في الرياضيات المنفصلة تتوافق مع مساحة الرياضيات هي المسؤولة عن دراسة مجموعة من الأرقام الطبيعية؛ أي مجموعة من الأرقام المحدودة واللانهائية القابلة للعد حيث يمكن عد العناصر بشكل منفصل ، واحدًا تلو الآخر.

تُعرف هذه المجموعات بالمجموعات المنفصلة ؛ من أمثلة هذه المجموعات الأعداد الصحيحة أو الرسوم البيانية أو التعبيرات المنطقية ، ويتم تطبيقها في مجالات مختلفة من العلوم ، خاصة في علوم الكمبيوتر أو الحوسبة.

وصف

في الرياضيات المنفصلة ، تكون العمليات قابلة للعد ، وهي تستند إلى أعداد صحيحة. هذا يعني أنه لا يتم استخدام الأرقام العشرية ، وبالتالي لا يتم استخدام التقريب أو الحدود ، كما هو الحال في المناطق الأخرى. على سبيل المثال ، يمكن أن يساوي المجهول 5 أو 6 ، لكن ليس 4.99 أو 5.9.

من ناحية أخرى ، في التمثيل البياني ، ستكون المتغيرات منفصلة ويتم تقديمها من مجموعة محدودة من النقاط ، والتي يتم حسابها واحدة تلو الأخرى ، كما هو موضح في الصورة:

تنشأ الرياضيات المتقطعة من الحاجة إلى الحصول على دراسة دقيقة يمكن دمجها واختبارها ، من أجل تطبيقها في مجالات مختلفة.

ما هي الرياضيات المتقطعة؟

تستخدم الرياضيات المنفصلة في مجالات متعددة. من بين أهمها ما يلي:

اندماجي

ادرس المجموعات المحدودة حيث يمكن ترتيب العناصر أو دمجها وحسابها.

نظرية التوزيع المنفصل

يدرس الأحداث التي تحدث في المساحات حيث يمكن عد العينات ، حيث يتم استخدام التوزيعات المستمرة لتقريب التوزيعات المنفصلة ، أو العكس.

نظرية المعلومات

يشير إلى تشفير المعلومات المستخدمة في تصميم ونقل وتخزين البيانات ، مثل الإشارات التناظرية.

الحوسبة

من خلال الرياضيات المنفصلة ، يتم حل المشكلات باستخدام الخوارزميات ، وكذلك ما يمكن حسابه والوقت الذي يستغرقه القيام بذلك (التعقيد).

ازدادت أهمية الرياضيات المنفصلة في هذا المجال في العقود الأخيرة ، لا سيما لتطوير لغات البرمجة والبرمجيات.

التشفير

يعتمد على الرياضيات المنفصلة لإنشاء هياكل أمنية أو طرق تشفير. مثال على هذا التطبيق هو كلمات المرور ، وإرسال وحدات بت تحتوي على معلومات بشكل منفصل.

من خلال دراسة خصائص الأعداد الصحيحة والأعداد الأولية (نظرية الأرقام) يمكن إنشاء طرق الأمان هذه أو إتلافها.

منطق

تُستخدم الهياكل المنفصلة ، التي تشكل عمومًا مجموعة محدودة ، من أجل إثبات النظريات أو ، على سبيل المثال ، التحقق من البرامج.

نظرية الرسم البياني

يتيح حل المشكلات المنطقية ، باستخدام العقد والخطوط التي تشكل نوعًا من الرسم البياني ، كما هو موضح في الصورة التالية:

توجد في الرياضيات مجموعات مختلفة تجمع أرقامًا معينة وفقًا لخصائصها. وهكذا ، على سبيل المثال ، لدينا:

- مجموعة الأعداد الطبيعية N = {0 ، 1 ، 2 ، 3 ، 4 ، 5 ، 6 ،… + ∞}.

- مجموعة الأعداد الصحيحة E = {-… ، -3 ، -2 ، -1 ، 0 ، 1 ، 2 ، 3 ،… + ∞}.

- مجموعة فرعية من الأعداد المنطقية Q * = {-…، - ¼، - ½، 0، ¼، ½،… ∞}.

- مجموعة من الأعداد الحقيقية R = {-…، - ½، -1، 0، ½، 1،… ∞}.

تتم تسمية المجموعات بأحرف كبيرة من الأبجدية ؛ بينما يتم تسمية العناصر بأحرف صغيرة ، داخل الأقواس ({}) ومفصولة بفواصل (،). يتم تمثيلهم بشكل عام في الرسوم البيانية مثل Venn و Caroll ، وكذلك من الناحية الحسابية.

مع العمليات الأساسية مثل الاتحاد والتقاطع والتكملة والاختلاف والمنتج الديكارت ، يتم التعامل مع المجموعات وعناصرها ، بناءً على علاقة العضوية.

هناك عدة أنواع من المجموعات ، أكثرها درسًا في الرياضيات المنفصلة هي التالية:

مجموعة محدودة

إنه واحد يحتوي على عدد محدود من العناصر ويتوافق مع عدد طبيعي. لذلك ، على سبيل المثال ، A = {1، 2، 3،4} هي مجموعة محدودة بها 4 عناصر.

مجموعة محاسبة لانهائية

إنه عنصر يوجد فيه تطابق بين عناصر المجموعة والأرقام الطبيعية ؛ وهذا يعني أنه من عنصر واحد يمكن سرد جميع عناصر المجموعة على التوالي.

بهذه الطريقة ، سيتوافق كل عنصر مع كل عنصر من عناصر مجموعة الأعداد الطبيعية. فمثلا:

يمكن إدراج مجموعة الأعداد الصحيحة Z = {… -2 ، -1 ، 0 ، 1 ، 2…} على النحو التالي Z = {0 ، 1 ، -1 ، 2 ، -2…}. وبهذه الطريقة يمكن إجراء تطابق واحد لواحد بين عناصر Z والأرقام الطبيعية ، كما يتضح في الصورة التالية: