المتجهات الخطية: النظام والأمثلة - رياضيات - 2025

و ناقلات على خط واحد هي واحدة من ثلاثة أنواع من ناقلات. هذه هي تلك المتجهات التي هي في نفس الاتجاه أو خط العمل. هذا يعني ما يلي: سيكون متجهان أو أكثر على علاقة خطية إذا كانت هذه هي الحالة التي تم ترتيبها في خطوط متوازية مع بعضها البعض.

يتم تعريف المتجه على أنه كمية مطبقة على الجسم وتتميز بوجود اتجاه وإحساس ومقياس. يمكن العثور على المتجهات في المستوى أو في الفضاء ويمكن أن تكون من أنواع مختلفة: متجهات خطية ومتجهات متزامنة ومتجهات متوازية.

ناقلات خطية

تكون المتجهات على خط واحد إذا كان خط عمل أحدها هو بالضبط نفس خط العمل لجميع المتجهات الأخرى ، بغض النظر عن حجم واتجاه كل من المتجهات.

تُستخدم المتجهات كتمثيلات في مجالات مختلفة مثل الرياضيات والفيزياء والجبر وأيضًا في الهندسة ، حيث تكون المتجهات متداخلة فقط عندما يكون اتجاهها هو نفسه ، بغض النظر عما إذا كان إحساسها ليس كذلك.

مميزات

- يوجد متجهان أو أكثر على خط واحد إذا كانت العلاقة بين الإحداثيات متساوية.

مثال 1

لدينا المتجهات m = {m_x؛ m_y} yn = {n_x ؛ n_y}. هذه خطية متداخلة إذا:

مثال 2

- متجهان أو أكثر على علاقة خطية إذا كان المنتج المتجه أو الضرب يساوي صفرًا (0). هذا لأنه ، في نظام الإحداثيات ، يتميز كل متجه بإحداثياته ​​الخاصة ، وإذا كانت متناسبة مع بعضها البعض ، فستكون المتجهات على خط واحد. يتم التعبير عن ذلك بالطريقة التالية:

مثال 1

لدينا المتجهات أ = (10 ، 5) وب = (6 ، 3). لتحديد ما إذا كانت متداخلة أم لا ، يتم تطبيق النظرية المحددة ، والتي تحدد المساواة بين النواتج المتقاطعة. وبالتالي ، عليك أن:

نظام ناقل خطي

يتم تمثيل المتجهات الخطية بيانياً باستخدام الاتجاه والشعور بها - مع الأخذ في الاعتبار أن هذه يجب أن تمر عبر نقطة التطبيق - والوحدة النمطية ، وهي مقياس أو طول معين.

يتشكل نظام المتجهات الخطية عندما يعمل متجهان أو أكثر على كائن أو جسم ، يمثلان قوة ويعملان في نفس الاتجاه.

على سبيل المثال ، إذا تم تطبيق قوتين خطيتين على جسم ما ، فإن ناتجهما سيعتمد فقط على الاتجاه الذي يعملان فيه. هناك ثلاث حالات وهي:

متجهات خطية مع اتجاهات متعاكسة

ناتج متجهين خطيين يساوي مجموع هذه:

R = ∑ F = F ₁ + F _2.

مثال

إذا كانت قوتان F ₁ = 40 N و F ₂ = 20 N تؤثر على عربة في الاتجاه المعاكس (كما هو موضح في الصورة) ، فإن النتيجة هي:

R = ∑ F = (- 40 N) + 20N.

R = - 20 ن.

ناقلات خطية بنفس المعنى

سيكون حجم القوة المحصلة مساويًا لمجموع المتجهات الخطية:

R = ∑ F = F ₁ + F _2.

مثال

إذا كانت قوتان F ₁ = 35 N و F ₂ = 55 N تؤثران على عربة في نفس الاتجاه (كما هو موضح في الصورة) ، يكون الناتج هو:

R = ∑ F = 35 N + 55N.

ص = 90 ن.

يشير الناتج الموجب إلى أن المتجهات الخطية تعمل إلى اليسار.

