المتجهات في الفضاء: كيفية الرسم البياني ، والتطبيقات ، والتمارين - جسدي - بدني - 2025

A ناقلات في الفضاء هو كل ما يمثله نظام الإحداثيات التي قدمها x و y و z. في معظم الأوقات ، يكون المستوى xy هو مستوى السطح الأفقي ويمثل المحور z الارتفاع (أو العمق).

تقسم محاور الإحداثيات الديكارتية الموضحة في الشكل 1 المساحة إلى 8 مناطق تسمى الأوكتانت ، وهي مماثلة لكيفية تقسيم المحاور س - ص المستوى إلى 4 أرباع. سيكون لدينا بعد ذلك أوكتان أول وثاني أوكتان وهكذا.

الشكل 1. متجه في الفضاء. المصدر: عصامي.

يحتوي الشكل 1 على تمثيل لمتجه v في الفضاء. بعض المنظور مطلوب لإنشاء وهم ثلاثي الأبعاد على مستوى الشاشة ، والذي يتحقق من خلال رسم عرض مائل.

لرسم متجه ثلاثي الأبعاد ، يجب على المرء أن يستخدم الخطوط المنقطة التي تحدد على الشبكة إحداثيات الإسقاط أو "ظل" v على السطح xy. يبدأ هذا الإسقاط عند O وينتهي عند النقطة الخضراء.

بمجرد الوصول إلى هناك ، يجب عليك الاستمرار على طول الخط العمودي إلى الارتفاع (أو العمق) اللازم وفقًا لقيمة z ، حتى تصل إلى P. يتم رسم المتجه بدءًا من O وينتهي عند P ، والذي يقع في المثال الأول.

التطبيقات

تستخدم النواقل في الفضاء على نطاق واسع في الميكانيكا وفروع الفيزياء والهندسة الأخرى ، لأن الهياكل التي تحيط بنا تتطلب هندسة في ثلاثة أبعاد.

تُستخدم متجهات الموضع في الفضاء لوضع الأشياء فيما يتعلق بنقطة مرجعية تسمى أصل OR. لذلك ، فهي أيضًا أدوات ضرورية في التنقل ، لكن هذا ليس كل شيء.

إن القوى التي تعمل على هياكل مثل البراغي والأقواس والكابلات والدعامات وغيرها هي قوى متجهة في الطبيعة وموجهة في الفضاء. من أجل معرفة تأثيره ، من الضروري معرفة عنوانه (وأيضًا نقطة تطبيقه).

وكثيرًا ما يُعرف اتجاه القوة بمعرفة نقطتين في الفضاء تنتمي إلى خط عملها. بهذه الطريقة تكون القوة:

F = F ش

حيث F هو حجم أو مقدار القوة و ش هو متجه الوحدة (وحدة 1) موجهة على طول خط العمل F.

التدوين والتمثيلات المتجهة ثلاثية الأبعاد

قبل أن نواصل حل بعض الأمثلة ، سنراجع بإيجاز تدوين المتجه ثلاثي الأبعاد.

في المثال الموضح في الشكل 1 ، يكون للمتجه v ، الذي تتطابق نقطة منشأه مع الأصل O ونهايته النقطة P ، إحداثيات xyz موجبة ، بينما يكون الإحداثي y سالبًا. هذه الإحداثيات هي: x ₁ ، y ₁ ، z ₁ ، وهي إحداثيات P.

لذلك إذا كان لدينا متجه مرتبط بالأصل ، أي نقطة انطلاقه تتزامن مع O ، فمن السهل جدًا الإشارة إلى إحداثياته ​​، والتي ستكون تلك الخاصة بالنقطة القصوى أو P. للتمييز بين النقطة والمتجه ، سنستخدم لـ آخر الحروف والأقواس الغامقة ، مثل هذا:

v = <x ₁ ، y ₁ ، z ₁ >

بينما يتم الإشارة إلى النقطة P بأقواس:

P = (س ₁ ، ص ₁ ، ض ₁)

يستخدم تمثيل آخر متجهات الوحدة i و j و k التي تحدد الاتجاهات الثلاثة للمساحة على المحاور x و y و z على التوالي.

هذه النواقل متعامدة مع بعضها البعض وتشكل أساسًا متعامدًا (انظر الشكل 2). هذا يعني أنه يمكن كتابة متجه ثلاثي الأبعاد من حيث هذه العناصر على النحو التالي:

v = v _x i + v _y j + v _z k

الزوايا ومدير جيب التمام لناقل

يوضح الشكل 2 أيضًا زوايا المخرج γ ₁ و ₂ و γ ₃ التي يصنعها المتجه v على التوالي مع محاور x و y و z. معرفة هذه الزوايا وحجم المتجه ، يتم تحديدها بالكامل. بالإضافة إلى ذلك ، تتوافق جيب تمام زوايا المخرج مع العلاقة التالية:

(كوس γ ₁) ² + (كوس γ ₂) ² + (كوس γ ₃) ² = 1

الشكل 2. تحدد متجهات الوحدة i و j و k الاتجاهات الثلاثة التفضيلية للفضاء. المصدر: عصامي.

