نظرية تشيبيشوف: ما هي ، التطبيقات والأمثلة - رياضيات - 2026

تعتبر نظرية تشيبيشيف (Chebyshev أو عدم المساواة) واحدة من أهم النتائج الكلاسيكية لنظرية الاحتمال. يسمح بتقدير احتمالية حدث موصوف من حيث المتغير العشوائي X ، من خلال تزويدنا بحد لا يعتمد على توزيع المتغير العشوائي ولكن على تباين X.

تم تسمية النظرية على اسم عالم الرياضيات الروسي بافنوتي تشيبيشوف (الذي كتب أيضًا باسم تشيبيشيف أو تشبيشيف) الذي ، على الرغم من عدم كونه أول من ذكر النظرية ، كان أول من قدم دليلًا في عام 1867.

هذا التفاوت ، أو تلك التي تسمى عدم مساواة تشيبيشوف بسبب خصائصها ، تستخدم بشكل أساسي لتقريب الاحتمالات عن طريق حساب الحدود.

مما تتكون؟

في دراسة نظرية الاحتمالات ، يحدث أنه إذا كانت دالة التوزيع لمتغير عشوائي X معروفة ، فيمكن حساب قيمتها المتوقعة - أو توقعها الرياضي E (X) - وتباينها Var (X) ، طالما هذه المبالغ موجودة. ومع ذلك ، فإن العكس ليس صحيحًا بالضرورة.

أي ، مع العلم بأن E (X) و Var (X) ليس من الممكن بالضرورة الحصول على دالة التوزيع لـ X ، لذلك يصعب الحصول على كميات مثل P (-X-> k) لبعض k> 0. ولكن بفضل عدم المساواة في Chebyshov ، من الممكن تقدير احتمال المتغير العشوائي.

تخبرنا نظرية تشيبيشوف أنه إذا كان لدينا متغير عشوائي X على عينة فضاء S مع دالة احتمالية p ، وإذا كان k> 0 ، إذن:

تطبيقات وأمثلة

من بين التطبيقات العديدة لنظرية تشيبيشوف ، يمكن ذكر ما يلي:

الحد من الاحتمالات

هذا هو التطبيق الأكثر شيوعًا ويستخدم لإعطاء حد أعلى لـ P (-XE (X) -≥k) حيث k> 0 ، فقط مع التباين وتوقع المتغير العشوائي X ، دون معرفة دالة الاحتمال.

مثال 1

افترض أن عدد المنتجات المصنعة في شركة خلال أسبوع هو متغير عشوائي بمتوسط ​​50.

إذا كان من المعروف أن فرق أسبوع واحد من الإنتاج يساوي 25 ، فماذا يمكننا أن نقول عن احتمال أن يختلف الإنتاج هذا الأسبوع بأكثر من 10 عن المتوسط؟

المحلول

بتطبيق عدم المساواة في Chebyshov لدينا:

من هذا يمكننا الحصول على أن احتمال تجاوز عدد المقالات في أسبوع الإنتاج المتوسط ​​بأكثر من 10 هو 1/4 على الأكثر.

إثبات نظريات الحد

تلعب عدم المساواة عند تشيبيشوف دورًا مهمًا في إثبات أهم نظريات الحد. كمثال لدينا ما يلي:

قانون الأعداد الكبيرة ضعيف

ينص هذا القانون على أنه بالنظر إلى التسلسل X1 ، X2 ،… ، Xn ،… للمتغيرات العشوائية المستقلة بنفس متوسط ​​التوزيع E (Xi) = μ والتباين Var (X) = σ ² ، وعينة متوسطة معروفة من:

ثم بالنسبة لـ k> 0 لدينا:

أو مكافئ:

برهنة

دعنا نلاحظ أولاً ما يلي:

نظرًا لأن X1 ، X2 ،… ، Xn مستقلة ، يتبع ذلك:

لذلك يمكن ذكر ما يلي:

ثم ، باستخدام نظرية تشيبيشوف ، لدينا:

أخيرًا ، تنتج النظرية من حقيقة أن النهاية على اليمين تساوي صفرًا عندما يقترب n من اللانهاية.

تجدر الإشارة إلى أن هذا الاختبار تم إجراؤه فقط للحالة التي يوجد فيها تباين Xi ؛ أي أنها لا تتباعد. وهكذا نلاحظ أن النظرية صحيحة دائمًا إذا كان E (Xi) موجودًا.

