الهندسة الإقليدية: التاريخ والمفاهيم الأساسية والأمثلة - رياضيات - 2026

في الهندسة الإقليدية يتوافق مع دراسة خصائص المساحات الهندسية حيث يتم استيفاء بديهيات إقليدس. على الرغم من أن هذا المصطلح يستخدم أحيانًا لتغطية الأشكال الهندسية ذات الأبعاد الأعلى ذات الخصائص المتشابهة ، إلا أنه بشكل عام مرادف للهندسة الكلاسيكية أو هندسة المستوى.

في القرن الثالث أ. كتب ج. إقليدس وتلاميذه "العناصر" ، وهو عمل يشمل المعرفة الرياضية للوقت والتي تتمتع ببنية منطقية استنتاجية. منذ ذلك الحين ، أصبحت الهندسة علمًا ، في البداية لحل المشكلات الكلاسيكية وتطورت لتصبح علمًا تكوينيًا يساعد العقل.

التاريخ

للحديث عن تاريخ الهندسة الإقليدية ، من الضروري البدء بإقليدس الإسكندرية والعناصر.

عندما تركت مصر في يد بطليموس الأول ، بعد وفاة الإسكندر الأكبر ، بدأ مشروعه في مدرسة بالإسكندرية.

من بين الحكماء الذين درسوا في المدرسة كان إقليدس. يُعتقد أن تاريخ ميلاده يعود إلى حوالي 325 قبل الميلاد. ج وموته 265 أ. C. يمكننا أن نعرف على وجه اليقين أنه ذهب إلى مدرسة أفلاطون.

درس إقليدس في الإسكندرية لأكثر من ثلاثين عامًا ، وقام ببناء عناصرها الشهيرة: بدأ في كتابة وصف شامل للرياضيات في عصره. أنتجت تعاليم إقليدس تلاميذ ممتازين ، مثل أرخميدس وأبولونيوس من بيرغا.

كان إقليدس مسؤولاً عن هيكلة الاكتشافات المتباينة لليونانيين القدماء في العناصر ، ولكنه على عكس أسلافه لا يقتصر على تأكيد صحة النظرية ؛ يقدم إقليدس مظاهرة.

العناصر هي خلاصة وافية من ثلاثة عشر كتابًا. بعد الكتاب المقدس ، هو أكثر الكتب المنشورة ، مع أكثر من ألف طبعة.

عناصر إقليدس

العناصر هي تحفة إقليدس في مجال الهندسة ، وتقدم معالجة نهائية للهندسة ثنائية الأبعاد (المستوية) وثلاثية الأبعاد (الفضاء) ، وهذا هو أصل ما نعرفه الآن باسم الهندسة الإقليدية..

مفاهيم أساسية

تتكون العناصر من تعريفات ومفاهيم ومسلمات مشتركة (أو مسلمات) متبوعة بالنظريات والتركيبات والبراهين.

- والنقطة هي التي لا أجزاء لها.

- الخط هو طول ليس له عرض.

- الخط المستقيم هو الخط الذي يقع بالتساوي بالنسبة إلى النقاط الموجودة فيه.

- إذا تم قطع خطين بحيث تكون الزاويتان المتجاورتان متساويتين ، تسمى الزوايا بالخطوط المستقيمة وتسمى الخطوط المتعامدة.

- الخطوط المتوازية هي تلك التي لا تتقاطع أبدًا في نفس المستوى.

بعد هذه التعريفات وغيرها ، يقدم لنا إقليدس قائمة بخمسة افتراضات وخمسة مفاهيم.

المفاهيم المشتركة

- شيئين يساويان ثلثًا متساويان.

- إذا تمت إضافة نفس الأشياء إلى نفس الأشياء ، فستكون النتائج واحدة.

- إذا تم طرح أشياء متساوية ، فإن النتائج متساوية.

- الأشياء التي تتطابق مع بعضها البعض متساوية.

- المجموع أكبر من جزء.

المسلمات أو البديهيات

- خط واحد فقط يمر بنقطتين مختلفتين.

