القاعدة التجريبية: كيفية تطبيقها ، وما الغرض منها ، والتمارين التي تم حلها - دوداس - 2025

و بحكم التجربة هي نتيجة الخبرة العملية والملاحظة واقع الحياة. على سبيل المثال ، من الممكن معرفة أنواع الطيور التي يمكن ملاحظتها في أماكن معينة في كل وقت من السنة ومن هذه الملاحظة يمكن وضع "قاعدة" تصف دورات حياة هذه الطيور.

في الإحصاء ، تشير القاعدة التجريبية إلى كيفية تجميع الملاحظات حول قيمة مركزية ، المتوسط ​​أو المتوسط ​​، في وحدات الانحراف المعياري.

لنفترض أن لديك مجموعة من الأشخاص يبلغ متوسط ​​ارتفاعها 1.62 مترًا وانحراف معياري يبلغ 0.25 مترًا ، فإن القاعدة التجريبية ستتيح لنا تحديد ، على سبيل المثال ، عدد الأشخاص الذين سيكونون في فاصل متوسط ​​زائد أو ناقص واحد للانحراف المعياري؟

وفقًا للقاعدة ، فإن 68 ٪ من البيانات هي أكثر أو أقل من الانحراف المعياري عن المتوسط ​​، أي أن 68 ٪ من الأشخاص في المجموعة سيكون لديهم ارتفاع بين 1.37 (1.62-0.25) و 1.87 (1.62 + 0.25)) متر.

من أين تأتي القاعدة التجريبية؟

القاعدة التجريبية هي تعميم لنظرية تشبيشيف والتوزيع الطبيعي.

نظرية تشبيشيف

تنص نظرية Tchebyshev على أنه: بالنسبة لبعض قيم k> 1 ، فإن احتمال وجود متغير عشوائي بين المتوسط ​​ناقص k مضروبًا في الانحراف المعياري ، والمتوسط ​​زائد k مرة ، يكون الانحراف المعياري أكبر من أو يساوي (1 - 1 / ك ²).

تكمن ميزة هذه النظرية في أنها تُطبق على المتغيرات العشوائية المنفصلة أو المستمرة مع أي توزيع احتمالي ، ولكن القاعدة المحددة منها ليست دائمًا دقيقة للغاية ، لأنها تعتمد على تناظر التوزيع. كلما زاد عدم تناسق توزيع المتغير العشوائي ، كلما كان سلوكه أقل تعديلًا على القاعدة.

القاعدة التجريبية المحددة من هذه النظرية هي:

إذا كانت k = √2 ، يُقال أن 50٪ من البيانات موجودة في الفترة الزمنية:

إذا كان k = 2 ، يُقال إن 75٪ من البيانات تقع في الفترة الزمنية:

إذا كانت k = 3 ، يُقال أن 89٪ من البيانات تقع في الفترة الزمنية:

التوزيع الطبيعي

يسمح التوزيع الطبيعي ، أو الجرس الغاوسي ، بتأسيس القاعدة التجريبية أو القاعدة 68-95-99.7.

تستند القاعدة على احتمالات حدوث متغير عشوائي في فترات بين المتوسط ​​ناقص واحد أو اثنين أو ثلاثة انحرافات معيارية والمتوسط ​​زائد واحد أو اثنين أو ثلاثة انحرافات معيارية.

تحدد القاعدة التجريبية الفترات التالية:

68.27٪ من البيانات موجودة في الفترة الزمنية:

95.45٪ من البيانات موجودة في الفترة الزمنية:

99.73٪ من البيانات موجودة في الفترة الزمنية:

في الشكل يمكنك أن ترى كيف يتم عرض هذه الفواصل الزمنية والعلاقة بينها عند زيادة عرض قاعدة الرسم البياني.

