين للمجموعات A و B وتقاطعها A⋂ B. (تفصيل خاص).

مخططات Venn هي الطريقة الرسومية لتمثيل مجموعة ، وتتكون من شكل مستو مغلق توجد بداخله عناصر المجموعة.

على سبيل المثال ، في الشكل 1 ، تظهر مجموعتان A و B ، والتي تحتوي على عناصر مشتركة ، والعناصر المشتركة بين A و B. وتشكل هذه مجموعة جديدة تسمى مجموعة التقاطع A و B ، والتي تتم كتابتها في النموذج رمزي على النحو التالي:

أ ∩ ب

مميزات

المجموعة هي مفهوم بدائي كما هو الحال في الهندسة مفهوم النقطة أو الخط أو المستوى. لا توجد طريقة أفضل للتعبير عن المفهوم من خلال الإشارة إلى الأمثلة:

مجموعة E مكونة من ألوان علم إسبانيا. هذه الطريقة للتعبير عن المجموعة تسمى بالفهم. نفس المجموعة E المكتوبة بالملحق هي:

هـ = {أحمر ، أصفر}

في هذه الحالة ، يمثل اللون الأحمر والأصفر عناصر من المجموعة E. وتجدر الإشارة إلى أن العناصر مدرجة في أقواس ولا تتكرر. في حالة العلم الإسباني ، هناك ثلاثة خطوط ملونة (أحمر ، أصفر ، أحمر) ، اثنان منها مكرران ، لكن لا تتكرر العناصر عند التعبير عن الكل.

افترض أن المجموعة V مكونة من الأحرف الثلاثة الأولى:

الخامس = {أ ، هـ ، أنا}

مجموعة الطاقة لـ V ، المشار إليها بواسطة P (V) هي مجموعة كل المجموعات التي يمكن تشكيلها باستخدام عناصر V:

P (V) = {{a}، {e}، {i}، {a، e}، {a، i}، {e، i}، {a، e، i}}

أنواع المجموعات

مجموعة محدودة

إنها مجموعة تكون فيها عناصرها قابلة للعد. أمثلة على المجموعات المحدودة هي حروف الأبجدية الإسبانية ، حروف العلة الإسبانية ، كواكب النظام الشمسي ، من بين أمور أخرى. عدد العناصر في مجموعة محدودة يسمى أصلها.

مجموعة لانهائية

يُفهم أن المجموعة اللانهائية هي أن عدد عناصرها غير معدود ، لأنه مهما كان عدد عناصرها ، فمن الممكن دائمًا العثور على المزيد من العناصر.

مثال على مجموعة لا نهائية هي مجموعة الأعداد الطبيعية N ، والتي يتم التعبير عنها بشكل شامل على النحو التالي:

N = {1، 2، 3، 4، 5،….} من الواضح أنها مجموعة لا نهائية ، لأنه بغض النظر عن حجم العدد الطبيعي ، يمكن دائمًا العثور على العدد الأكبر التالي ، في عملية لا نهاية لها. من الواضح أن أصل مجموعة لانهائية هو ∞.

مجموعة فارغة

إنها المجموعة التي لا تحتوي على أي عنصر. يُشار إلى المجموعة الفارغة V بعلامة Ø أو بزوج من المفاتيح بدون عناصر بداخلها:

الخامس = {} = Ø.

المجموعة الفارغة فريدة ، لذلك يجب أن يكون من الخطأ قول "مجموعة فارغة" ، والشكل الصحيح هو قول "المجموعة الفارغة".

من بين خصائص المجموعة الفارغة أنها مجموعة فرعية من أي مجموعة:

Ø ⊂ أ

علاوة على ذلك ، إذا كانت المجموعة عبارة عن مجموعة فرعية من المجموعة الفارغة ، فإن المجموعة المذكورة بالضرورة ستكون هي الفراغ:

أ ⊂ Ø ⇔ A = Ø

مجموعة موحدة

مجموعة الوحدات هي أي مجموعة تحتوي على عنصر واحد. على سبيل المثال ، مجموعة الأقمار الصناعية الطبيعية للأرض هي مجموعة موحدة ، عنصرها الوحيد هو القمر. المجموعة B من الأعداد الصحيحة الأقل من 2 وأكبر من الصفر تحتوي على العنصر 1 فقط ، لذلك فهي مجموعة وحدة.

مجموعة ثنائية

تكون المجموعة ثنائية إذا كانت تحتوي على عنصرين فقط. على سبيل المثال ، المجموعة X ، مثل أن x هو حل رقم حقيقي لـ x ^ 2 = 2. هذه المجموعة بالملحق مكتوبة على النحو التالي:

س = {-2 ، + √2}

مجموعة عالمية

المجموعة العامة هي مجموعة تحتوي على مجموعات أخرى من نفس النوع أو الطبيعة. على سبيل المثال ، المجموعة العامة للأعداد الطبيعية هي مجموعة الأعداد الحقيقية. لكن الأعداد الحقيقية هي مجموعة عالمية أيضًا من الأعداد الصحيحة والأعداد النسبية.

العناصر الأساسية

- العلاقات بين المجموعات

في التجميعات ، يمكن إنشاء أنواع مختلفة من العلاقات بينها وبين عناصرها. إذا كانت مجموعتان A و B تحتويان على نفس العناصر تمامًا بينهما ، يتم إنشاء علاقة مساواة ، يُشار إليها على النحو التالي:

أ = ب

إذا كانت جميع عناصر المجموعة A تنتمي إلى المجموعة B ، ولكن ليست كل عناصر B تنتمي إلى A ، فعندئذٍ بين هذه المجموعات توجد علاقة تضمين يُشار إليها على النحو التالي:

أ ⊂ ب لكن ب ⊄ أ

يقرأ التعبير أعلاه: A هي مجموعة فرعية من B ، لكن B ليست مجموعة فرعية من A.

للإشارة إلى أن بعض العناصر أو العناصر تنتمي إلى مجموعة ، يتم استخدام رمز العضوية ∈ ، على سبيل المثال للقول إن عنصر أو عناصر x تنتمي إلى المجموعة A مكتوبة بشكل رمزي على النحو التالي:

س ∈ أ

إذا كان العنصر لا ينتمي إلى المجموعة أ ، تتم كتابة هذه العلاقة على النحو التالي:

و ∉ أ

تحدث علاقة العضوية بين عناصر المجموعة والمجموعة ، مع استثناء وحيد لمجموعة الطاقة ، حيث تكون مجموعة الطاقة هي مجموعة أو مجموعة كل المجموعات الممكنة التي يمكن تشكيلها باستخدام عناصر المجموعة المذكورة.

لنفترض أن V = {a، e، i} ، مجموعة طاقتها هي P (V) = {{a} ، {e} ، {i} ، {a ، e} ، {a ، i} ، {e ، i} ، {a ، e ، i}} ، في هذه الحالة تصبح المجموعة V عنصرًا من المجموعة P (V) ويمكن كتابتها:

V ∈ P (V)

- خواص الدمج

تثبت الخاصية الأولى للإدراج أن كل مجموعة متضمنة في حد ذاتها ، أو بعبارة أخرى ، أنها مجموعة فرعية من ذاتها:

أ ⊂ أ

الخاصية الأخرى للتضمين هي الانتقال: إذا كانت A مجموعة فرعية من B و B بدورها مجموعة فرعية من C ، فإن A هي مجموعة فرعية من C. في شكل رمزي ، تتم كتابة علاقة الانتقال على النحو التالي:

(أ ⊂ ب) ^ (ب ⊂ ج) => أ ⊂ ج

يوجد أدناه مخطط Venn المقابل لعبور التضمين:

الشكل 2 (أ ، ب) ^ (ب ، ج) => أ ، ج

- عمليات بين المجموعات

تداخل

التقاطع هو عملية بين مجموعتين تؤدي إلى ظهور مجموعة جديدة تنتمي إلى نفس المجموعة العامة مثل المجموعتين الأوليين. بهذا المعنى ، إنها عملية مغلقة.

تتم صياغة عملية التقاطع بشكل رمزي على النحو التالي:

A⋂B = {x / x∈A ^ x∈B}

مثال على ذلك: المجموعة A من أحرف كلمة "العناصر" والمجموعة B من أحرف كلمة "مكرر" ، التقاطع بين A و B مكتوب على النحو التالي:

A⋂B = {e، l، m، n، t، s} ⋂ {r، e، p، t، i، d، o، s} = {e، t، s}. المجموعة الشاملة U لـ A و B وأيضًا A⋂B هي مجموعة أحرف الأبجدية الإسبانية.

اتحاد

اتحاد مجموعتين هو المجموعة المكونة من العناصر المشتركة بين المجموعتين والعناصر غير المشتركة للمجموعتين. يتم التعبير عن عملية الاتحاد بين المجموعات بشكل رمزي كما يلي:

A∪B = {x / x∈A vx∈B}

فرق

يتم الإشارة إلى عملية الاختلاف للمجموعة A ناقص المجموعة B بواسطة AB. AB عبارة عن مجموعة جديدة مكونة من جميع العناصر الموجودة في A والتي لا تنتمي إلى B. تتم كتابتها بشكل رمزي على النحو التالي:

أ - ب = {س / س ∈ أ ^ س ∉ ب}

الشكل 3. A - B = {x / x ∈ A ^ x ∉ B}

فرق متماثل

الفرق المتماثل هو عملية بين مجموعتين حيث تتكون المجموعة الناتجة من عناصر غير مشتركة بين المجموعتين. يتم تمثيل الاختلاف المتماثل رمزياً على النحو التالي:

A⊕B = {x / x∈ (AB) ^ x∈ (BA)}

أمثلة

مثال 1

مخطط Venn هو طريقة بيانية لتمثيل المجموعات. على سبيل المثال ، يتم تمثيل مجموعة الأحرف C في مجموعة الكلمات على النحو التالي:

مثال 2

يظهر أدناه بواسطة مخططات Venn أن مجموعة أحرف العلة في كلمة "set" هي مجموعة فرعية من مجموعة الأحرف في الكلمة "set".