- يمكن تمديد الخطوط المستقيمة إلى أجل غير مسمى.

- يمكنك رسم دائرة بأي مركز وأي نصف قطر.

- جميع الزوايا القائمة متساوية.

- إذا تقاطع الخط المستقيم مع خطين مستقيمين بحيث تضاف الزوايا الداخلية لنفس الجانب إلى أقل من زاويتين قائمتين ، فإن الخطين سيتقاطعان على هذا الجانب.

تُعرف هذه الفرضية الأخيرة بالفرضية المتوازية وقد أعيدت صياغتها بالطريقة التالية: "بالنسبة إلى نقطة خارج الخط ، يمكن رسم موازٍ واحد للخط المعطى."

أمثلة

بعد ذلك ، ستعمل بعض نظريات العناصر على إظهار خصائص المساحات الهندسية حيث يتم استيفاء افتراضات إقليدس الخمس ؛ بالإضافة إلى ذلك ، سوف يوضحون المنطق المنطقي الاستنتاجي الذي يستخدمه عالم الرياضيات هذا.

المثال الأول

مقترح 1.4. (LAL)

إذا كان لمثلثين ضلعان وكانت الزاوية بينهما متساوية ، فإن الأضلاع الأخرى والزوايا الأخرى متساوية.

برهنة

لنفترض أن ABC و A'B'C 'يكونان مثلثين مع AB = A'B' و AC = A'C 'والزوايا BAC و B'A'C' متساويتان. لنحرك المثلث A'B'C 'بحيث يتطابق A'B' مع AB وتتطابق الزاوية B'A'C مع الزاوية BAC.

لذا فإن السطر A'C 'يتطابق مع الخط AC ، بحيث يتطابق الخط C' مع C. ثم ، بافتراض 1 ، يجب أن يتطابق السطر BC مع الخط B'C '. لذلك يتطابق المثلثان ، وبالتالي فإن زواياهما وضلعاهما متساويان.

المثال الثاني

الاقتراح 1.5. (

افترض أن المثلث ABC له ضلعان متساويان AB و AC.

إذن ، للمثلثين ABD و ACD ضلعان متساويان والزوايا بينهما متساوية. وبالتالي ، من خلال الاقتراح 1.4 ، فإن الزاويتين ABD و ACD متساويتان.

المثال الثالث

الاقتراح 1.31

يمكنك إنشاء خط موازٍ لخط معطى بنقطة معينة.

بناء

بالنظر إلى الخط L والنقطة P ، يتم رسم الخط M عبر P ويتقاطع مع L ، ثم يتم رسم الخط N عبر P الذي يتقاطع مع L ، والآن ، يتم رسم الخط N عبر P ، والذي يتقاطع مع M ، تشكيل زاوية مساوية للزاوية التي تشكلها L مع M.

تأكيد

N موازية لـ L.

برهنة

لنفترض أن L و N ليسا متوازيين ويتقاطعان عند النقطة A. لنفترض أن B تكون نقطة في L بعد A. دعونا نفكر في الخط O الذي يمر عبر B و P. ثم يتقاطع O مع M بزوايا مجموعها أقل من اثنان على التوالي.

بعد ذلك ، يجب أن يتقاطع الخط O بمقدار 1.5 على الجانب الآخر من M ، لذلك يتقاطع L و O عند نقطتين ، وهو ما يتعارض مع فرضية 1. لذلك ، يجب أن يكون L و N متوازيان.

المراجع

1. إقليدس ، عناصر الهندسة. جامعة المكسيك الوطنية المستقلة
2. إقليدس. الكتب الستة الأولى والحادي عشر والثاني عشر من عناصر إقليدس
3. أوجينيو فيلوي ياغي. تعليم وتاريخ الهندسة الإقليدية ، افتتاحية Grupo Iberoamericano
4. ك. ريبنيكوف. تاريخ الرياضيات. افتتاحية مير
5. فيلوريا ، إن ، وليال ، ج. (2005) الهندسة التحليلية للطائرة. افتتاحية فنزويلا CA