الأرقام المركبة: الخصائص والأمثلة والتمارين - رياضيات - 2025

في أرقام المركبات هي تلك الأعداد الصحيحة التي لديها أكثر من عقدين من فواصل. إذا نظرنا عن كثب ، فإن جميع الأرقام على الأقل قابلة للقسمة على نفسها تمامًا وعلى 1. تسمى الأرقام التي تحتوي على هذين المقسومين الأعداد الأولية ، وتلك التي تحتوي على المزيد من الأرقام المركبة.

لنلقِ نظرة على الرقم 2 ، الذي لا يمكن تقسيمه إلا بين 1 و 2. للعدد 3 أيضًا قسومان: 1 و 3. لذلك ، كلاهما أولي. الآن دعونا نلقي نظرة على الرقم 12 ، والذي يمكننا قسمة بالضبط على 2 و 3 و 4 و 6 و 12. من خلال وجود 5 قواسم ، يكون 12 رقمًا مركبًا.

الشكل 1. لا يمكن تمثيل الأرقام الأولية باللون الأزرق إلا بصف واحد من النقاط ، وليس بأرقام مركبة باللون الأحمر. المصدر: ويكيميديا ​​كومنز.

وماذا يحدث للرقم 1 ، الذي يقسم كل الآخرين؟ حسنًا ، إنه ليس عددًا أوليًا ، لأنه لا يحتوي على قسمين ، وهو ليس مركبًا ، وبالتالي فإن الرقم 1 لا يقع في أي من هاتين الفئتين. ولكن هناك الكثير والكثير من الأرقام التي تفعل ذلك.

يمكن التعبير عن الأرقام المركبة على أنها حاصل ضرب الأعداد الأولية ، وهذا المنتج ، باستثناء ترتيب العوامل ، فريد لكل رقم. وهذا ما تؤكده النظرية الحسابية الأساسية التي أثبتها عالم الرياضيات اليوناني إقليدس (325-365 قبل الميلاد).

لنعد إلى الرقم 12 ، والذي يمكننا التعبير عنه بعدة طرق. لنجرب بعضًا:

12 = 4 × 3 = 2 × 6 = 12 × 1 = 2 ² × 3 = 3 × 2 ² = 3 × 2 × 2 = 2 × 2 × 3 = 2 × 3 × 2

الأشكال المميزة بالخط العريض هي نتاج الأعداد الأولية والشيء الوحيد الذي يتغير هو ترتيب العوامل ، والتي نعلم أنها لا تغير المنتج. الأشكال الأخرى ، على الرغم من صلاحيتها للتعبير عن 12 ، لا تتكون فقط من الأعداد الأولية.

أمثلة على الأرقام المركبة

إذا أردنا تحليل رقم مركب إلى عوامله الأولية ، فيجب أن نقسمه بين الأعداد الأولية بطريقة تكون القسمة دقيقة ، أي أن الباقي يساوي 0.

يسمى هذا الإجراء التحليل الأولي أو التحلل المتعارف عليه. يمكن رفع العوامل الأولية إلى الأس الموجبة.

سنحلل الرقم 570 ، مع ملاحظة أنه زوجي وبالتالي يقبل القسمة على 2 ، وهو عدد أولي.

سنستخدم شريطًا لفصل الرقم الموجود على اليسار عن الفواصل الموجودة على اليمين. يتم وضع قسمة كل منها تحت الرقم كما يتم الحصول عليها. يكتمل التحلل عندما يكون الرقم الأخير في العمود الأيسر 1:

570 │2285

│

عند القسمة على 2 يكون حاصل القسمة 285 ، وهو قابل للقسمة على 5 ، وهو رقم أولي آخر ينتهي بالرقم 5.

570 │2285

│5

57

57 يقبل القسمة على 3 ، وهو أيضًا عدد أولي ، لأن مجموع أرقامه 5 + 7 = 12 هو مضاعف 3.

