HEPTADECAGON: الخصائص ، الأقطار ، المحيط ، المنطقة - رياضيات - 2025

و سباعي عشر هو مضلع منتظم مع 17 الجانبين و17 القمم. يمكن أن يتم بناؤها على الطراز الإقليدي ، أي باستخدام المسطرة والبوصلة فقط. كان العبقري الرياضي العظيم كارل فريدريش جاوس (1777-1855) ، بالكاد يبلغ من العمر 18 عامًا ، هو الذي وجد طريقة بنائه في عام 1796.

على ما يبدو ، كان غاوس دائمًا يميل بشدة إلى هذا الشكل الهندسي ، لدرجة أنه منذ اليوم الذي اكتشف فيه بنائه قرر أن يكون عالم رياضيات. ويقال أيضًا إنه أراد أن يتم نقش الشكل السباعي على شاهد قبره.

الشكل 1. الشكل السباعي هو مضلع منتظم له 17 جانبًا و 17 رأسًا. المصدر: F. Zapata.

وجد Gauss أيضًا الصيغة لتحديد المضلعات العادية التي يمكن إنشاؤها باستخدام المسطرة والبوصلة ، نظرًا لأن بعضها لا يحتوي على بنية إقليدية دقيقة.

خصائص سباعي الأضلاع

بالنسبة لخصائصه ، مثل أي مضلع ، فإن مجموع زواياه الداخلية مهم. في المضلع المنتظم ذي الأضلاع n ، يتم إعطاء المجموع من خلال:

هذا المجموع ، معبرًا عنه بالراديان ، يبدو كما يلي:

من الصيغ أعلاه ، يمكن بسهولة استنتاج أن كل زاوية داخلية من سباعي الشكل لها مقياس دقيق α يُعطى بواسطة:

ويترتب على ذلك أن الزاوية الداخلية تقريبًا هي:

الأقطار والمحيط

الأقطار والمحيط هي جوانب مهمة أخرى. في أي مضلع يكون عدد الأقطار:

D = n (n - 3) / 2 وفي حالة سباعي الشكل ، مثل n = 17 ، لدينا إذن D = 119 قطريًا.

من ناحية أخرى ، إذا كان طول كل جانب من ضلع سباعي الأضلاع معروفًا ، فيمكن إيجاد محيط الشكل الرباعي العادي ببساطة عن طريق إضافة 17 مرة هذا الطول ، أو ما يعادل 17 ضعف طول كل ضلع:

ف = 17 د

محيط سباعي الشكل

أحيانًا لا يُعرف سوى نصف القطر r للسباعي عشري ، لذلك من الضروري تطوير صيغة لهذه الحالة.

تحقيقا لهذه الغاية ، تم تقديم مفهوم الصيدلة. الفاصل هو الجزء الذي ينتقل من مركز المضلع المنتظم إلى نقطة المنتصف في جانب واحد. العروة بالنسبة إلى جانب واحد عمودي على هذا الجانب (انظر الشكل 2).

الشكل 2. يتم عرض أجزاء من مضلع منتظم بنصف قطر r و apothem. (تفصيل خاص)

بالإضافة إلى ذلك ، فإن apothem هو منصف الزاوية ذات الرأس المركزي والأضلاع على رأسين متتاليين من المضلع ، وهذا يسمح بإيجاد علاقة بين نصف القطر r والضلع d.

إذا كانت الزاوية المركزية DOE تسمى β ومع الأخذ في الاعتبار أن apothem OJ هو منصف ، فلدينا EJ = d / 2 = r Sen (، / 2) ، والتي من خلالها لدينا علاقة لإيجاد الطول d من جانب المضلع يعرف نصف قطره r وزاويته المركزية β

د = 2 ص سين (β / 2)

في حالة سباعي الأضلاع β = 360º / 17 ، لدينا:

د = 2 ص سين (180º / 17) 0.3675 ص

أخيرًا ، يتم الحصول على صيغة محيط الشكل الرباعي ، المعروف بنصف قطره:

P = 34 ص سين (180º / 17) ≈ 6.2475 ص

محيط الشكل السداسي الأضلاع قريب من محيط المحيط الذي يحيط به ، لكن قيمته أصغر ، أي محيط الدائرة المحصورة هو Pcir = 2π r ≈ 6.2832 r.

