تستخدم قاعدة Sarrus لحساب نتيجة محددات 3 × 3. تستخدم هذه لحل المعادلات الخطية ومعرفة ما إذا كانت متوافقة.
تسهل الأنظمة المتوافقة الحصول على الحل. تُستخدم أيضًا لتحديد ما إذا كانت مجموعات المتجهات مستقلة خطيًا وتشكل أساس مساحة المتجه.
تعتمد هذه التطبيقات على قابلية انعكاس المصفوفات. إذا كانت المصفوفة منتظمة ، فإن محددها يختلف عن 0. إذا كانت مفردة ، فإن محددها يساوي 0. لا يمكن حساب المحددات إلا في مصفوفات مربعة.
لحساب مصفوفات أي ترتيب ، يمكن استخدام نظرية لابلاس. تسمح لنا هذه النظرية بتبسيط المصفوفات ذات الأبعاد العالية ، بمجموع المحددات الصغيرة التي نتحلل من المصفوفة الرئيسية.
تنص على أن محدد المصفوفة يساوي مجموع حاصل ضرب كل صف أو عمود ، مضروبًا في محدد المصفوفة المجاورة لها.
هذا يقلل من المحددات بحيث يصبح محدد الدرجة n محددات n لـ n-1. إذا طبقنا هذه القاعدة على التوالي ، فيمكننا الحصول على محددات البعد 2 (2 × 2) أو 3 (3 × 3) ، حيث يكون حسابها أسهل بكثير.
حكم ساروس
كان بيير فريدريك ساروس عالم رياضيات فرنسي من القرن التاسع عشر. تعتمد معظم أطروحاته الرياضية على طرق حل المعادلات وحساب الاختلافات ضمن المعادلات العددية.
في إحدى أطروحاته ، حل أحد أكثر الألغاز تعقيدًا في الميكانيكا. لحل مشاكل القطع المفصلية ، قدم ساروس تحول الحركات المستقيمة البديلة ، في حركات دائرية موحدة. يُعرف هذا النظام الجديد بآلية Sarrus.
كان البحث الذي منح هذا الرياضي أكثر شهرة هو تقديم طريقة جديدة لحساب المحددات ، في مقال "Nouvelles méthodes pour la résolution des équations" (طريقة جديدة لحل المعادلات) ، والذي تم نشره في عام 1833. تُعرف طريقة حل المعادلات الخطية هذه بقاعدة ساروس.
تسمح قاعدة Sarrus بحساب محدد مصفوفة 3 × 3 ، دون الحاجة إلى استخدام نظرية لابلاس ، وإدخال طريقة أبسط وأكثر حدسية. للتحقق من قيمة قاعدة ساروس ، نأخذ أي مصفوفة ذات البعد 3:
سيتم حساب محدده باستخدام حاصل ضرب أقطارها الرئيسية ، مع طرح حاصل ضرب الأقطار المعكوسة. سيكون هذا على النحو التالي:
تسمح لنا قاعدة Sarrus بالحصول على رؤية أسهل بكثير عند حساب أقطار المحدد. يمكن تبسيطها بإضافة أول عمودين إلى الجزء الخلفي من المصفوفة. وبهذه الطريقة ، يُرى بشكل أوضح أي الأقطار الرئيسية وأي منها هي الأقطار المعكوسة لحساب المنتج.
من خلال هذه الصورة يمكننا أن نرى تطبيق قاعدة Sarrus ، نقوم بتضمين الصفين 1 و 2 ، أسفل التمثيل البياني للمصفوفة الأولية. بهذه الطريقة ، فإن الأقطار الرئيسية هي الأقطار الثلاثة التي تظهر أولاً.
الأقطار الثلاثة العكسية بدورها هي تلك التي تظهر أولاً في الخلف.
بهذه الطريقة ، تظهر الأقطار بشكل أكثر وضوحًا ، دون تعقيد دقة المحدد ، في محاولة لمعرفة عناصر المصفوفة التي تنتمي إلى كل قطري.
كما يظهر في الصورة ، نختار الأقطار ونحسب المنتج الناتج لكل دالة. الأقطار التي تظهر باللون الأزرق هي تلك التي تتراكم. لمجموع هؤلاء ، نطرح قيمة الأقطار التي تظهر باللون الأحمر.
لتسهيل الضغط ، يمكننا استخدام مثال رقمي ، بدلاً من استخدام المصطلحات الجبرية والمصطلحات الفرعية.
إذا أخذنا أي مصفوفة 3 × 3 ، على سبيل المثال:
لتطبيق قاعدة Sarrus ، وحلها بطريقة أكثر وضوحًا ، يجب تضمين الصفين 1 و 2 ، كصفين 4 و 5 على التوالي. من المهم الاحتفاظ بالصف 1 في المركز الرابع والصف 2 في المركز الخامس. بما أننا إذا قمنا بتبادلها ، فلن تكون قاعدة ساروس فعالة.
لحساب المحدد ، ستكون المصفوفة كما يلي:
لمتابعة الحساب ، سنضرب عناصر الأقطار الرئيسية. سيكون للأحفاد الذين يبدأون من اليسار علامة إيجابية ؛ بينما الأقطار المعكوسة التي تبدأ من اليمين لها إشارة سالبة.
في هذا المثال ، سيكون للأزرق علامة موجبة والأخرى حمراء بعلامة سلبية. سيبدو الحساب النهائي لقاعدة Sarrus كما يلي:
أنواع المحددات
محدد البعد 1
إذا كان أبعاد المصفوفة 1 ، فإن المصفوفة تبدو كما يلي: A = (a)
لذلك ، سيكون محدده كما يلي: det (A) = -A- = a
باختصار ، محدد المصفوفة A يساوي القيمة المطلقة للمصفوفة A ، وهي في هذه الحالة a.
محدد البعد 2
إذا مررنا إلى مصفوفات البعد 2 ، نحصل على مصفوفات من النوع:
حيث يتم تعريف محدده على أنه:
يعتمد تحليل هذا المحدد على ضرب قطريه الرئيسي ، وطرح حاصل ضرب قطريه المعكوس.
كذاكرة ، يمكننا استخدام الرسم التخطيطي التالي لتذكر محدداته:
محدد البعد 3
إذا كان بُعد المصفوفة 3 ، فستكون المصفوفة الناتجة من هذا النوع:
سيتم حل محدد هذه المصفوفة من خلال حكم ساروس بهذه الطريقة:
المراجع
- جيني أوليف (1998) الرياضيات: دليل بقاء الطالب. صحافة جامعة كامبرج.
- ريتشارد ج.براون (2012) رياضيات 30 ثانية: أكثر 50 نظرية توسعًا للعقل في الرياضيات. آيفي برس المحدودة.
- ديف كيركبي (2004) Maths Connect. هاينمان.
- Awol Assen (2013) دراسة حول حساب محددات مصفوفة 3 × 3. لاب لامبرت للنشر الأكاديمي.
- أنتوني نيكولايدس (1994) المحددات والمصفوفات. تمرير النشر.
- جيسي راسل (2012) حكم ساروس.
- M. Casteleiro Villalba (2004) مقدمة في الجبر الخطي. افتتاحية ESIC.