متجهات خطية ذات مقادير متساوية واتجاهات متعاكسة

ستكون نتيجة المتجهين الخطيين مساوية لمجموع المتجهات الخطية:

R = ∑ F = F ₁ + F _2.

نظرًا لأن القوتين لها نفس الحجم ولكن في الاتجاه المعاكس - أي ، سيكون أحدهما موجبًا والآخر سالبًا - عند إضافة القوتين ، سيكون الناتج صفرًا.

مثال

إذا كانت قوتان F ₁ = -7 N و F ₂ = 7 N تؤثران على عربة ، والتي لها نفس الحجم ولكن في الاتجاه المعاكس (كما هو موضح في الصورة) ، يكون الناتج:

R = ∑ F = (-7 N) + 7N.

R = 0.

نظرًا لأن الناتج يساوي 0 ، فهذا يعني أن المتجهات تتوازن مع بعضها البعض وبالتالي يكون الجسم في حالة توازن أو في حالة راحة (لن يتحرك).

الفرق بين النواقل الخطية والمتزامنة

تتميز المتجهات الخطية بوجود نفس الاتجاه في نفس الخط ، أو لأنها موازية لخط ؛ أي أنها نواقل مدير للخطوط المتوازية.

من جانبهم ، يتم تعريف المتجهات المتزامنة لأنها في خطوط عمل مختلفة تتقاطع عند نقطة واحدة.

بمعنى آخر ، لديهم نفس نقطة الأصل أو الوصول - بغض النظر عن الوحدة أو الاتجاه أو الاتجاه - مما يشكل زاوية بينهما.

يتم حل أنظمة المتجهات المتزامنة بالطرق الرياضية أو الرسومية ، وهي طريقة متوازي الأضلاع للقوى وطريقة مضلع القوى. من خلال هذه سيتم تحديد قيمة المتجه الناتج ، مما يشير إلى الاتجاه الذي سيتحرك فيه الجسم.

بشكل أساسي ، يتمثل الاختلاف الرئيسي بين المتجهات الخطية والمتزامنة في خط العمل الذي تعمل فيه: تعمل المتجهات الخطية على نفس الخط ، بينما تعمل المتجهات المتزامنة على خطوط مختلفة.

أي أن المتجهات الخطية تعمل في مستوى واحد ، "X" أو "Y" ؛ وتعمل المتزامنة في كلا المستويين ، بدءًا من نفس النقطة.

لا تلتقي النواقل الخطية عند نقطة ما ، كما تفعل المتجهات المتزامنة ، لأنها متوازية مع بعضها البعض.

في الصورة اليسرى يمكنك رؤية كتلة. وهي مربوطة بحبل وتقسمها العقدة إلى نصفين ؛ عندما يتم سحبها نحو اتجاهات مختلفة وبقوى مختلفة ، فإن الكتلة ستتحرك في نفس الاتجاه.

يتم تمثيل متجهين يلتقيان عند نقطة (الكتلة) ، بغض النظر عن الوحدة أو الاتجاه أو الاتجاه.

بدلاً من ذلك ، توجد في الصورة الصحيحة بكرة ترفع الصندوق. يمثل الحبل خط العمل ؛ عندما يتم سحبها ، تعمل قوتان (نواقل) عليها: قوة شد (عند رفع الكتلة) وقوة أخرى ، والتي تمارس وزن الكتلة. كلاهما له نفس الاتجاه ولكن في اتجاهين متعاكسين ؛ لا يتفقون عند نقطة واحدة.

المراجع

1. Estalella ، JJ (1988). تحليل المتجهات. المجلد 1.
2. جوبتا ، أ. (بدون تاريخ). تاتا ماكجرو هيل التعليم.
3. جين هو كواك ، SH (2015). الجبر الخطي. Springer Science & Business Media.
4. مونتيل ، إتش بي (2000). فيزياء 1 للبكالوريا التكنولوجية. Grupo الافتتاحية باتريا.
5. سانتياغو بوربانو دي إرسيلا ، سي جي (2003). الفيزياء العامة. التحرير Tebar.
6. سينها ، ك. (بدون تاريخ). كتاب نصي في الرياضيات الثاني عشر المجلد. 2. منشورات راستوجي.