نظرية الحد Chebyshov

إذا كانت X1 ، X2 ،… ، Xn ،… عبارة عن سلسلة من المتغيرات العشوائية المستقلة بحيث يوجد بعض C <ما لا نهاية ، مثل Var (Xn) ≤ C لجميع n الطبيعي ، ثم لأي k> 0:

برهنة

نظرًا لأن تسلسل التباينات محدد بشكل موحد ، فلدينا Var (Sn) ≤ C / n ، لكل n الطبيعي. لكننا نعلم أن:

لجعل n تميل نحو اللانهاية ، النتائج التالية:

نظرًا لأنه لا يمكن أن يتجاوز الاحتمال قيمة 1 ، يتم الحصول على النتيجة المرجوة. نتيجة لهذه النظرية ، يمكننا أن نذكر حالة برنولي الخاصة.

إذا تكررت تجربة n مرة بشكل مستقل مع نتيجتين محتملتين (الفشل والنجاح) ، حيث p هو احتمال النجاح في كل تجربة و X هو المتغير العشوائي الذي يمثل عدد النجاحات التي تم الحصول عليها ، ثم لكل k> 0 عليك أن:

حجم العينة

من حيث التباين ، تتيح لنا عدم المساواة في Chebyshov إيجاد حجم عينة n يكفي لضمان أن يكون احتمال حدوث -Sn-μ -> = k صغيرًا حسب الرغبة ، مما يسمح لنا بالحصول على تقدير تقريبي إلى المتوسط.

على وجه التحديد ، لنفترض أن X1 ، X2 ،… Xn تكون عينة من المتغيرات العشوائية المستقلة ذات الحجم n وافترض أن E (Xi) = μ وتباينها σ ². ثم ، من خلال عدم مساواة تشيبيشوف ، لدينا:

مثال

لنفترض أن X1 ، X2 ،… Xn هي عينة من المتغيرات العشوائية المستقلة مع توزيع برنولي ، بحيث تأخذ القيمة 1 مع احتمال p = 0.5.

ماذا يجب أن يكون حجم العينة حتى نتمكن من ضمان أن يكون احتمال الفرق بين المتوسط ​​الحسابي Sn وقيمته المتوقعة (يتجاوز بأكثر من 0.1) ، أقل من أو يساوي 0.01؟

المحلول

لدينا أن E (X) = μ = p = 0.5 وأن Var (X) = σ ² = p (1-p) = 0.25. من خلال عدم المساواة في Chebyshov ، لأي k> 0 لدينا:

الآن ، بأخذ k = 0.1 و δ = 0.01 ، لدينا:

بهذه الطريقة ، نخلص إلى أن حجم العينة لا يقل عن 2500 ضروري لضمان أن يكون احتمال الحدث -Sn - 0.5 -> = 0.1 أقل من 0.01.

عدم المساواة من نوع تشيبيشوف

هناك العديد من أوجه عدم المساواة المتعلقة بعدم المساواة في تشيبيشوف. واحدة من أشهرها هي عدم مساواة ماركوف:

في هذا التعبير X هو متغير عشوائي غير سالب مع k ، r> 0.

يمكن أن تتخذ عدم المساواة ماركوف أشكالًا مختلفة. على سبيل المثال ، دع Y يكون متغيرًا عشوائيًا غير سالب (لذلك P (Y> = 0) = 1) وافترض أن E (Y) = μ موجود. افترض أيضًا أن (E (Y)) ^r = μ _r موجود لبعض الأعداد الصحيحة r> 1. وبالتالي:

متباينة أخرى هي Gaussian ، والتي تخبرنا أنه بالنظر إلى متغير عشوائي أحادي النمط X مع وضع عند صفر ، ثم لـ k> 0 ،

المراجع

1. كاي لاي تشونغ. نظرية الاحتمال الأولية مع العمليات العشوائية. Springer-Verlag نيويورك إنك
2. كينيث. روزين الرياضيات المتقطعة وتطبيقاتها. SAMCGRAW-HILL / INTERAMERICANA DE ESPAÑA.
3. بول ل.ماير. الاحتمالية والتطبيقات الإحصائية. SA ALHAMBRA ، المكسيك.
4. سيمور ليبشوتز دكتوراه. 2000 حل مشاكل الرياضيات المتقطعة. ماكجرو هيل.
5. سيمور ليبشوتز دكتوراه. مشاكل النظرية والاحتمالية. ماكجرو هيل.