و خلاصة القول متداخلة هي عمليات فرع سلسلة عددية. إنه يتعامل مع تجميع العناصر من القيمة الأولية إلى "n" من التعبيرات التي تخضع حجتها لأي من الأنماط التالية:
(و س - و س + 1) ؛ (و س + 1 - و س)
كذلك أيضا:
المصدر: Pixabay.com
إنها تمثل مجموع العناصر التي عند تطويرها ، تخضع لإلغاءات شروط معاكسة. جعل من الممكن تحديد المساواة التالية للجمعيات التلسكوبية:
يأتي اسمها من العلاقة مع ظهور التلسكوب الكلاسيكي ، والذي يمكن طيه وفتحه ، وتغيير أبعاده بشكل ملحوظ. بالطريقة نفسها ، يمكن تلخيص الملخصات التلسكوبية ، التي لا حصر لها بطبيعتها ، في التعبير المبسط:
و 1 - و ن + 1
برهنة
عند تطوير تجميع المصطلحات ، يكون التخلص من العوامل واضحًا تمامًا. حيث ستظهر العناصر المتقابلة في التكرار التالي لكل حالة.
الحالة الأولى ، (F x - F x + 1) ، سوف تؤخذ كمثال ، حيث أن العملية تعمل بطريقة متماثلة لـ (F x + 1 –F x).
عند تطوير القيم الثلاث الأولى {1 ، 2 ، 3} يلاحظ اتجاه التبسيط
X 1 (F 1 - F 1 + 1) = F 1 - F 2
X 2 (F 2 - F 2 + 1) = F 2 - F 3
X 3 (F 3 - F 3 + 1) = F 3 - F 4
حيث عند التعبير عن مجموع العناصر الموصوفة:
X 1 + X 2 + X 3 = F 1 - F 2 + F 2 - F 3 + F 3 - F 4
يلاحظ أن المصطلحين F 2 و F 3 موصوفان مع أضدادهما ، مما يجعل تبسيطهما أمرًا لا مفر منه. بنفس الطريقة ، لوحظ أنه يتم الحفاظ على المصطلحين F 1 و F 4.
إذا تم تكوين المجموع من x = 1 إلى x = 3 ، فهذا يعني أن العنصر F 4 يتوافق مع المصطلح العام F n + 1.
وبالتالي إظهار المساواة:
كيف يتم حلها؟
الغرض من عمليات الجمع التلسكوبية هو تسهيل العمل ، بحيث لا يكون من الضروري تطوير عدد لا حصر له من المصطلحات ، أو تبسيط سلسلة من الإضافات الطويلة جدًا.
من أجل حلها ، سيكون من الضروري فقط تقييم المصطلحين F 1 و F n + 1. تشكل هذه الاستبدالات البسيطة النتيجة النهائية للتجميع.
لن يتم التعبير عن مجمل المصطلحات ، وسيصبح ضروريًا فقط لتوضيح النتيجة ، ولكن ليس لعملية الحساب العادية.
المهم أن نلاحظ تقارب المتسلسلة العددية. في بعض الأحيان ، لن يتم التعبير عن حجة الجمع بشكل تلسكوبي. في هذه الحالات ، يكون تنفيذ طرق العوملة البديلة شائعًا جدًا.
طريقة العوامل المميزة في الإضافات التلسكوبية هي طريقة الكسور البسيطة. يحدث هذا عندما يتحلل جزء أصلي إلى مجموع عدة كسور ، حيث يمكن ملاحظة النمط التلسكوبي (F x - F x + 1) أو (F x + 1 - F x).
التحلل إلى كسور بسيطة
للتحقق من تقارب السلاسل العددية ، من الشائع جدًا تحويل التعبيرات المنطقية باستخدام طريقة الكسر البسيط. الهدف هو نمذجة الحبكة في شكل تجميع تلسكوبي.
على سبيل المثال ، تمثل المساواة التالية تحللًا إلى كسور بسيطة:
عند تطوير سلسلة الأرقام وتطبيق الخصائص المقابلة ، يأخذ التعبير الشكل التالي:
حيث يتم تقدير الشكل التلسكوبي (F x - F x + 1).
الإجراء بديهي للغاية ويتكون من إيجاد قيم البسط التي تسمح لنا بفصل المنتجات الموجودة في المقام دون كسر المساواة. المعادلات التي تنشأ في تحديد هذه القيم ، يتم رفعها وفقا للمقارنات بين طرفي المساواة.
يتم ملاحظة هذا الإجراء خطوة بخطوة في تطوير التمرين 2.
التاريخ
من غير المؤكد تمامًا أن تكون قادرًا على تحديد اللحظة التاريخية التي تم فيها تقديم الملخصات التلسكوبية. ومع ذلك ، بدأ تطبيقه في الظهور في القرن السابع عشر ، في دراسات السلاسل العددية التي أجراها Leibniz و Huygens.
