- طول وتر من الدائرة
- نظرية الأوتار
- تمارين الأوتار التي تم حلها
- - التمرين 1
- المحلول
- - تمرين 2
- المحلول
- الخطوة 1: الحصول على المعادلة الأساسية للمحيط
- الخطوة 2: تحديد المقاطع لاستخدامها في نظرية السلسلة
- المراجع
و وتر ، في الهندسة المستوية، هو القطعة المستقيمة التي تربط نقطتين على منحنى. يُقال إن الخط الذي يحتوي على هذا المقطع هو خط قاطع للمنحنى. غالبًا ما تكون هذه دائرة ، ولكن يمكن بالتأكيد رسم الحبال على العديد من المنحنيات الأخرى ، مثل القطع الناقص والقطع المكافئ.
في الشكل 1 على اليسار ، يوجد منحنى تنتمي إليه النقطتان A و B ، والوتر بين A و B هو الجزء الأخضر. إلى اليمين يوجد محيط وأحد خيوطه ، حيث أنه من الممكن رسم اللانهائيات.
الشكل 1. إلى اليسار وتر من منحنى تعسفي وإلى اليمين وتر من الدائرة. المصدر: ويكيميديا كومنز.
في المحيط ، يكون قطرها مثيرًا للاهتمام بشكل خاص ، والذي يُعرف أيضًا باسم الوتر الرئيسي. إنه وتر يحتوي دائمًا على مركز المحيط ويقيس ضعف نصف القطر.
يوضح الشكل التالي نصف القطر والقطر والوتر وكذلك قوس المحيط. يعد تحديد كل واحد بشكل صحيح أمرًا مهمًا عند حل المشكلات.
الشكل 2. عناصر المحيط. المصدر: ويكيميديا كومنز.
طول وتر من الدائرة
يمكننا حساب طول الوتر في دائرة من الشكلين 3 أ و 3 ب. لاحظ أن المثلث يتكون دائمًا من جانبين متساويين (متساوي الساقين): مقاطع OA و OB ، والتي تقيس R ، نصف قطر المحيط. الضلع الثالث من المثلث هو الجزء AB ، المسمى C ، وهو بالضبط طول الوتر.
من الضروري رسم خط عمودي على الوتر C لتقسيم الزاوية θ الموجودة بين نصفي القطر ورأسها مركز O للدائرة. هذه زاوية مركزية - لأن رأسها هو المركز - وخط المنصف هو أيضًا قاطع للمحيط.
يتم تشكيل مثلثين على الفور ، الوتر الذي يقيسه الوتر R. بما أن المنصف ومعه القطر يقسم الوتر إلى جزأين متساويين ، يتضح أن إحدى الأرجل نصف C ، كما هو مبين في الشكل 3 ب.
من تعريف جيب الزاوية:
الخطيئة (θ / 2) = الرجل المعاكسة / الوتر = (C / 2) / R
هكذا:
الخطيئة (θ / 2) = C / 2R
C = 2R sin (θ / 2)
الشكل 3. يتكون المثلث من نصف قطر ووتر محيط هو متساوي الساقين (الشكل 3) ، حيث أن له ضلعين متساويين. يقسمها المنصف إلى مثلثين قائم الزاوية (الشكل 3 ب). المصدر: إعداد F. Zapata.
نظرية الأوتار
تسير نظرية الأوتار على النحو التالي:
يوضح الشكل التالي وتران من نفس المحيط: AB و CD ، اللذان يتقاطعان عند النقطة P. في الوتر AB ، يتم تحديد المقاطع AP و PB ، بينما في الوتر يتم تعريف CD CP و PD. لذلك ، وفقًا للنظرية:
AP. PB = CP. ملاحظة.
الشكل 4. نظرية وتر الدائرة. المصدر: F. Zapata.
تمارين الأوتار التي تم حلها
- التمرين 1
الدائرة بها وتر 48 سم ، أي 7 سم من المركز. احسب مساحة الدائرة ومحيط المحيط.
المحلول
لحساب مساحة الدائرة أ ، يكفي معرفة نصف قطر مربع محيطها ، لأنها صحيحة:
أ = π.R 2
الآن ، الشكل الذي تم تكوينه بالبيانات المقدمة هو مثلث قائم الزاوية ، طول ساقيه 7 و 24 سم على التوالي.
الشكل 5. الهندسة للحل التمرين 1. المصدر: F. Zapata.
