نسبة بواسون: المعامل ، الصيغ ، القيم ، الأمثلة - جسدي - بدني - 2026

و بواسون الصورة نسبة هي كمية أبعاد، مميزة من كل مادة. إنه مؤشر على تشوه قطعة من المواد قبل تطبيق قوى معينة.

عندما تتعرض قطعة من المادة للتوتر أو الانضغاط للتشوه ، فإن الحاصل بين التشوه العرضي والتشوه الطولي هو بالضبط نسبة بواسون.

الشكل 1. نسبة بواسون تقيس العلاقة بين الامتداد الطولي والتضييق المستعرض. (من إعداد ريكاردو بيريز)

على سبيل المثال ، الأسطوانة المطاطية التي تتعرض للتوتر في نهاياتها تمتد في الاتجاه الطولي ، ولكنها تضيق بشكل عرضي. يوضح الشكل 1 شريط أبعاده الأصلية: الطول L والقطر D.

يتعرض القضيب لشد T في نهاياته ، ونتيجة لهذا الشد فإنه يخضع لعملية شد ، بحيث يكون الطول الجديد L '> L. ولكن عندما يتم شده ، يضيق قطره أيضًا إلى القيمة الجديدة: D '<د.

حاصل القسمة بين الامتداد (الموجب) والتضييق (السالب) مضروبًا في (-1) ، هو رقم موجب بين 0 و 0.5. هذا الرقم هو ما يسمى نسبة بواسون ν (الحرف اليوناني nu).

صيغة نسبة بواسون

لحساب نسبة بواسون ، من الضروري تحديد الإجهاد الطولي والعرضي.

الانفعال الطولي ε _L هو الامتداد مقسومًا على الطول الأصلي:

ε _L = (L '- L) / L.

وبالمثل ، فإن الإجهاد المستعرض ε _T هو التضيق الشعاعي مقسومًا على القطر الأصلي:

ε _T = (D '- D) / د

لذلك ، يتم حساب نسبة بواسون بالصيغة التالية:

ν = - ε _T / ε _L

العلاقة مع معامل المرونة ومعامل الصلابة

ترتبط نسبة بواسون ν بالمعامل E للمرونة (أو معامل يونج) ومعامل الصلابة G بالصيغة التالية:

قيمة نسبة بواسون للمواد

الشكل 2. الفولاذ المقاوم للصدأ له نسبة بواسون بين 0.30 و 0.31. المصدر: Pixabay.

أمثلة حسابية

مثال 1

يبلغ طول قضيب من مادة بلاستيكية معينة 150 مم وقسم دائري قطره 20 مم. عند التعرض لقوة ضغط F تبلغ 612.25 كجم-فهرنهايت ، لوحظ تقصير قدره 14 مم وفي نفس الوقت زيادة قدرها 0.85 مم في قطر العارضة.

احسب:

أ) السلالة الطولية.

ب) الانفعال المستعرض.

ج) نسبة بواسون لتلك المادة.

د) معامل يونج للمرونة المقابل للمادة.

هـ) معامل الصلابة لذلك البلاستيك.

الاجابه على

تذكر أن السلالة الطولية L هي الامتداد مقسومًا على الطول الأصلي:

εL = (L '- L) / لتر

εL = (-14 ملم) / 150 ملم = -0.0933

لاحظ أن السلالة الطولية بلا أبعاد ، وفي هذه الحالة كانت سالبة لأن هناك انخفاض في أبعادها الطولية.

الحل ب

وبالمثل ، فإن الإجهاد المستعرض εT هو الاستدقاق الشعاعي ، مقسومًا على القطر الأصلي:

εT = (D '- D) / د

εT = (+0.85 ملم) / 20 ملم = 0.0425

كانت السلالة المستعرضة موجبة لأنه كان هناك زيادة في قطر الشريط.

الحل ج

لحساب نسبة بواسون ، يجب أن نتذكر أنه يتم تعريفه على أنه سالب حاصل القسمة بين التشوه العرضي والتشوه الطولي:

ν = - εT / εL

ν = - 0.0425 / (-0.0933) = 0.4554

يجب أن نتذكر أن نسبة بواسون هي رقم موجب بلا أبعاد وتتراوح في معظم المواد بين 0 و 0.5.

