ذات الحدين المقترن: كيفية حلها ، أمثلة ، تمارين - رياضيات - 2025

A الحدين المترافقة من الحدين آخر هو واحد في الذي يتم التمييز فقط بعلامة العملية. ذات الحدين ، كما يوحي اسمها ، هي بنية جبرية تتكون من فترتين.

بعض الأمثلة على ذات الحدين هي: (أ + ب) ، (3 م - ن) و (5 س - ص). وذات الحدين المترافق الخاصة بها هي: (أ - ب) ، (-3 م - ن) و (5 س + ص). كما يمكن رؤيته على الفور ، يكون الاختلاف في العلامة.

الشكل 1. ذات الحدين ومقارنتها ذات الحدين. لديهم نفس المصطلحات ، لكنهم يختلفون في الإشارة. المصدر: F. Zapata.

ينتج عن ثنائي الحدين مضروبًا في اقترانه منتجًا رائعًا يستخدم على نطاق واسع في الجبر والعلوم. نتيجة الضرب هي طرح مربعات حدود ذات الحدين الأصلية.

على سبيل المثال ، (س - ص) ذات حدين ومقارنتها هي (س + ص). إذن ، حاصل ضرب الحدين هو فرق مربعات المصطلحات:

(س - ص). (س + ص) = س ² - ص ²

كيف تحل اقتران ذي الحدين؟

القاعدة المعلنة في المصاريف ذات الحدين هي كما يلي:

كمثال تطبيقي ، سنبدأ بتوضيح النتيجة السابقة ، والتي يمكن إجراؤها باستخدام خاصية التوزيع للمنتج فيما يتعلق بالمجموع الجبري.

(س - ص) (س + ص) = س س + س ص - ص س - ص ص

تم الحصول على الضرب أعلاه باتباع الخطوات التالية:

- يتم ضرب الحد الأول من الحدين الأول في الحد الأول من الحد الثاني

- ثم الأول من الأول والثاني من الثاني

- ثم الثاني من الأول بالأول من الثاني

- أخيرًا الثاني من الأول والثاني من الثاني.

لنقم الآن بتغيير بسيط باستخدام الخاصية التبادلية: yx = xy. تبدو هكذا:

(س - ص) (س + ص) = س س + س ص - س ص - ص ص

نظرًا لوجود فترتين متساويتين ولكن بإشارة معاكسة (مظللة بالألوان وتسطير) ، يتم إلغاؤها وتبسيطها:

(س - ص) (س + ص) = س س - ص ص

أخيرًا ، يتم تطبيق أن ضرب رقم في نفسه يعادل رفعه إلى المربع ، بحيث xx = x ² وأيضًا yy = y ².

وبهذه الطريقة يتضح ما تم توضيحه في القسم السابق ، أن حاصل ضرب المجموع وفرقه هو فرق المربعات:

(س - ص). (س + ص) = س ² - ص ²

الشكل 2. مجموع ضرب فرقها هو فرق المربعات. المصدر: F. Zapata.

أمثلة

- المعادلات ذات الحدين المقترنين لمختلف التعبيرات

مثال 1

أوجد مرافق (y ² - 3y).

الجواب: (ص ² + ³ س)

مثال 2

احصل على ناتج (y ² - 3y) ومقارنه.

الجواب: (ص ² - ³ س) (ص ² + ³ س) = (ص ²) ² - (^{3 س}) ² = ص ⁴ - 3 ² ص ² = ص ⁴ - ⁹ ص ²

مثال 3

تطوير المنتج (1 + 2 أ). (2 أ -1).

الجواب: التعبير السابق يعادل (2 أ + 1) (2 أ -1) أي أنه يناظر حاصل ضرب ذات الحدين ومقارنته.

من المعروف أن حاصل ضرب ذات الحدين من خلال اقترانها ذي الحدين يساوي فرق مربعات شروط ذات الحدين:

(2A + 1) (2A -1) = (2A) ² - 1 ² = 4 (أ) ² - 1

مثال 4

اكتب حاصل الضرب (x + y + z) (x - y - z) كفرق بين المربعات.

الجواب: يمكننا استيعاب القيم الثلاثية المذكورة أعلاه في صيغة ذات الحدين المترافقة ، مع استخدام الأقواس والأقواس المربعة بعناية:

(س + ص + ض) (س - ص - ض) =

بهذه الطريقة يمكن تطبيق فرق المربعات:

(س + ص + ض) (س - ص - ض) =. = x ² - (y + z) ²

مثال 5

عبر عن الناتج (م ² - م -1). (م ² + م -1) كفرق بين المربعات.