570 │2285

│5

57 3

19

أخيرًا نحصل على 19 ، وهو عدد أولي ، والمقسوم عليه 19 و 1:

570 │2285

│5

57 3

19 19

1 │

بالحصول على 1 يمكننا التعبير عن 570 بهذه الطريقة:

570 = 2 × 5 × 3 × 19

ونلاحظ أنه في الواقع هو حاصل ضرب 4 أعداد أولية.

في هذا المثال ، نبدأ القسمة على 2 ، لكن نفس العوامل (بترتيب آخر) كان يمكن الحصول عليها إذا بدأنا بالقسمة على 5 على سبيل المثال.

الشكل 2. يمكن أيضًا أن يتحلل الرقم المركب 42 باستخدام مخطط على شكل شجرة. المصدر: ويكيميديا ​​كومنز.

معايير القسمة

لتحليل رقم مركب إلى عوامله الأولية ، من الضروري تقسيمه بالضبط. معايير القابلية للقسمة بين الأعداد الأولية هي قواعد تسمح بمعرفة متى يكون الرقم قابلاً للقسمة على رقم آخر بالضبط ، دون الحاجة إلى المحاولة أو الإثبات.

- القسمة على 2

جميع الأعداد الزوجية ، التي تنتهي بالرقم 0 أو رقم زوجي ، تقبل القسمة على 2.

- القسمة على 3

إذا كان مجموع أرقام الرقم مضاعفًا لـ 3 ، فسيكون الرقم أيضًا قابلاً للقسمة على 3.

- القسمة على 5

الأعداد التي تنتهي بـ 0 أو 5 تقبل القسمة على 5.

-القسمة بنسبة 7

الرقم قابل للقسمة على 7 إذا ، عند فصل الرقم الأخير ، وضربه في 2 وطرح العدد المتبقي ، تكون القيمة الناتجة مضاعف 7.

تبدو هذه القاعدة أكثر تعقيدًا من القواعد السابقة ، لكنها في الواقع ليست بهذا القدر ، لذلك دعونا نلقي نظرة على مثال: هل 98 قابلة للقسمة على 7؟

دعنا نتبع التعليمات: نفصل الرقم الأخير وهو 8 ، ونضربه في 2 وهو ما يعطي 16. العدد المتبقي عند فصل 8 هو 9. نطرح 16-9 = 7. وبما أن 7 هو مضاعف نفسه ، فإن 98 يقبل القسمة بين 7.

-التجزئة بنسبة 11

إذا تم طرح مجموع الأرقام في الموضع الزوجي (2 ، 4 ، 6…) من مجموع الأرقام في الموضع الفردي (1 ، 3 ، 5 ، 7…) وتم الحصول على 0 أو مضاعف 11 ، يكون الرقم قابل للقسمة على 11.

يمكن التعرف بسهولة على المضاعفات الأولى للعدد 11: وهي 11 ، 22 ، 33 ، 44… 99. لكن كن حذرا ، 111 ليس كذلك ، بدلا من 110 هو.

كمثال ، دعنا نرى ما إذا كان 143 من مضاعفات 11.

يتكون هذا الرقم من 3 أرقام ، والرقم الزوجي الوحيد هو 4 (الثاني) ، والرقمان الفرديان هما 1 و 3 (الأول والثالث) ، ومجموعهما 4.

يتم طرح كلا الجمعين: 4 - 4 = 0 وبما أنه تم الحصول على 0 ، اتضح أن 143 من مضاعفات 11.

- القابلية للتجزئة بنسبة 13

يجب طرح الرقم الذي لا يحتوي على خانة الآحاد من 9 أضعاف هذا الرقم. إذا كان العدد يُرجع 0 أو مضاعف 13 ، يكون الرقم مضاعف 13.

كمثال سوف نتحقق من أن 156 هو مضاعف 13. رقم الآحاد هو 6 والعدد المتبقي بدونه هو 15. نضرب 6 × 9 = 54 والآن نطرح 54 - 15 = 39.

لكن 39 هو 3 × 13 ، لذا 56 هو مضاعف 13.

