الزوايا التكميلية: ما هي ، الحساب ، الأمثلة ، التمارين - رياضيات - 2026

زاويتان أو أكثر هما زاويتان مكملتان إذا كان مجموع قياساتهما يتوافق مع قياس الزاوية المستقيمة. قياس الزاوية المستقيمة ، وتسمى أيضًا زاوية المستوى ، بالدرجات يساوي 180º ، والراديان π.

على سبيل المثال ، نجد أن الزوايا الداخلية الثلاث للمثلث مكملة لأن مجموع قياساتها هو 180º. تظهر ثلاث زوايا في الشكل 1. ويترتب على ما سبق أن α و مكملان ، لأنهما متجاورتان وأن مجموعهما يكمل زاوية مستقيمة.

الشكل 1: α و مكملان. α و مكملان. المصدر: F. Zapata.

في الشكل نفسه أيضًا ، لدينا الزاويتان α و اللتان تُكملان أيضًا ، لأن مجموع قياساتهما يساوي قياس زاوية المستوى ، أي 180 درجة. لا يمكن القول إن الزاويتين و مكملتان لأن كلتا الزاويتين منفرجتان ، فإن قياساتهما أكبر من 90 درجة وبالتالي يتجاوز مجموعهما 180 درجة.

المصدر: lifeder.com

بدلاً من ذلك ، يمكن القول أن قياس الزاوية يساوي قياس الزاوية γ ، لأنه إذا كانت مكملة لـ α و مكملة لـ α ، فإن = γ = 135º.

أمثلة

في الأمثلة التالية ، يُطلب العثور على الزوايا المجهولة ، المشار إليها بعلامات استفهام في الشكل 2. وهي تتراوح من أبسط الأمثلة إلى بعض الأمثلة الأكثر تفصيلاً التي يجب أن يكون القارئ أكثر حذراً.

الشكل 2. عدة أمثلة عملية للزوايا التكميلية. المصدر: F. Zapata.

مثال أ

نجد في الشكل أن الزاويتين المجاورتين α و 35º تضافان إلى زاوية مستوية. وهذا يعني أن α + 35º = 180º وبالتالي فإنه صحيح أن: α = 180º- 35º = 145º.

مثال ب

بما أن β مكمل بزاوية 50º ، فإنه يتبع ذلك β = 180º - 50º = 130º.

مثال ج

من الشكل 2C يمكن ملاحظة المجموع التالي: γ + 90º + 15º = 180º. أي أن γ مكملة للزاوية 105º = 90º + 15º. ثم يستنتج أن:

γ = 180º- 105º = 75º

مثال د

بما أن X مكمل لـ 72º ، فإنه يتبع ذلك X = 180º - 72º = 108º. علاوة على ذلك ، فإن Y مكملة لـ X ، لذلك Y = 180º - 108º = 72º.

وأخيرًا يكون Z مكملًا لـ 72º ، وبالتالي فإن Z = 180º - 72º = 108º.

مثال هـ

الزاويتان δ و 2δ مكملتان ، لذلك δ + 2δ = 180º. مما يعني أن 3δ = 180º ، وهذا بدوره يسمح لنا بكتابة: δ = 180º / 3 = 60º.

مثال F

إذا استدعينا الزاوية بين 100º و 50º U ، فإن U مكمل لكليهما ، لأنه يُلاحظ أن مجموعهما يكمل زاوية مستوية.

يتبع ذلك على الفور أن U = 150º. بما أن U عكس الرأس إلى W ، فإن W = U = 150º.

تمارين

ثلاثة تمارين مقترحة أدناه ، في كل منها يجب إيجاد قيمة الزاويتين A و B بالدرجات ، حتى تتحقق العلاقات الموضحة في الشكل 3. يستخدم مفهوم الزوايا التكميلية في حلها جميعًا.

الشكل 3. شكل لحل التمارين الأول والثاني والثالث على الزوايا التكميلية. جميع الزوايا بالدرجات. المصدر: F. Zapata.

- تمرين أنا

حدد قيم الزاويتين أ وب من الجزء الأول) بالشكل 3.

المحلول

A و B مكملان ، ومن هنا نجد أن A + B = 180 درجة ، ثم يتم استبدال التعبير A و B كدالة لـ x ، كما يظهر في الصورة:

(س + 15) + (5 س + 45) = 180

يتم الحصول على معادلة خطية من الدرجة الأولى. لحلها ، تم تجميع الشروط أدناه:

6 س + 60 = 180

قسمة كلا العضوين على 6 لدينا:

س + 10 = 30

وأخيرًا بالحل ، يتبين أن x تساوي 20º.