الجواب: التعبير السابق هو نتاج اثنين من ثلاثي الحدود. يجب أولاً إعادة كتابته على أنه حاصل ضرب حدين مترافقين:

(م ² - م -1) (م ² + م -1) = (م ^2-1 - م) (م ² -1 + م) =.

نطبق حقيقة أن حاصل ضرب ذات الحدين بمرافقه هو الاختلاف التربيعي في شروطه ، كما تم توضيحه:

. = (م ² -1) ² - م ²

تمارين

كما هو الحال دائمًا ، تبدأ بأبسط التمارين ثم تزيد من مستوى التعقيد.

- التمرين 1

اكتب (9 - إلى ²) كمنتج.

المحلول

أولًا ، نعيد كتابة التعبير كفرق بين المربعات لتطبيق ما تم شرحه مسبقًا. هكذا:

(9 - أ ²) = (3 ² - أ ²)

بعد ذلك نأخذ في الحسبان ، وهو ما يعادل كتابة هذا الاختلاف في المربعات كمنتج ، كما هو مطلوب في البيان:

(9 - أ ²) = (3 ² - أ ²) = (3 + أ) (3-أ)

- تمرين 2

عامل 16X ² - 9Y ⁴.

المحلول

تحليل التعبير يعني كتابته كمنتج. في هذه الحالة ، من الضروري إعادة كتابة التعبير مسبقًا للحصول على فرق المربعات.

ليس من الصعب القيام بذلك ، لأن النظر بعناية ، كل العوامل هي مربعات كاملة. على سبيل المثال 16 هو مربع 4 ، 9 هو مربع 3 ، و ⁴ هو مربع y ² و x ² هو مربع x:

16X ² - 9Y ⁴ = 4 ² س ² - 3 ² ص ⁴ = 4 ² س ² - 3 ² (ص ²) ²

ثم نطبق ما نعرفه سابقًا: أن اختلاف المربعات هو نتاج حدين مترافقين:

(4x) ² - (3 and ²) ² = (4x - 3 and ²). (4x + 3 و ²)

- التمرين 3

اكتب (أ - ب) كمنتج ذو الحدين

المحلول

يجب كتابة الفرق أعلاه كاختلافات في المربعات

(a) ² - (b) ²

ثم يتم تطبيق أن فرق المربعات هو حاصل ضرب ذات الحدين المترافق

(√a - b) (a + b)

- التمرين 4

أحد استخدامات ذات الحدين المترافق هو ترشيد التعبيرات الجبرية. يتكون هذا الإجراء من إزالة جذور مقام التعبير الكسري ، مما يسهل العمليات في كثير من الحالات. يُطلب استخدام ذات الحدين المقترن لترشيد التعبير التالي:

√ (2-x) /

المحلول

أول شيء هو تحديد مرافق المقام ذات الحدين:.

الآن نضرب بسط ومقام التعبير الأصلي في ذات الحدين المرافق:

√ (2-س) / {.}

في مقام التعبير السابق ، نتعرف على ناتج الفرق بمجموع ، والذي نعرفه بالفعل يتوافق مع اختلاف مربعات ذات الحدين:

√ (2-س). / {(√3) ² - ² }

تبسيط المقام هو:

√ (2-س). / = √ (2-س). / (1 - س)

نتعامل الآن مع البسط ، والذي سنطبق عليه خاصية التوزيع للمنتج فيما يتعلق بالمجموع:

√ (2-س). / (1 - س) = √ (6-3 س) + √ / (1 - س)

في التعبير السابق ، نتعرف على حاصل ضرب ذات الحدين (2-x) من خلال مرافقه ، وهو المنتج البارز الذي يساوي فرق المربعات. بهذه الطريقة ، يتم أخيرًا الحصول على تعبير منطقي ومبسط:

/ (1 - س)

- تمرين 5

طور المنتج التالي ، باستخدام خصائص المتقارن ذي الحدين:

المحلول

4a ^{(2x + 6y)} - 9a ^{(2x - 6y)} = 4a ^(2x).a ^(6y) - 9a ^(2x).a ^(-6y) =.a ^(2x)

سيلاحظ القارئ اليقظ العامل المشترك الذي تم تمييزه بالألوان.

المراجع

1. بالدور ، أ. 1991. الجبر. الافتتاحية الثقافية فينزولانا SA
2. González J. تمارين مترافقة ذات الحدين. تم الاسترجاع من: Academia.edu.
3. مدرس الرياضيات اليكس. منتجات رائعة. تعافى من youtube.com.
4. Math2me. ذو الحدين المترافق / المنتجات البارزة. تعافى من youtube.com.
5. المنتجات ذات الحدين المقترن. تم الاسترجاع من: lms.colbachenlinea.mx.
6. فيتوال. ذات الحدين المقترن. تم الاسترجاع من: youtube.com.