الإليبسويد: الخصائص والأمثلة - آرتي - 2025

و الإهليلجي هو سطح في الفضاء الذي ينتمي إلى مجموعة من الأسطح سطح درجة ثانية والذي هو من شكل المعادلة العامة:

إنه المكافئ ثلاثي الأبعاد للقطع الناقص ، ويتميز بوجود آثار بيضاوية ودائرية في بعض الحالات الخاصة. الآثار هي المنحنيات التي تم الحصول عليها عن طريق تقاطع الشكل الإهليلجي مع المستوى.

الشكل 1. ثلاثة أشكال بيضاوية مختلفة: في الجزء العلوي كرة تتساوى فيها المحاور الثلاثة ، وفي الجزء السفلي الأيسر شكل كروي ، بنصف محورين متساويين وآخر مختلف ، وأخيراً في أسفل اليمين ، كرة ثلاثية المحاور ، بثلاثة محاور مختلفة الطول. المصدر: ويكيميديا ​​كومنز. Ag2gaeh / CC BY-SA (https://creativecommons.org/licenses/by-sa/4.0)

بالإضافة إلى الشكل الإهليلجي ، هناك خمسة تربيعات أخرى: ورقة مفردة ورقيقتان زائدان ، نوعان من مكافئ (قطعي وبيضاوي) ، ومخروط بيضاوي. آثاره مخروطية أيضا.

يمكن أيضًا التعبير عن الشكل الإهليلجي بالمعادلة القياسية في الإحداثيات الديكارتية. الشكل البيضاوي المتمركز في الأصل (0،0،0) والمعبر عنه بهذه الطريقة يشبه القطع الناقص ، ولكن بمصطلح إضافي:

قيم a و b و c هي أعداد حقيقية أكبر من 0 وتمثل المحاور الثلاثة للشكل الإهليلجي.

خصائص الإليبسويد

- المعادلة القياسية

المعادلة القياسية في الإحداثيات الديكارتية للقطع الناقص المتمركز عند النقطة (ح ، ك ، م) هي:

- المعادلات البارامترية للقطع الناقص

في الإحداثيات الكروية ، يمكن وصف الشكل الإهليلجي على النحو التالي:

س = خطيئة θ. كوس φ

ص = ب خطيئة θ. سين φ

ض = ج كوس θ

تظل أنصاف محاور الشكل الإهليلجي أ ، ب ، ج ، بينما المعلمات هي الزوايا و للشكل التالي:

الشكل 2. نظام الإحداثيات الكروية. يمكن تحديد معلمات الشكل البيضاوي باستخدام الزوايا المعروضة ثيتا وفاي كمعلمات. المصدر: ويكيميديا ​​كومنز. Andeggs / المجال العام.

- آثار المجسم الإهليلجي

المعادلة العامة للسطح في الفضاء هي F (x ، y ، z) = 0 وآثار السطح هي المنحنيات:

- س = ج ؛ F (ج ، ص ، ض) = 0

- ص = ج ؛ و (س ، ج ، ض) = 0

- ض = ج ؛ و (س ، ص ، ج) = 0

في حالة الشكل الإهليلجي ، تكون هذه المنحنيات عبارة عن أشكال بيضاوية وأحيانًا دوائر.

- الصوت

يُعطى الحجم الخامس للقطع الناقص بمقدار (4/3) ضعف حاصل ضرب المحاور الثلاثة:

V = (4/3) π. abc

حالات خاصة للقطع الناقص

- يصبح الشكل الإهليلجي كرة عندما تكون جميع المحاور شبه بنفس الحجم: أ = ب = ج ≠ 0. هذا منطقي ، لأن الشكل الإهليلجي يشبه الكرة التي امتدت بشكل مختلف على طول كل منها محور.

-الكرة الكروية عبارة عن شكل بيضاوي يتطابق فيه اثنان من أنصاف المحاور والثالث مختلف ، على سبيل المثال يمكن أن يكون a = b c.

يُطلق على الشكل الكروي أيضًا الشكل الإهليلجي للثورة ، لأنه يمكن إنشاؤه عن طريق تدوير القطع الناقصة حول محور.

إذا تزامن محور الدوران مع المحور الرئيسي ، يكون الشكل الكروي متدليًا ، ولكن إذا تزامن مع المحور الثانوي ، يكون مفلطحًا:

الشكل 3. مفلطح كروي الشكل على اليسار وكروي الشكل على اليمين. المصدر: ويكيميديا ​​كومنز.

يُعطى قياس تسطيح الشكل الكروي (الإهليلجيه) من خلال الفرق في الطول بين المحورين شبه ، معبراً عنه في شكل كسري ، أي أنه وحدة التسطيح المعطاة بواسطة:

و = (أ - ب) / أ

في هذه المعادلة ، يمثل a المحور شبه الرئيسي ويمثل b المحور شبه الصغير ، تذكر أن المحور الثالث يساوي واحدًا من هذين المحورين الكرويين. تتراوح قيمة f بين 0 و 1 وبالنسبة للكرة الكروية يجب أن تكون أكبر من 0 (إذا كانت تساوي 0 ، فسنحصل ببساطة على كرة).

