في نظرية ذات الحدين هي المعادلة التي تقول لنا كيفية تطوير تعبير عن شكل (أ + ب) ن لبعض رقم ن الطبيعي. ذات الحدين ليست أكثر من مجموع عنصرين ، مثل (أ + ب). كما أنه يسمح لنا بمعرفة المعامل المصاحب لمصطلح k b n-k.
تُنسب هذه النظرية عادة إلى المخترع والفيزيائي والرياضي الإنجليزي السير إسحاق نيوتن. ومع ذلك ، تم العثور على سجلات مختلفة تشير إلى أن وجودها كان معروفًا بالفعل في الشرق الأوسط ، حوالي عام 1000.
الأرقام التوافقية
تخبرنا نظرية ذات الحدين رياضيا بما يلي:
في هذا التعبير ، a و b أعداد حقيقية و n عدد طبيعي.
قبل تقديم العرض التوضيحي ، دعنا نلقي نظرة على بعض المفاهيم الأساسية الضرورية.
يتم التعبير عن العدد التجميعي أو مجموعات n في k على النحو التالي:
يعبر هذا النموذج عن قيمة عدد المجموعات الفرعية التي تحتوي على عناصر k يمكن اختيارها من مجموعة من العناصر n. يتم التعبير الجبري عن طريق:
دعونا نرى مثالاً: لنفترض أن لدينا مجموعة من سبع كرات ، اثنتان منها حمراء والباقي زرقاء.
نريد أن نعرف عدد الطرق التي يمكننا من خلالها ترتيبها على التوالي. إحدى الطرق هي وضع الكرات الحمراء في الموضع الأول والثاني ، وبقية الكرات في المواضع المتبقية.
على غرار الحالة السابقة ، يمكننا إعطاء الكرات الحمراء المركز الأول والأخير على التوالي ، واحتلال الكرات الأخرى بالكرات الزرقاء.
الآن الطريقة الفعالة لحساب عدد الطرق التي يمكننا بها ترتيب الكرات في صف هي باستخدام الأرقام التوافقية. يمكننا أن نرى كل موضع كعنصر من عناصر المجموعة التالية:
ثم يبقى فقط اختيار مجموعة فرعية من عنصرين ، حيث يمثل كل عنصر من هذه العناصر الموضع الذي ستشغله الكرات الحمراء. يمكننا إجراء هذا الاختيار وفقًا للعلاقة المقدمة من خلال:
بهذه الطريقة ، لدينا 21 طريقة لترتيب هذه الكرات.
ستكون الفكرة العامة لهذا المثال مفيدة جدًا في إثبات نظرية ذات الحدين. لنلق نظرة على حالة معينة: إذا كان n = 4 ، فلدينا (a + b) 4 ، وهي ليست أكثر من:
عندما نطور هذا المنتج ، يتبقى لنا مجموع المصطلحات التي تم الحصول عليها بضرب عنصر واحد من كل من العوامل الأربعة (أ + ب). وبالتالي ، سيكون لدينا مصطلحات ستكون بالشكل:
إذا أردنا الحصول على المصطلح في الصورة أ 4 ، علينا فقط الضرب كما يلي:
لاحظ أن هناك طريقة واحدة فقط للحصول على هذا العنصر ؛ لكن ماذا يحدث إذا بحثنا الآن عن الحد الذي على شكل أ 2 ب 2 ؟ نظرًا لأن "أ" و "ب" هما رقمان حقيقيان ، وبالتالي ، فإن القانون التبادلي ساري المفعول ، لدينا طريقة واحدة للحصول على هذا المصطلح وهي الضرب مع الأعضاء كما هو موضح بواسطة الأسهم.
عادةً ما يكون إجراء كل هذه العمليات مملاً إلى حد ما ، ولكن إذا رأينا المصطلح "أ" كمجموعة حيث نريد معرفة عدد الطرق التي يمكننا بها اختيار "أ" من مجموعة من أربعة عوامل ، فيمكننا استخدام الفكرة من المثال السابق. لذلك لدينا ما يلي:
وهكذا ، نعلم أنه في التمديد النهائي للتعبير (أ + ب) 4 سيكون لدينا بالضبط 6 أ 2 ب 2. باستخدام نفس الفكرة للعناصر الأخرى ، يجب عليك:
ثم نضيف التعبيرات التي حصلنا عليها سابقاً ولدينا ذلك:
هذا دليل رسمي للحالة العامة حيث "n" هو أي رقم طبيعي.