الأعداد الأولية لبعضها البعض

قد يكون رقمان أو أكثر من الأعداد الأولية أو المركبة أولية أو مشتركة. هذا يعني أن القاسم المشترك الوحيد بينهما هو 1.

هناك نوعان من الخصائص الهامة التي يجب تذكرها عندما يتعلق الأمر بالجرائم المشتركة:

- رقمان أو ثلاثة أو أكثر من الأرقام المتتالية دائمًا ما تكون أولية لبعضها البعض.

- يمكن قول الشيء نفسه عن رقمين أو ثلاثة أو أكثر من الأرقام الفردية المتتالية.

على سبيل المثال 15 و 16 و 17 أعداد أولية لبعضها البعض وكذلك 15 و 17 و 19.

كيف تعرف عدد قواسم العدد المركب

العدد الأولي له قسمان ، نفس العدد و 1. وكم عدد قواسمه في العدد المركب؟ يمكن أن يكونوا أبناء عمومة أو مركبات.

دع N هو رقم مركب معبر عنه من حيث تحللها الكنسي على النحو التالي:

N = أ ^ن. ب ^م. ج ^ص… ص ^ك

حيث أ ، ب ، ج… ص هي العوامل الأولية و n ، m ، p… k الأسس المعنية. حسنًا ، عدد القواسم C التي حصل عليها N من خلال:

ج = (ن +1) (م + 1) (ص +1)… (ك + 1)

مع C = القواسم الأولية + القواسم المركبة + 1

على سبيل المثال 570 ، والذي يتم التعبير عنه على النحو التالي:

570 = 2 × 5 × 3 × 19

يتم رفع جميع العوامل الأولية إلى 1 ، وبالتالي فإن 570 لديها:

C = (1 + 1) (1 + 1) (1+ 1) (1 +1) = 16 قواسم

نعلم بالفعل من هذه القواسم العشرة: 1 ، 2 ، 3 ، 5 ، 19 ، 570. هناك 10 قواسم أخرى مفقودة ، وهي أرقام مركبة: 6 ، 10 ، 15 ، 30 ، 38 ، 57 ، 95 ، 114 ، 190 ، 285. تم العثور عليها من خلال ملاحظة التحلل إلى عوامل أولية وكذلك ضرب مجموعات هذه العوامل معًا.

تمارين محلولة

- التمرين 1

قسّم الأرقام التالية إلى عوامل أولية:

أ) 98

ب) 143

ج) 540

د) 3705

الاجابه على

98 │2

49 │7

7 │7

1

98 = 2 × 7 × 7

الحل ب

143 11

13 13

1

143 = 11 × 13

الحل ج

540 │5108

│2

54 │2

27 │3

9 │3

3 │3

1

540 = 5 × 2 × 2 × 3 × 3 × 3 = 5 × 2 ² × 3 ³

الحل د

3705 │ 5741

│3

247 13

19 19

1 │

3705 = 5 × 3 × 13 × 19

- تمرين 2

اكتشف ما إذا كانت الأرقام التالية أساسية لبعضها البعض:

6 ، 14 ، 9

المحلول

- قواسم 6 هي: 1، 2، 3، 6

- أما 14 فهي تقبل القسمة على: 1 ، 2 ، 7 ، 14

- أخيرًا 9 بها قواسم: 1، 3، 9

القاسم المشترك الوحيد بينهما هو 1 ، لذلك فهما أوليان لبعضهما البعض.

المراجع

1. بالدور ، أ. 1986. الحساب. طبعات وتوزيع الدستور.
2. Byju's. الأعداد الأولية والمركبة. تم الاسترجاع من: byjus.com.
3. الأعداد الأولية والمركبة. تم الاسترجاع من: profeyennyvivaslapresentacion.files.wordpress.com
4. سمارتيك. معايير القسمة. تم الاسترجاع من: smartick.es.
5. ويكيبيديا. الأرقام المركبة. تم الاسترجاع من: en.wikipedia.org.