منطقة

لتحديد مساحة سباعي الأضلاع سوف نشير إلى الشكل 2 ، الذي يوضح جوانب وقطعة أضلاع مضلع منتظم مع عدد n من الأضلاع. في هذا الشكل ، يحتوي المثلث EOD على مساحة تساوي القاعدة d (جانب المضلع) مضروبًا في الارتفاع a (حرف المضلع) مقسومًا على 2:

منطقة التخلص من الذخائر المتفجرة = (dxa) / 2

إذن ، بمعرفة الحرف أ للمربع السباعي والضلع د له ، فإن مساحته هي:

منطقة Heptadecagon = (17/2) (dxa)

المنطقة معطى الجانب

للحصول على صيغة لمساحة سباعي الأضلاع مع معرفة طول أضلاعه السبعة عشر ، من الضروري الحصول على علاقة بين طول الضلع a و الضلع d.

بالإشارة إلى الشكل 2 ، يتم الحصول على العلاقة المثلثية التالية:

تان (β / 2) = EJ / OJ = (د / 2) / أ ، حيث β هي الزاوية المركزية DOE. لذلك يمكن حساب طول الضلع a إذا كان طول ضلع المضلع والزاوية المركزية β معروفين:

أ = (د / 2) كوتان (/ 2)

إذا تم استبدال هذا التعبير الآن بـ apothem ، في صيغة مساحة سباعي الأضلاع التي تم الحصول عليها في القسم السابق ، لدينا:

منطقة مضلع سباعي = (17/4) (د ²) كوتان (β / 2)

كونك β = 360º / 17 للشكل السباعي ، لذلك لدينا أخيرًا الصيغة المطلوبة:

منطقة Heptadecagon = (17/4) (d ²) Cotan (180 17/17)

مساحة بالنظر إلى نصف القطر

تم العثور في الأقسام السابقة على علاقة بين الضلع d من المضلع المنتظم ونصف قطره r ، وهذه العلاقة هي كما يلي:

د = 2 ص سين (β / 2)

يتم إدراج هذا التعبير لـ d في التعبير الذي تم الحصول عليه في القسم السابق للمنطقة. إذا تم إجراء الاستبدالات والتبسيط ذات الصلة ، فسيتم الحصول على الصيغة التي تسمح بحساب مساحة سباعي الشكل:

منطقة Heptadecagon = (17/2) (r ²) Sen (β) = (17/2) (r ²) Sen (360º / 17)

التعبير التقريبي للمنطقة هو:

منطقة مضلع سباعي = 3.0706 (ص ²)

كما هو متوقع ، هذه المساحة أصغر قليلاً من مساحة الدائرة التي تحيط بالمضلع السباعي A _circ = π r ² ≈ 3.1416 r ². على وجه الدقة ، إنه أقل بنسبة 2٪ من دائرة دائرته المحاصرة.

أمثلة

مثال 1

للإجابة على السؤال ، من الضروري تذكر العلاقة بين ضلع ونصف قطر المضلع العادي ذي الجوانب n:

د = 2 ص سين (180º / ن)

بالنسبة للمضلع السباعي n = 17 ، بحيث يكون d = 0.3675 r ، أي أن نصف قطر الشكل السباعي هو r = 2 سم / 0.3675 = 5.4423 سم أو

قطرها 10.8844 سم.

محيط أضلاع ضلع بطول 2 سم هو P = 17 * 2 سم = 34 سم.

مثال 2

يجب أن نشير إلى الصيغة الموضحة في القسم السابق ، والتي تسمح لنا بإيجاد مساحة سباعي الشكل عندما يكون طول ضلعها d:

منطقة مضلع سباعي = (17/4) (د ²) / تان (180 درجة / 17)

بالتعويض عن d = 2 سم في الصيغة السابقة ، نحصل على:

المساحة = 90.94 سم

المراجع

1. CEA (2003). عناصر الهندسة: مع التدريبات وهندسة البوصلة. جامعة ميديلين.
2. Campos ، F. ، Cerecedo ، FJ (2014). الرياضيات 2. افتتاحية Grupo باتريا.
3. فريد ، ك. (2007). اكتشف المضلعات. شركة بنشمارك التعليمية.
4. هندريك ، ف. (2013). المضلعات المعممة. بيرخاوسر.
5. IGER. (سادس). الرياضيات الفصل الدراسي الأول تاكانا. IGER.
6. هندسة الابن. (2014). المضلعات. لولو برس ، إنك.
7. ميلر ، هيرين ، وهورنسبي. (2006). الرياضيات: التفكير والتطبيقات (الإصدار العاشر). تعليم بيرسون.
8. باتينيو ، م. (2006). الرياضيات 5. الافتتاحية Progreso.
9. Sada، M. مضلع منتظم ذو 17 جانبًا مع مسطرة وبوصلة تم الاسترجاع من: geogebra.org
10. ويكيبيديا. سباعي. تم الاسترجاع من: es.wikipedia.com