برهنة
لاحظ أن الحدود المتبقية من خلال فك (أ + ب) ن هي على شكل أ ك ب ن ك ، حيث ك = 0،1 ،… ، ن. باستخدام فكرة المثال السابق ، لدينا طريقة لاختيار متغيرات «ك» «أ» من عوامل «ن» هي:
بالاختيار بهذه الطريقة ، نختار تلقائيًا متغيرات nk "b". من هذا يتبع ما يلي:
أمثلة
بالنظر إلى (أ + ب) 5 ، كيف سيكون تطورها؟
من خلال نظرية ذات الحدين لدينا:
تكون نظرية ذات الحدين مفيدة جدًا إذا كان لدينا تعبير نريد أن نعرف فيه معامل مصطلح معين دون الحاجة إلى إجراء التوسع الكامل. كمثال يمكننا أن نأخذ المجهول التالي: ما معامل x 7 و 9 في مفكوك (x + y) 16 ؟
من خلال نظرية ذات الحدين ، لدينا أن المعامل هو:
مثال آخر هو: ما معامل x 5 و 8 في مفكوك (3x-7y) 13 ؟
أولاً نعيد كتابة التعبير بطريقة مناسبة ؛ هذا هو:
بعد ذلك ، باستخدام نظرية ذات الحدين ، لدينا أن المعامل المطلوب هو عندما يكون لدينا k = 5
مثال آخر على استخدامات هذه النظرية هو إثبات بعض الهويات الشائعة ، مثل تلك التي سنذكرها لاحقًا.
الهوية 1
إذا كان «n» رقمًا طبيعيًا ، فلدينا:
للإثبات نستخدم نظرية ذات الحدين ، حيث يأخذ كل من "أ" و "ب" قيمة 1. ثم لدينا:
بهذه الطريقة أثبتنا الهوية الأولى.
الهوية 2
إذا كان "n" رقمًا طبيعيًا ، إذن
من خلال نظرية ذات الحدين لدينا:
مظاهرة أخرى
يمكننا عمل برهان مختلف لنظرية ذات الحدين باستخدام الطريقة الاستقرائية وهوية باسكال ، والتي تخبرنا أنه إذا كانت "n" و "k" أعداد صحيحة موجبة تحقق n ≥ k ، إذن:
دليل الاستقراء
دعنا أولاً نرى أن القاعدة الاستقرائية ثابتة. إذا كان n = 1 ، لدينا:
في الواقع ، نرى أنه قد تم تحقيقه. الآن ، دع n = j هكذا:
نريد أن نرى أن n = j + 1 صحيح أن:
لذلك علينا:
من خلال الفرضية ، نعلم أن:
ثم ، باستخدام خاصية التوزيع:
بعد ذلك ، قمنا بتطوير كل من الملخصات ، لدينا:
الآن ، إذا قمنا بالتجميع بطريقة مناسبة ، لدينا ما يلي:
باستخدام هوية باسكال ، لدينا:
أخيرًا ، لاحظ ما يلي:
لذلك ، نرى أن نظرية ذات الحدين تنطبق على جميع "n" التي تنتمي إلى الأعداد الطبيعية ، وبهذا ينتهي الدليل.
الفضول
يُطلق على الرقم الاندماجي (nk) أيضًا اسم المعامل ذي الحدين لأنه بالتحديد المعامل الذي يظهر في تطوير ذات الحدين (a + b) n.
أعطى إسحاق نيوتن تعميمًا لهذه النظرية للحالة التي يكون فيها الأس عددًا حقيقيًا ؛ تُعرف هذه النظرية باسم نظرية نيوتن ذات الحدين.
في العصور القديمة ، كانت هذه النتيجة معروفة للحالة الخاصة التي يكون فيها n = 2. هذه الحالة مذكورة في عناصر إقليدس.
المراجع
- جونسونبو ريتشارد. الرياضيات المتقطعة. PHH
- كينيث. روزين الرياضيات المتقطعة وتطبيقاتها. SAMCGRAW-HILL / INTERAMERICANA DE ESPAÑA.
- سيمور ليبشوتز دكتوراه ومارك ليبسون. الرياضيات المتقطعة. ماكجرو هيل.
- رالف بي جريمالدي. الرياضيات المنفصلة والتوافقية. أديسون ويسلي إيبيروأمريكانا
- النجم الأخضر لويس.. الرياضيات المتقطعة والاندماجية Anthropos