حكم التجريبية. Melikamp إن توحيد المتغير العشوائي ، أي التعبير عن المتغير العشوائي من حيث z أو المتغير العادي القياسي ، يبسط استخدام القاعدة التجريبية ، لأن المتغير z له متوسط ​​يساوي صفرًا وانحرافًا معياريًا يساوي واحدًا.

لذلك ، فإن تطبيق القاعدة التجريبية في مقياس متغير عادي قياسي ، z ، يحدد الفترات التالية:

68.27٪ من البيانات موجودة في الفترة الزمنية:

95.45٪ من البيانات موجودة في الفترة الزمنية:

99.73٪ من البيانات موجودة في الفترة الزمنية:

كيف تطبق القاعدة التجريبية؟

تسمح القاعدة التجريبية بالحسابات المختصرة عند العمل مع التوزيع الطبيعي.

افترض أن مجموعة مكونة من 100 طالب جامعي يبلغ متوسط ​​أعمارهم 23 عامًا ، مع انحراف معياري لمدة عامين. ما هي المعلومات التي تسمح القاعدة التجريبية بالحصول عليها؟

يتضمن تطبيق القاعدة التجريبية اتباع الخطوات:

1 - تكوين فترات حكم

بما أن المتوسط ​​هو 23 والانحراف المعياري 2 ، فإن الفترات الزمنية هي:

= =

= =

= =

2- احسب عدد الطلاب في كل فترة حسب النسب المئوية

(100) * 68.27٪ = 68 طالبًا تقريبًا

(100) * 95.45٪ = 95 طالبًا تقريبًا

(100) * 99.73٪ = 100 طالب تقريبًا

3- ترتبط الفترات العمرية بأعداد الطلاب وتفسيرها

ما لا يقل عن 68 طالبًا تتراوح أعمارهم بين 21 و 25 عامًا.

95 طالبًا على الأقل تتراوح أعمارهم بين 19 و 27 عامًا.

ما يقرب من 100 طالب تتراوح أعمارهم بين 17 و 29 عامًا.

ما هو حكم التجربة؟

القاعدة التجريبية هي طريقة سريعة وعملية لتحليل البيانات الإحصائية ، وتصبح أكثر موثوقية مع اقتراب التوزيع من التناظر.

تعتمد فائدتها على المجال الذي تستخدم فيه والأسئلة التي يتم تقديمها. من المفيد جدًا معرفة أن حدوث قيم ثلاثة انحرافات معيارية أقل من المتوسط ​​أو أعلى منه أمر غير محتمل تقريبًا ، حتى بالنسبة لمتغيرات التوزيع غير العادية ، فإن 88.8 ٪ على الأقل من الحالات تقع في فترة سيجما الثلاثة.

في العلوم الاجتماعية ، النتيجة الحاسمة بشكل عام هي نطاق متوسط ​​زائد أو ناقص اثنين سيجما (95٪) ، بينما في فيزياء الجسيمات ، يتطلب التأثير الجديد فاصل زمني خمس سيجما (99.99994٪) ليتم اعتباره اكتشافًا.

تمارين محلولة

أرانب في المحمية

في محمية الحياة البرية ، يقدر أن هناك ما معدله 16000 أرنب مع انحراف معياري قدره 500 أرنب. إذا كان توزيع المتغير "عدد الأرانب في المحمية" غير معروف ، فهل من الممكن تقدير احتمال أن يكون عدد الأرانب بين 15000 و 17000 أرنب؟

يمكن تقديم الفاصل الزمني بهذه الشروط:

15000 = 16000-1000 = 16000-2 (500) = - 2 ثانية

17000 = 16000 + 1000 = 16000 + 2 (500) = + 2 ثانية

لذلك: =

بتطبيق نظرية Tchebyshev ، هناك احتمال لا يقل عن 0.75 أن عدد الأرانب في محمية الحياة البرية يتراوح بين 15000 و 17000 أرنب.