تمارين محلولة

-التمرين 1

في الشكل 2 ، تكون الزوايا ، ₁ و and ₂ و that ₃ التي يتخذها المتجه v للمعامل 50 مع محاور الإحداثيات على التوالي: 75.0º و 60.0º و 34.3º. أوجد المكونات الديكارتية لهذا المتجه وقم بتمثيلها بدلالة متجهات الوحدة i و j و k.

المحلول

إسقاط المتجه v على المحور _x هو v _x = 50. cos 75º = 12،941. بنفس الطريقة ، فإن إسقاط v على المحور y هو v _y = 50 cos 60 º = 25 وأخيرًا على المحور z يكون v _z = 50. cos 34.3 º = 41.3. يمكن الآن التعبير عن v على النحو التالي:

ت = 12.9 ط + 25.0 ي + 41.3 ك

-تمرين 2

ابحث عن التوترات في كل من الكابلات التي تحمل الدلو في الشكل الذي هو في حالة توازن ، إذا كان وزنه 30 N.

الشكل 3. مخطط الإجهاد للتمرين 2.

المحلول

على الجرافة ، يشير مخطط الجسم الحر إلى أن T _D (أخضر) يوازن الوزن W (أصفر) ، وبالتالي T _D = W = 30 N.

في العقدة ، يتم توجيه المتجه T _D عموديًا لأسفل ، ثم:

T _د = 30 (- ك) ن.

لتحديد الفولتية المتبقية ، اتبع الخطوات التالية:

الخطوة 1: ابحث عن إحداثيات جميع النقاط

A = (4.5،0،3) (A على مستوى الجدار xz)

ب = (1.5،0،0) (ب على المحور السيني)

C = (0، 2.5، 3) (C على مستوى الجدار و z)

D = (1.5 ، 1.5 ، 0) (D على المستوى الأفقي xy)

الخطوة 2: ابحث عن المتجهات في كل اتجاه بطرح إحداثيات النهاية والبداية

DA = <3 ؛ -1.5 ؛ 3>

تيار مستمر = <-1.5 ؛ واحد. 3>

DB = <0 ؛ -1.5 ؛ 0>

الخطوة 3: حساب الوحدات النمطية ومتجهات الوحدة

يتم الحصول على متجه الوحدة بالتعبير: u = r / r ، حيث تكون r (بالخط العريض) هي المتجه و r (ليست بالخط العريض) هي الوحدة النمطية للمتجه المذكور.

DA = (3 ² + (-1.5) ² + 3 ²) ^½ = 4.5 ؛ DC = ((-1.5) ² + 1 ² + 3 ²) ^½ = 3.5

ش _DA = <3 ؛ -1.5 ؛ 3> 4.5 = <0.67 ؛ -0.33 ؛ 0.67>

ش _{العاصمة} = <-1.5 ؛ واحد. 3> 3.5 = <-0.43 ؛ 0.29 ؛ 0.86>

ش _DB = <0 ؛ - واحد. 0>

ش _د = <0 ؛ 0 ؛ -1>

الخطوة 4: التعبير عن كل الضغوط كنواقل

T _DA = T _DA u _DA = T _DA <0.67 ؛ -0.33 ؛ 0.67>

T _DC = T _DC u _{DC =} T _DC <-0.43 ؛ 0.29 ؛ 0.86>

T _DB = T _DB u _DB = T _DB <0 ؛ - واحد. 0>

T _D = 30 <0 ؛ 0 ؛ -1>

الخطوة 5: تطبيق شرط التوازن الثابت وحل نظام المعادلات

أخيرًا ، يتم تطبيق حالة التوازن الثابت على الجرافة ، بحيث يكون مجموع المتجه لجميع القوى على العقدة صفرًا:

T _DA + T _DC + T _DB + T _D = 0

نظرًا لأن الضغوط في الفضاء ، فسوف ينتج عنها نظام من ثلاث معادلات لكل مكون (x ، y ، و z) من الضغوط.

0.67 T _DA -0.43 T _DC + 0 T _DB = 0

-0.33 T _DA + 0.29 T _{تيار مستمر} - T _DB = 0

0.67 T _DA + 0.86 T _{تيار مستمر} +0 T _DB - 30 = 0

الحل هو: T _DA = 14.9 N ؛ T _DA = 23.3 شمالاً ؛ T _DB = 1.82 نيوتن

المراجع

1. بيدفورد ، 2000. أ. ميكانيكا الهندسة: احصائيات. أديسون ويسلي. 38-52.
2. سلسلة فيغيروا ، د.: فيزياء العلوم والهندسة. المجلد 1. علم الحركة 31-68.
3. جسدي - بدني. الوحدة 8: النواقل. تم الاسترجاع من: frtl.utn.edu.ar
4. هيبلر ، ر. 2006. ميكانيكا للمهندسين. ثابتة الطبعة السادسة. شركة كونتيننتال للنشر. 15-53.
5. إضافة حاسبة المتجه. تم الاسترجاع من: 1728.org