الحل د

معامل مرونة يونج ، المشار إليه بالحرف E ، هو ثابت التناسب في قانون هوك. بواسطة E ، يرتبط الضغط الطبيعي L بالضغط εL ، على النحو التالي:

σL = E L

يُعرَّف الضغط الطبيعي بأنه الحاصل بين القوة الطبيعية (في هذه الحالة موازية لمحور الشريط) ومنطقة المقطع العرضي:

σL = F / A = F / (π / 4 * D ^ 2)

في هذا التمرين ، تبلغ القوة F 612.25 kg-f ، والتي يجب تحويلها إلى نيوتن ، وهي وحدة SI للقوة:

F = 612.25 kg-f = 612.25 * 9.8 N = 6000 N = 6 kN

من جانبه ، فإن المقطع العرضي للمنطقة أ هو:

أ = (/ 4 * د ^ 2) = (3.1416 / 4) * (20 * 10 ^ -3 م) ^ 2 = 3.1416 * 10 ^ -4 م ^ 2

أخيرًا ، يكون الضغط الطبيعي المطبق على الشريط هو:

σL = F / A = 6000 N / 3.1416 * 10 ^ -4 م ^ 2 = 19.098.593 باسكال = 19.098 ميجا باسكال

لحساب معامل يونج للمرونة ، نحل قيمة E من قانون هوك σL = E εL:

E = σL / L = 19098593 باسكال / 0.0933 = 204.7 ميجا باسكال

الحل ه

معامل الصلابة G مرتبط بمعامل يونغ E ونسبة بواسون ν بهذه الصيغة:

E / (2 G) = 1 +

من هناك يمكننا إيجاد G:

G = E / (2 (1 + ν)) = 204.7 ميجا باسكال / (2 (1 + 0.4554)) = 70.33 ميجا باسكال

مثال 2

يوجد كابل نحاسي بقطر 4 مم وطول 1 متر. مع العلم أن معامل يونج للنحاس هو 110000 ميجاباسكال وأن نسبة بواسون الخاصة به هي 0.34 ، قم بتقدير تمدد وضيق القطر الذي يخضع له السلك عندما يعلق عليه وزن 100 كجم.

المحلول

أولاً ، من الضروري حساب إجهاد الشد الطبيعي الذي يمارسه الوزن على السلك باتباع هذه الصيغة:

σL = F / A = F / (π / 4 * D ^ 2)

القوة F تساوي 980 N ومساحة المقطع العرضي هي:

أ = (π / 4 * د ^ 2) = (3.1416 / 4) * (4 * 10 ^ -3 م) ^ 2 = 1.2566 * 10 ^ -5 م ^ 2

ثم يكون إجهاد الشد:

σL = 980 نيوتن / 1.2566 * 10 ^ -5 م ^ 2 = 77986000 باسكال

حساب سلالة الأسلاك

معامل مرونة يونغ ، الذي يُشار إليه بالحرف E ، هو ثابت التناسب في قانون هوك الذي يربط الضغط الطبيعي toL إلى الإجهاد εL:

σL = E L

من هناك يمكن حل الضغط الطولي للسلك النحاسي:

εL = σL / E = 77.986 ميجا باسكال / 110000 ميجا باسكال = 7.09 * 10 ^ -4

حساب الانفعال المستعرض

من ناحية أخرى ، لمعرفة السلالة المستعرضة ، يتم تطبيق نسبة بواسون:

ν = - εT / εL

أخيرًا ، السلالة المستعرضة هي:

εT = – εL = - 0.34 * 7.09 * 10 ^ -4 = -2.41 * 10 ^ -4

حساب امتداد الكابل المطلق

أخيرًا ، لمعرفة الامتداد المطلق للكابل ، يجب تطبيق العلاقة التالية:

ΔL = εL * L = 7.09 * 10 ^ -4 * 1 م = 7.09 * 10 ^ -4 م = 0.709 ملم

وهذا يعني أنه مع هذا الوزن ، تمدد الكابل بالكاد بمقدار 0.709 ملم.

حساب النقص في القطر

للحصول على الانكماش المطلق في القطر نستخدم الصيغة التالية:

ΔD = εT * D = -2.41 * 10 ^ -4 * 4 ملم = -9.64 * 10 ^ -4 ملم = -0.000964 ملم.

هذا التضييق في القطر صغير جدًا بحيث يصعب رؤيته بالعين المجردة ، حتى قياسه يتطلب أداة عالية الدقة.

المراجع

1. بيرة ف.. ميكانيكا المواد. الخامس. الإصدار. 2010. ماك جراو هيل. 1-130.
2. Hibbeler R. ميكانيكا المواد. الطبعة الثامنة. برنتيس هول. 2011. 3-60.
3. جير ج.ميكانيكا المواد. الطبعة الثامنة. سينجاج ليرنينج. 4-220.
4. جيانكولي ، د. 2006. الفيزياء: مبادئ مع تطبيقات. 6. إد برنتيس هول. 238-242.
5. Valera Negrete، J. 2005. ملاحظات حول الفيزياء العامة. UNAM. 87-98.