محيط الدائرة: كيفية إخراجها والصيغ ، حل التمارين - رياضيات - 2024

على محيط الدائرة هو مجموعة من النقاط التي تشكل الخطوط العريضة للدائرة ويعرف أيضا باسم طول محيط. يعتمد ذلك على نصف القطر ، حيث من الواضح أن المحيط الأكبر سيكون له محيط أكبر.

لنفترض أن P هو محيط الدائرة و R نصف قطرها ، ثم يمكننا حساب P بالمعادلة التالية:

يعتمد محيط الدائرة (في هذه الحالة البيتزا) على نصف قطرها. المصدر: Pixabay.

حيث π هو رقم حقيقي (اقرأ "pi") يساوي 3.1416 تقريبًا… يرجع سبب القطع إلى حقيقة أن π بها منازل عشرية لا نهائية. لذلك ، عند إجراء الحسابات ، من الضروري تقريب قيمتها.

ومع ذلك ، بالنسبة لمعظم التطبيقات ، يكفي أخذ المبلغ المشار إليه هنا ، أو استخدام جميع الكسور العشرية التي تعيدها الآلة الحاسبة التي تعمل بها.

إذا كان من المفضل استخدام القطر D ، والذي نعلم أنه ضعف نصف القطر ، بدلاً من الحصول على نصف القطر ، فسيتم التعبير عن المحيط على النحو التالي:

نظرًا لأن المحيط عبارة عن طول ، فيجب دائمًا التعبير عنه بوحدات مثل الأمتار والسنتيمتر والقدم والبوصة والمزيد ، اعتمادًا على النظام المفضل.

المحيطات والدوائر

غالبًا ما يتم استخدام هذه المصطلحات بالتبادل ، أي كمرادفات. لكن يحدث أن هناك اختلافات بينهما.

تأتي كلمة "محيط" من الكلمة اليونانية "peri" والتي تعني كفاف و "متر" أو مقياس. المحيط هو محيط الدائرة أو محيطها. يتم تعريفه رسميًا على النحو التالي:

من جانبها ، يتم تعريف الدائرة على النحو التالي:

يمكن للقارئ أن يرى الاختلاف الدقيق بين المفهومين. يشير المحيط فقط إلى مجموعة النقاط على الحافة ، بينما الدائرة هي مجموعة النقاط من الحافة إلى الداخل ، والتي يكون محيطها هو حدودها.

تمارين d emostración لحساب محيط الدائرة

من خلال التدريبات التالية ، سيتم وضع المفاهيم الموضحة أعلاه موضع التنفيذ ، بالإضافة إلى بعض المفاهيم الأخرى التي سيتم شرحها عند ظهورها. سنبدأ من الأبسط وستزداد درجة الصعوبة تدريجياً.

- التمرين 1

أوجد محيط الدائرة التي يبلغ نصف قطرها 5 سم ومساحتها.

المحلول

يتم تطبيق المعادلة الواردة في البداية مباشرة:

لحساب المنطقة أ ، يتم استخدام الصيغة التالية:

- تمرين 2

أ) أوجد محيط ومساحة المنطقة الفارغة في الشكل التالي. يقع مركز الدائرة المظللة عند النقطة الحمراء ، بينما يكون مركز الدائرة البيضاء هو النقطة الخضراء.

ب) كرر القسم السابق للمنطقة المظللة.

دوائر للتمرين 2. المصدر: F. Zapata.

المحلول

أ) يبلغ نصف قطر الدائرة البيضاء 3 سم ، لذلك نطبق نفس المعادلات كما في التمرين 1:

ب) بالنسبة للدائرة المظللة نصف القطر 6 سم ومحيطها ضعف ما تم حسابه في القسم أ):

وأخيرًا يتم حساب مساحة المنطقة المظللة على النحو التالي:

- أولًا نجد مساحة الدائرة المظللة وكأنها كاملة ، والتي سنسميها أ '، على النحو التالي:

- التمرين 3

أوجد مساحة ومحيط المنطقة المظللة في الشكل التالي:

الرقم للتمرين 3. المصدر: F. Zapata.

المحلول

حساب مساحة المنطقة المظللة

نحسب أولاً مساحة القطاع الدائري أو الإسفين ، بين المقطعين المستقيمين OA و OB والجزء الدائري AB ، كما هو موضح في الشكل التالي:

للقيام بذلك ، يتم استخدام المعادلة التالية ، والتي تعطينا مساحة قطاع دائري ، مع معرفة نصف القطر R والزاوية المركزية بين مقطعي OA و OB ، أي اثنين من نصف قطر المحيط:

حيث αº هي الزاوية المركزية - فهي مركزية لأن رأسها هو مركز المحيط - بين نصف قطر.

الخطوة 1: احسب مساحة القطاع الدائري

بهذه الطريقة تكون مساحة القطاع الموضحة في الشكل هي:

الخطوة 2: احسب مساحة المثلث

بعد ذلك سنحسب مساحة المثلث الأبيض في الشكل 3. هذا المثلث متساوي الأضلاع ومساحته هي:

الارتفاع هو الخط الأحمر المنقط الظاهر في الشكل 4. للعثور عليه يمكنك استخدام نظرية فيثاغورس ، على سبيل المثال. لكنها ليست الطريقة الوحيدة.

سيلاحظ القارئ الملاحظ أن المثلث متساوي الأضلاع مقسم إلى مثلثين متطابقين ، قاعدتهما 4 سم:

في المثلث القائم الزاوية تتحقق نظرية فيثاغورس ، لذلك:

الخطوة 3: حساب المنطقة المظللة

يكفي طرح المساحة الأكبر (تلك الخاصة بالقطاع الدائري) من المساحة الأصغر (مساحة المثلث متساوي الأضلاع): _{المنطقة المظللة} = 33.51 سم ² - 27.71 سم ² = 5.80 سم ².

حساب محيط المنطقة المظللة

المحيط المطلوب هو مجموع الضلع المستقيم 8 سم وقوس المحيط AB. الآن ، المحيط الكامل يقابل 360º ، وبالتالي فإن القوس الذي يقابل 60º هو سدس الطول الكامل ، والذي نعرف أنه 2.πR:

بالتعويض ، محيط المنطقة المظللة هو:

التطبيقات

يمثل المحيط ، مثل المنطقة ، مفهومًا مهمًا للغاية في الهندسة وله العديد من التطبيقات في الحياة اليومية.

يستفيد الفنانون والمصممين والمهندسين المعماريين والمهندسين والعديد من الأشخاص الآخرين من المحيط أثناء تطوير أعمالهم ، خاصة عمل الدائرة ، نظرًا لأن الشكل الدائري موجود في كل مكان: من الإعلان ، مرورًا بالطعام إلى الآلات.

يعد المحيط والدائرة من بين الأشكال الهندسية الأكثر استخدامًا. المصدر: Pixabay.

لمعرفة طول المحيط بشكل مباشر ، يكفي لفه بخيط أو خيط ، ثم تمديد هذا الخيط وقياسه بشريط قياس. البديل الآخر هو قياس نصف قطر الدائرة أو قطرها واستخدام إحدى الصيغ الموصوفة أعلاه.

في العمل اليومي ، يتم استخدام مفهوم المحيط عندما:

- يتم اختيار القالب المناسب لحجم معين من البيتزا أو الكيك.

- سيتم تصميم طريق حضري ، عن طريق حساب حجم القارورة حيث يمكن للسيارات الدوران لتغيير الاتجاه.

-نعلم أن الأرض تدور حول الشمس في مدار دائري تقريبًا - في الواقع مدارات الكواكب إهليلجية وفقًا لقوانين كبلر - لكن المحيط هو تقريب جيد جدًا لمعظم الكواكب.

- يتم اختيار الحجم المناسب للحلقة ليتم شراؤها من متجر على الإنترنت.

- نختار مفتاح ربط بالحجم المناسب لفك الجوز.

و أكثر من ذلك بكثير.

المراجع

1. دروس الرياضيات المجانية. مساحة ومحيط الدائرة - حاسبة الهندسة. تم الاسترجاع من: analemath.com.
2. مرجع الرياضيات المفتوح. محيط الدائرة. تم الاسترجاع من: mathopenref.com.
3. معهد مونتيري. المحيط والمنطقة. تم الاسترجاع من: montereyinstitute.org.
4. علم. كيفية إيجاد محيط الدائرة. تم الاسترجاع من: sciencing.com.
5. ويكيبيديا. محيط. تم الاسترجاع من: en.wikipedia.org.