يبدأ كلا الرياضيين ، الذين يستكشفون مجاميع الأرقام المثلثية ، في ملاحظة الاتجاهات في تقارب سلسلة معينة من العناصر المتتالية. ولكن الأمر الأكثر إثارة للاهتمام هو بداية نمذجة هذه التعبيرات ، في عناصر لا تتبع بعضها البعض بالضرورة.
في الواقع ، التعبير المستخدم سابقًا للإشارة إلى الكسور البسيطة:
تم تقديمه بواسطة Huygens ولفت انتباه Leibniz على الفور. من الذي بمرور الوقت يمكنه ملاحظة التقارب مع القيمة 2. دون أن يعرف ذلك ، قام بتنفيذ تنسيق التجميع التلسكوبي.
تمارين
التمرين 1
حدد المصطلح الذي يتقارب فيه المجموع التالي:
عند تطوير المجموع يدويًا ، يتم ملاحظة النمط التالي:
(2 3 - 2 4) + (2 4 - 2 5) + (2 5 - 2 6)…. (2 10 - 2 11)
حيث تقدم العوامل من 2 4 إلى 2 10 أجزاء موجبة وسالبة ، مما يجعل إلغائها واضحًا. ثم العوامل الوحيدة التي لن يتم تبسيطها ستكون "2 3 " والأخيرة "2 11 ".
بهذه الطريقة عند تطبيق معيار التجميع التلسكوبي يتم الحصول على ما يلي:
تمرين 2
حول الوسيطة إلى نوع تلسكوبي جمع وحدد تقارب السلسلة:
كما هو موضح في البيان ، فإن أول ما يجب فعله هو التحلل إلى كسور بسيطة ، من أجل إعادة صياغة الحجة والتعبير عنها بطريقة تلسكوبية.
يجب أن تجد كسرين مقامهما على التوالي "n" و "n + 1" ، حيث يجب أن تحصل الطريقة المستخدمة أدناه على قيم البسط التي تحقق المساواة.
ننتقل إلى تحديد قيم A و B. أولاً ، أضف الكسور.
ثم يتم تبسيط المقامات وإنشاء معادلة خطية.
في الخطوة التالية ، يتم تشغيل التعبير الموجود على اليمين ، حتى يتم تحقيق نمط مشابه لـ "3" على اليسار.
لتحديد المعادلات التي سيتم استخدامها ، يجب مقارنة نتائج كلا الجانبين من المساواة. أي أنه لم يتم ملاحظة أي قيم للمتغير n على الجانب الأيسر ، لذلك يجب أن تكون A + B مساوية للصفر.
أ + ب = 0 ؛ أ = -ب
من ناحية أخرى ، يجب أن تكون القيمة الثابتة A مساوية للقيمة الثابتة 3.
أ = 3
هكذا.
أ = 3 ، ب = -3
بمجرد تحديد قيم البسط للكسور البسيطة بالفعل ، يتم إعادة حساب الجمع.
حيث تم بالفعل تحقيق الشكل العام للتجميع التلسكوبي. تم تطوير السلسلة التلسكوبية.
حيث عند القسمة على عدد كبير جدًا ، ستقترب النتيجة أكثر فأكثر من الصفر ، مع ملاحظة تقارب السلسلة مع القيمة 3.
لا يمكن حل هذا النوع من السلاسل بأي طريقة أخرى ، بسبب العدد اللامتناهي من التكرارات التي تحدد المشكلة. ومع ذلك ، فإن هذه الطريقة ، إلى جانب العديد من الطرق الأخرى ، تشكل إطارًا لفرع دراسة السلاسل العددية ، التي تهدف إلى تحديد قيم التقارب أو تحديد تباعد السلسلة المذكورة.
المراجع
- دروس حساب التفاضل والتكامل متناهية الصغر. مانويل فرانكو ، مانويل فرانكو نيكولاس ، فرانسيسكو مارتينيز غونزاليس ، روك مولينا ليغاز. EDITUM ، 1994.
- حساب التفاضل والتكامل: المتتاليات وسلسلة الوظائف. أنطونيو ريفيرا فيغيروا. افتتاحية Grupo باتريا ، 21 أكتوبر. 2014.
- دورة في التفاضل والتكامل والتحليل الحقيقي. Sudhir R. Ghorpade ، Balmohan V. Limaye. Springer Science & Business Media ، 5 يونيو. 2006.
- سلسلة لا نهاية لها. حصن توملينسون. مطبعة كلارندون ، 1930.
- عناصر نظرية العمليات اللانهائية. لويد ليروي سمايل. شركة ماكجرو هيل للكتاب ، إنكوربوريتد ، 1923.