متوسط ​​وزن الأطفال في الدولة

يُوزَّع متوسط ​​وزن الأطفال البالغين من العمر عامًا واحدًا في البلد عادةً بمتوسط ​​10 كيلوغرامات وانحراف معياري يقارب كيلوغرام واحد.

أ) تقدير النسبة المئوية للأطفال البالغين من العمر سنة واحدة في الدولة الذين يتراوح متوسط ​​وزنهم بين 8 و 12 كجم.

8 = 10-2 = 10-2 (1) = - 2 ثانية

12 = 10 + 2 = 10 + 2 (1) = + 2 ثانية

لذلك: =

وفقًا للقاعدة التجريبية ، يمكن القول أن 68.27٪ من الأطفال البالغين من العمر عامًا واحدًا في البلاد يتراوح وزنهم بين 8 و 12 كجم.

ب) ما هو احتمال العثور على طفل عمره سنة واحدة ويزن 7 كيلوغرامات أو أقل؟

7 = 10-3 = 10-3 (1) = µ - 3 ث

من المعروف أن وزن 7 كيلوغرامات يمثل قيمة µ - 3s ، كما أنه من المعروف أن 99.73٪ من الأطفال تتراوح أوزانهم بين 7 و 13 كيلوجرام. وهذا يترك 0.27٪ فقط من إجمالي الأطفال في حالة التطرف. نصفهم ، 0.135٪ ، 7 كيلوغرامات أو أقل ، والنصف الآخر ، 0.135٪ ، 11 كيلوغراماً أو أكثر.

لذلك ، يمكن استنتاج أن هناك احتمال 0.00135 أن يزن الطفل 7 كيلوغرامات أو أقل.

ج) إذا وصل عدد سكان البلاد إلى 50 مليون نسمة وكان الأطفال البالغون من العمر سنة واحدة يمثلون 1٪ من سكان البلاد ، فكم عدد الأطفال البالغين من العمر سنة واحدة والذين سيتراوح وزنهم بين 9 و 11 كيلوغراماً؟

9 = 10-1 = µ - ث

11 = 10 + 1 = + ث

لذلك: =

وفقًا للقاعدة التجريبية ، فإن 68.27 ٪ من الأطفال بعمر عام واحد في البلاد هم في هذه الفترة

هناك 500000 طفل في سن عام واحد في البلاد (1٪ من 50 مليون) ، لذا فإن 341350 طفل (68.27٪ من 500000) يزنون ما بين 9 و 11 كيلوغراماً.

المراجع

1. Abraira ، V. (2002). الانحراف المعياري والخطأ المعياري. مجلة Semergen. تعافى من web.archive.org.
2. فرويند ، ر. ويلسون ، دبليو. موهر ، د. (2010). أساليب إحصائية. الطبعة الثالثة. Academic Press-Elsevier Inc.
3. خادم أليكانتي (2017). القاعدة التجريبية (مصطلحات إحصائية). تعافى من glosarios.servidor-alicante.com.
4. ليند ، د. مارشال ، دبليو. واثين ، س. (2012). الإحصائيات المطبقة على الأعمال والاقتصاد. الطبعة الخامسة عشرة. ماكجرو هيل / Interamericana de México SA
5. ساليناس ، هـ. (2010). الإحصاء والاحتمالات. تعافى من uda.cl.
6. سوكال ، ر. رولف ، ف. (2009). مقدمة في الإحصاء الحيوي. الطبعة الثانية. منشورات دوفر ، Inc.
7. شبيجل ، م. (1976). الاحتمال والاحصاء. سلسلة Schaum. ماكجرو هيل / Interamericana de México SA
8. شبيجل ، م. ستيفنس ، إل (2008). الإحصاء. الطبعة الرابعة. ماكجرو هيل / Interamericana de México SA
9. مراجعة Stat119 (2019). حل أسئلة القواعد التجريبية. تعافى من stat119review.com.
10. (2019). 68-95-99.7 القاعدة. تعافى من en.wikipedia.org.