مثال 3

المجموعة Ñ من الأبجدية الإسبانية هي مجموعة محدودة ، وهذه المجموعة بالامتداد مكتوبة على النحو التالي:

Ñ = {a، b، c، d، e، f، g، h، i، j، k، l، m، n، ñ، o، p، q، r، s، t، u، v، w ، x، y، z} وأصلها هو 27.

مثال 4

المجموعة V من حروف العلة باللغة الإسبانية هي مجموعة فرعية من المجموعة Ñ:

لذلك فإن V ⊂ Ñ مجموعة محدودة.

تتم كتابة المجموعة المحدودة V بشكل شامل على النحو التالي: V = {a، e، i، o، u} وأصلها هو 5.

مثال 5

إذا كانت المجموعات أ = {2 ، 4 ، 6 ، 8} ، ب = {1 ، 2 ، 4 ، 7 ، 9} ، فأوجد AB و BA.

A - B هي عناصر A غير الموجودة في B:

أ - ب = {6 ، 8}

ب - أ هي عناصر ب التي ليست في أ:

ب - أ = {1 ، 7 ، 9}

تمارين محلولة

التمرين 1

اكتب بشكل رمزي المجموعة P من الأعداد الطبيعية الزوجية الأقل من 10.

الحل: P = {x∈ N / x <10 ^ x mod 2 = 0}

ف = {2، 4، 6، 8}

تمرين 2

افترض المجموعة أ التي تكونت من الأعداد الطبيعية التي هي عوامل 210 ، والمجموعة ب التي تكونت من الأعداد الطبيعية الأولية الأقل من 9. حدد بالامتداد كلا المجموعتين وأسس العلاقة بين المجموعتين.

الحل: لتحديد عناصر المجموعة أ ، يجب أن نبدأ بإيجاد عوامل العدد الطبيعي 210:

210 = 2 * 3 * 5 * 7

ثم يتم كتابة المجموعة أ:

أ = {2 ، 3 ، 5 ، 7}

نحن الآن نعتبر المجموعة B ، وهي الأعداد الأولية الأقل من 9. 1 ليست أولية لأنها لا تتوافق مع تعريف العدد الأولي: "يكون الرقم أوليًا إذا وفقط إذا كان يحتوي على قسمين بالضبط ، 1 والرقم نفسه." العدد 2 زوجي وفي نفس الوقت يكون عددًا أوليًا لأنه يتوافق مع تعريف شرطة ، والأعداد الأولية الأخرى الأقل من 9 هي 3 و 5 و 7. لذا فإن المجموعة B هي:

ب = {2، 3، 5، 7}

لذلك فإن المجموعتين متساويتان: أ = ب.

التمرين 3

أوجد المجموعة التي تختلف عناصرها x عن x.

الحل: C = {x / x ≠ x}

نظرًا لأن كل عنصر أو رقم أو كائن يساوي نفسه ، فلا يمكن أن تكون المجموعة C غير المجموعة الفارغة:

C = Ø

التمرين 4

اجعل مجموعة N للأعداد الطبيعية و Z هي مجموعة الأعداد الصحيحة. حدد N ⋂ Z و N Z.

المحلول:

N ⋂ Z = {x ∈ Z / x ≤ 0} = (-، 0]

N ∪ Z = Z لأن N ⊂ Z.

المراجع

1. جارو ، م. (2014). الرياضيات: المعادلات التربيعية: كيف نحل المعادلة التربيعية. ماريلو جارو.
2. هايسلر ، إي أف ، وبول ، آر إس (2003). الرياضيات للإدارة والاقتصاد. تعليم بيرسون.
3. Jiménez، J.، Rodríguez، M.، Estrada، R. (2005). الرياضيات 1 سبتمبر. عتبة.
4. بريسيادو ، كونيتيكت (2005). دورة الرياضيات الثالثة. المقدمة الافتتاحية.
5. رياضيات 10 (2018). "أمثلة على المجموعات المحدودة". تم الاسترجاع من: matematicas10.net
6. ويكيبيديا. نظرية المجموعات. تم الاسترجاع من: es.wikipedia.com