مرجع القطع الناقص

لا تكون الكواكب والنجوم بشكل عام كراتين مثالية عادةً ، لأن الحركة الدورانية حول محاورها تسوي الجسم عند القطبين وتنتفخه عند خط الاستواء.

هذا هو السبب في أن الأرض تبدو وكأنها كروية مفلطحة ، على الرغم من أنها ليست مبالغًا فيها مثل تلك الموجودة في الشكل السابق ، ومن جانبها ، فإن عملاق الغاز زحل هو أكثر الكواكب تسطحًا في النظام الشمسي.

لذا فإن الطريقة الأكثر واقعية لتمثيل الكواكب هي افتراض أنها تشبه الكرة الكروية أو الشكل الإهليلجي للثورة ، ومحورها شبه الرئيسي هو نصف القطر الاستوائي والمحور شبه الصغير نصف القطر القطبي.

جعلت القياسات الدقيقة التي تم إجراؤها على الكرة الأرضية من الممكن بناء الشكل الإهليلجي المرجعي للأرض باعتباره الطريقة الأكثر دقة للعمل بها رياضيًا.

تمتلك النجوم أيضًا حركات دورانية تمنحها أشكالًا مسطحة أكثر أو أقل. يعتبر النجم السريع Achernar ، ثامن ألمع نجم في سماء الليل ، في كوكبة Eridanus الجنوبية ، إهليلجي بشكل ملحوظ بالمقارنة مع معظم النجوم. يبعد عنا 144 سنة ضوئية.

على الجانب الآخر ، وجد العلماء قبل بضع سنوات أكثر الأجسام الكروية التي تم العثور عليها على الإطلاق: النجم كبلر 11145123 ، على بعد 5000 سنة ضوئية ، ضعف حجم شمسنا ، والفرق بين أنصاف المحاور البالغ 3 كيلومترات فقط. كما هو متوقع ، فإنه يدور بشكل أبطأ.

أما بالنسبة للأرض ، فهي ليست كروية كاملة إما بسبب سطحها الوعرة والتغيرات المحلية في الجاذبية. لهذا السبب ، هناك أكثر من مرجع واحد كروي متاح وفي كل موقع يتم اختيار الأنسب للجغرافيا المحلية.

إن مساعدة الأقمار الصناعية لا تقدر بثمن في إنشاء نماذج دقيقة بشكل متزايد لشكل الأرض ، فبفضلها من المعروف ، على سبيل المثال ، أن القطب الجنوبي أقرب إلى خط الاستواء من القطب الشمالي.

الشكل 4. Haumea ، الكوكب القزم العابر لنبتون له شكل إهليلجي. المصدر: ويكيميديا ​​كومنز.

مثال رقمي

بسبب دوران الأرض ، يتم إنشاء قوة طرد مركزي تمنحها شكل إهليلجي مستطيل ، بدلاً من كرة. من المعروف أن نصف القطر الاستوائي للأرض يبلغ 3963 ميلاً ونصف القطر القطبي 3942 ميلاً.

أوجد معادلة الأثر الاستوائي ، ذلك الخاص بهذا الشكل الإهليلجي وقياس تسطيحه. قارن أيضًا مع إهليلجيه زحل ، مع البيانات الواردة أدناه:

- نصف القطر الاستوائي لزحل: 60.268 كم

- نصف القطر القطبي لزحل: 54364 كم

المحلول

مطلوب نظام إحداثيات ، والذي سنفترض أنه يتمحور حول الأصل (مركز الأرض). سنفترض أن المحور z العمودي والتتبع الذي يتوافق مع خط الاستواء يقع على المستوى xy ، وهو ما يعادل المستوى z = 0.

في المستوى الاستوائي ، يكون شبه المحورين أ وب متساويين ، لذلك أ = ب = 3963 ميلاً ، بينما ج = 3942 ميلاً. هذه حالة خاصة: شكل كروي متمركز عند النقطة (0،0،0) كما هو مذكور أعلاه.

التتبع الاستوائي عبارة عن دائرة نصف قطرها R = 3963 ميلاً ، تتمحور حول نقطة الأصل. يتم حسابه بجعل z = 0 في المعادلة القياسية:

والمعادلة القياسية للقطع الناقص الأرضي هي:

و _الأرض = (أ - ب) / أ = (3963-3942) ميل / 3963 ميل = 0.0053

و _زحل = (60268-54363) كم / 60268 كم = 0.0980

لاحظ أن الإهليلجية f كمية بلا أبعاد.

المراجع

1. ArcGIS for Desktop. الأجسام الشبه الكروية والأجسام الكروية. تم الاسترجاع من: desktop.arcgis.com.
2. بي بي سي وورلد. سر أكثر الأشياء الكروية التي تم اكتشافها في الكون. تم الاسترجاع من: bbc.com.
3. لارسون ، ر. حساب التفاضل والتكامل والهندسة التحليلية. الطبعة السادسة. المجلد 2. ماكجرو هيل.
4. ويكيبيديا. بيضاوي. تم الاسترجاع من: en.wikipedia.org.
5. ويكيبيديا. كروي. تم الاسترجاع من: en.wikipedia.org.