لذلك ، لإيجاد قيمة R 2 ، يتم تطبيق نظرية فيثاغورس c 2 = a 2 + b 2 مباشرة ، لأن R هو وتر المثلث:
R 2 = (7 سم) 2 + (24 سم) 2 = 625 سم 2
فالمنطقة المطلوبة هي:
أ = π. 625 سم 2 = 1963.5 سم 2
فيما يتعلق بالمحيط أو الطول L للمحيط ، يتم حسابه بواسطة:
L = 2π. ر
استبدال القيم:
R = √625 سم 2 = 25 سم
L = 2π. 25 سم = 157.1 سم.
- تمرين 2
حدد طول وتر الدائرة التي تكون معادلتها:
س 2 + ص 2 - 6X - 14Y -111 = 0
من المعروف أن إحداثيات نقطة المنتصف للوتر هي P (17/2 ؛ 7/2).
المحلول
لا تنتمي نقطة منتصف الوتر P إلى المحيط ، لكن نقاط نهاية الوتر تنتمي إلى المحيط. يمكن حل المشكلة باستخدام نظرية الأوتار التي تم الإعلان عنها سابقًا ، ولكن من الملائم أولاً كتابة معادلة المحيط بالصيغة المتعارف عليها لتحديد نصف قطرها R ومركزها O.
الخطوة 1: الحصول على المعادلة الأساسية للمحيط
المعادلة الأساسية للدائرة ذات المركز (h، k) هي:
(xh) 2 + (yk) 2 = R 2
للحصول عليها ، يجب عليك إكمال المربعات:
(س 2 - 6X) + (ص 2 - 14Y) -111 = 0
لاحظ أن 6x = 2. (3x) و 14y = 2. (7y) ، بحيث تتم إعادة كتابة التعبير السابق على هذا النحو ، ويبقى دون تغيير:
(س 2 - 6X + 3 2 -3 2) + (ص 2 - 14Y + 7 2 -7 2) -111 = 0
والآن ، تذكر تعريف المنتج الرائع (ab) 2 = أ 2 - 2 أب + ب 2 ، يمكنك كتابة:
(س - 3) 2 - 3 2 + (ص - 7) 2 - 7 2 - 111 = 0
= (س - 3) 2 + (ص - 7) 2 = 111 + 3 2 + 7 2 → (س - 3) 2 + (ص - 7) 2 = 169
يحتوي المحيط على المركز (3،7) ونصف القطر R = √169 = 13. يوضح الشكل التالي الرسم البياني للمحيط والأوتار التي سيتم استخدامها في النظرية:
الشكل 6. رسم بياني لمحيط التمرين الذي تم حله 2. المصدر: F. Zapata باستخدام حاسبة الرسوم البيانية عبر الإنترنت Mathway.
الخطوة 2: تحديد المقاطع لاستخدامها في نظرية السلسلة
المقاطع التي سيتم استخدامها هي السلاسل CD و AB ، وفقًا للشكل 6 ، كلاهما مقطوع عند النقطة P ، لذلك:
CP. PD = AP. PB
الآن سنجد المسافة بين النقطتين O و P ، لأن هذا سيعطينا طول المقطع OP. إذا أضفنا نصف القطر إلى هذا الطول ، فسنحصل على القطعة CP.
المسافة d OP بين نقطتي إحداثيات (x 1 ، y 1) و (x 2 ، y 2) هي:
د OP 2 = OP 2 = (x 2 - x 1) 2 + (y 2 - y 1) 2 = (3- 17/2) 2 + (7- 7/2) 2 = 121/4 + 49/4 = 170/4
د OP = OP = -170 / 2
مع جميع النتائج التي تم الحصول عليها ، بالإضافة إلى الرسم البياني ، نقوم ببناء قائمة المقاطع التالية (انظر الشكل 6):
أول أكسيد الكربون = 13 سم = R.
OP = -170 / 2 سم
CP = OP + R = 13 + √170 / 2 سم
PD = OD - OP = 13 - √170 / 2 سم
AP = PB
2.AP = طول وتر
الاستبدال في نظرية السلسلة:
CP. PD = AP. PB = = AP 2
= AP 2
253/2 = AP 2
AP = √ (253/2)
طول السلسلة هو 2.AP = 2 (253/2) = √506
هل يستطيع القارئ حل المشكلة بطريقة أخرى؟
المراجع
- Baldor، A. 2004. هندسة الطائرة والفضاء مع علم المثلثات. Publicaciones Cultural SA de CV México.
- سي- K12. طول الوتر. تم الاسترجاع من: ck12.org.
- اسكوبار ، ج.المحيط. تم الاسترجاع من: matematicas.udea.edu.co.
- فيلينا ، م. كونيكاس. تم الاسترجاع من: dspace.espol.edu.ec.
- ويكيبيديا. حبل (هندسة). تم الاسترجاع من: es.wikipedia.org.