ORTHOHEDRON: الصيغ ، والمساحة ، والحجم ، والقطري ، والأمثلة - رياضيات - 2025

و orthohedron هو الحجمي أو شكل هندسي ثلاثي الأبعاد التي تتميز من خلال وجود ستة وجوه مستطيلة، بحيث وجوه العكس هي في الطائرات الموازية وهي مستطيلات متطابقة أو متطابقة. من ناحية أخرى ، فإن الوجوه المجاورة لوجه معين تكون في مستويات متعامدة مع الوجه الأولي.

يمكن أيضًا اعتبار المجسم المتعامد موشورًا متعامدًا بقاعدة مستطيلة ، حيث تكون الزوايا ثنائية الوجوه التي تشكلت بواسطة مستويات وجهين متجاورين مع حافة مشتركة قياس 90 درجة. يتم قياس الزاوية ثنائية الوجوه بين وجهين عند تقاطع الوجوه مع مستوى عمودي مشترك بينهما.

الشكل 1. الشكل 1. Orthohedron. المصدر: F. Zapata مع Geogebra.

وبالمثل ، فإن ortohedron هو مستطيل متوازي السطوح ، لأن هذه هي الطريقة التي يتم بها تعريف خط الموازي على أنه الشكل الحجمي لستة أوجه ، والتي تكون متوازية اثنين في اثنين.

في أي خط متوازي ، تكون الوجوه متوازية الأضلاع ، ولكن في المستطيل المتوازي ، يجب أن تكون الوجوه مستطيلة.

أجزاء من ortohedron

أجزاء المجسم متعدد السطوح ، مثل المجسم ، هي:

-أريستاس

-الرؤوس

- الوجوه

تتطابق الزاوية بين حافتين لوجه واحد من المجسم مع الزاوية ثنائية السطوح التي شكلتها وجهان آخران متجاوران مع كل من الحواف ، وتشكل الزاوية اليمنى. توضح الصورة التالية كل مفهوم:

الشكل 2. أجزاء من ortohedron. المصدر: F. Zapata مع Geogebra.

- في المجموع ، يحتوي المجسم على 6 وجوه و 12 حافة و 8 رؤوس.

- الزاوية بين أي حافتين هي الزاوية القائمة.

- الزاوية ثنائية الأضلاع بين أي وجهين صحيحة أيضًا.

- في كل وجه أربعة رؤوس وفي كل رأس ثلاثة وجوه متعامدة بشكل متبادل.

صيغ Orthohedron

منطقة

سطح أو مساحة المجسم هو مجموع مساحات وجوهها.

إذا كانت الحواف الثلاثة التي تلتقي عند الرأس لها أبعاد أ ، ب ، ج ، كما هو موضح في الشكل 3 ، فإن الوجه الأمامي به مساحة c⋅b والوجه السفلي أيضًا به مساحة c⋅b.

ثم يكون للوجهين الجانبيين مساحة a⋅b لكل منهما. وأخيرًا ، تحتوي الوجوه الأرضية والسقف على مساحة لكل منهما.

الشكل 3. مجسمات الأبعاد أ ، ب ، ج. قطري داخلي D وقطري خارجي د.

إضافة مساحة كل الوجوه يعطي:

أخذ العامل المشترك وترتيب الشروط:

الصوت

إذا كان يُنظر إلى ortohedron على أنه منشور ، فسيتم حساب حجمه على النحو التالي:

في هذه الحالة ، تُؤخذ الأرضية ذات الأبعاد c و a كقاعدة مستطيلة ، وبالتالي فإن مساحة القاعدة هي c⋅a.

يُعطى الارتفاع بالطول ب للحواف المتعامدة لوجوه الجانبين أ وج.

ضرب مساحة القاعدة (a⋅c) في الارتفاع b يعطي الحجم V من ortohedron:

قطري داخلي

يوجد في المجسم نوعان من الأقطار: الأقطار الخارجية والأقطار الداخلية.

توجد الأقطار الخارجية على الوجوه المستطيلة ، بينما الأقطار الداخلية هي الأجزاء التي تربط رأسين متقابلين ، يتم فهمها من خلال الرؤوس المتقابلة تلك التي لا تشترك في أي حافة.

يوجد في المجسم أربعة أقطار داخلية ، كلها متساوية في القياس. يمكن الحصول على أطوال الأقطار الداخلية بتطبيق نظرية فيثاغورس للمثلثات القائمة.

يفي الطول d للقطر الخارجي لوجه الأرضية للأرضية بعلاقة فيثاغورس:

د ² = أ ² + ص ²

وبالمثل ، فإن القطر الداخلي للمقياس D يحقق علاقة فيثاغورس:

د ² = د ² + ب ².

الجمع بين التعبيرين السابقين لدينا:

د ² = أ ² + ص ² + ب ².

أخيرًا ، يتم إعطاء طول أي من الأقطار الداخلية لجسم تقويم العظام بالصيغة التالية:

د = √ (أ ² + ب ² + ج ²).

أمثلة

- مثال 1

يبني عامل البناء خزانًا على شكل مجسم متعامد أبعاده الداخلية: 6 م × 4 م في القاعدة و 2 م في الارتفاع. يسأل:

أ) تحديد السطح الداخلي للخزان إذا كان مفتوحًا بالكامل من الأعلى.

ب) احسب حجم المساحة الداخلية للخزان.

ج) أوجد طول القطر الداخلي.

د) ما هي سعة الخزان باللترات؟

الاجابه على

سنأخذ أبعاد القاعدة المستطيلة أ = 4 م وج = 6 م والارتفاع ب = 2 م

تُعطى مساحة المجسم ذي الأبعاد المعطاة بالعلاقة التالية:

A = 2⋅ (a⋅b + b⋅c + ca) = 2⋅ (4 م 2 م + 2 م 6 م + 6 م 4 م)

ذلك بالقول:

أ = 2⋅ (8 م ² + 12 م ² + 24 م ²) = 2⋅ (44 م ²) = 88 م ²

النتيجة السابقة هي مساحة المجسم المغلق بالأبعاد المحددة ، ولكن نظرًا لأنه خزان مكشوف تمامًا في الجزء العلوي منه ، للحصول على سطح الجدران الداخلية للخزان ، يجب طرح مساحة الغطاء المفقود ، وهي:

ج⋅أ = 6 م ⋅ 4 م = 24 م ².

أخيرًا السطح الداخلي للخزان سيكون: S = 88 م ² - 24 م ² = 64 م ².

الحل ب

يتم تحديد الحجم الداخلي للخزان من خلال حجم مجسم الأبعاد للأبعاد الداخلية للخزان:

V = a⋅b⋅c = 4 م ⋅ 2 م ⋅ 6 م = 48 م ³.

الحل ج

القطر الداخلي لمجسم ثماني السطوح مع أبعاد الجزء الداخلي للخزان له طول D مُعطى بواسطة:

√ (أ ² + ب ² + ص ²) = √ ((4 م) ² + (2 م) ² + (6 م) ²)

إجراء العمليات المشار إليها لدينا:

د = √ (16 م ² + 4 م ² + 36 م ²) = √ (56 م ²) = 2√ (14) م = 7.48 م.

الحل د

لحساب سعة الخزان باللترات ، من الضروري معرفة أن حجم الديسيمتر المكعب يساوي سعة اللتر. سبق أن تم حسابه من حيث الحجم بالأمتار المكعبة ، ولكن يجب تحويله إلى ديسيمتر مكعب ثم إلى لترات:

ع = 48 م ³ = 48 (10 دسم) ³ = 4800 دسم ³ = 4800 لتر

- تمرين 2

حوض زجاجي له شكل مكعب بضلع 25 سم. حدد المساحة بالمتر ² والحجم باللتر وطول القطر الداخلي بالسنتيمتر.

الشكل 4. حوض زجاجي على شكل مكعب.

المحلول

يتم حساب المنطقة باستخدام نفس صيغة المجسمات العديدة ، ولكن مع الأخذ في الاعتبار أن جميع الأبعاد متطابقة:

أ = 2⋅ (3 أ⋅أ) = 6⋅ أ ² = 6⋅ (25 سم) ² = 1250 سم ²

يتم تحديد حجم المكعب من خلال:

الخامس = أ ³ = (25 سم) ³ = 15.625 سم ³ = 15.625 (0.1 دسم) ³ = 15.625 دسم ³ = 15.625 لتر.

طول القطر الداخلي D هو:

D = √ (3a ²) = 25√ (3) سم = 43.30 سم.

المراجع

1. آرياس ج. جيو جبرا: بريزما. تم الاسترجاع من: youtube.com.
2. Calculation.cc. تمارين وحل مشاكل مساحات وأحجام. تم الاسترجاع من: calculo.cc.
3. هرم سلفادور ر. + مجسم مجسم مع GEOGEBRA (IHM). تم الاسترجاع من: youtube.com
4. وايسشتاين ، إريك. "Orthohedron". ماثوورلد. أبحاث ولفرام.
5. ويكيبيديا. أورثوهيدرون تم الاسترجاع من: es.wikipedia.com