الآن علينا التعويض بقيمة x لإيجاد الزوايا المطلوبة. إذن فالزاوية أ هي: أ = 20 +15 = 35º.

ومن جانبها ، الزاوية B هي B = 5 * 20 + 45 = 145º.

- التمرين الثاني

أوجد قيم الزاويتين أ وب من الجزء الثاني) بالشكل 3.

المحلول

بما أن A و B زاويتان مكملتان ، فإن أ + ب = 180 درجة. بالتعويض عن التعبير عن A و B كدالة لـ x المعطى في الجزء الثاني) من الشكل 3 ، لدينا:

(-2 س + 90) + (8 س - 30) = 180

مرة أخرى ، يتم الحصول على معادلة من الدرجة الأولى ، والتي يجب تجميع المصطلحات بشكل ملائم:

6 س + 60 = 180

قسمة كلا العضوين على 6 لدينا:

س + 10 = 30

مما يلي أن x تساوي 20º.

بمعنى آخر ، الزاوية أ = -2 * 20 + 90 = 50 درجة. بينما الزاوية ب = 8 * 20-30 = 130 درجة.

- التمرين الثالث

حدد قيم الزاويتين أ وب من الجزء الثالث) بالشكل 3 (باللون الأخضر).

المحلول

بما أن A و B زاويتان مكملتان ، فإن أ + ب = 180 درجة. يجب أن نعوض بالتعبير عن A و B كدالة في x المعطى في الشكل 3 ، ومنه:

(5 س - 20) + (7 س + 80) = 180

١٢ × + ٦٠ = ١٨٠

بقسمة كلا العضوين على 12 لإيجاد قيمة x ، لدينا:

س + 5 = 15

أخيرًا ، وجد أن x يساوي 10 درجات.

ننتقل الآن إلى التعويض لإيجاد الزاوية A: A = 5 * 10 -20 = 30º. وللزاوية ب: ب = 7 * 10 + 80 = 150 درجة

الزوايا التكميلية في اثنين من المتوازيات مقطوعة بواسطة قاطع

الشكل 4. الزوايا بين اثنين من المتوازيات قطعها قاطع. المصدر: F. Zapata.

خطان متوازيان مقطوعان بواسطة قاطع هو بناء هندسي شائع في بعض المشاكل. بين هذه الخطوط ، يتم تشكيل 8 زوايا كما هو موضح في الشكل 4.

من بين تلك الزوايا الثمانية ، تعد بعض أزواج الزوايا مكملة ، والتي نوردها أدناه:

1. الزاويتان الخارجيتان A و B والزاويتان الخارجيتان G و H.
2. الزاويتان الداخليتان D و C والزاويتان الداخليتان E و F
3. الزاويتان الخارجيتان A و G والزاويتان الخارجيتان B و H.
4. الزاويتان الداخليتان D و E ، والزوايا الداخلية C و F

من أجل الاكتمال ، يتم أيضًا تسمية الزوايا المتساوية مع بعضها البعض:

1. البدائل الداخلية: D = F و C = E.
2. البدائل الخارجية: A = H و B = G
3. المقابلين: A = E و C = H.
4. الأضداد عند الرأس A = C و E = H
5. المقابلين: B = F و D = G
6. يتناقض الرأس B = D و F = G

- التمرين الرابع

بالإشارة إلى الشكل 4 ، الذي يوضح الزوايا بين خطين متوازيين مقطوعين بواسطة قاطع ، حدد قيمة جميع الزوايا بالراديان ، مع العلم أن الزاوية A = π / 6 راديان.

المحلول

A و B زاويتان خارجيتان مكملتان لذلك B = π - A = π - π / 6 = 5π / 6

أ = E = C = H = π / 6

B = F = D = G = 5π / 6

المراجع

1. Baldor، JA 1973. الطائرة وهندسة الفضاء. ثقافة أمريكا الوسطى.
2. القوانين والصيغ الرياضية. أنظمة قياس الزوايا. تم الاسترجاع من: ingemecanica.com.
3. وينتورث ، جي هندسة الطائرة. تم الاسترجاع من: gutenberg.org.
4. ويكيبيديا. زوايا التكميلية. تم الاسترجاع من: es.wikipedia.com
5. ويكيبيديا. ناقل. تم الاسترجاع من: es.wikipedia.com
6. Zapata F. Goniómetro: التاريخ ، الأجزاء ، العملية. تم الاسترجاع من: lifeder.com