الأعداد الصحيحة: الخصائص والأمثلة والتمارين - رياضيات - 2025

على الأعداد الصحيحة هي مجموعة من الأرقام مفيدة لحساب كائنات يملكون كامل ولم تفعل ذلك. أيضا لحساب أولئك الذين هم في جانب ومن ناحية أخرى من مكان مرجعي معين.

أيضًا باستخدام الأعداد الصحيحة ، يمكنك إجراء عملية الطرح أو الاختلاف بين رقم وآخر أكبر منه ، حيث تتم تسوية النتيجة كدين ، على سبيل المثال. يتم التمييز بين الأرباح والديون بعلامة + و- على التوالي.

الشكل 1. خط الأعداد للأعداد الصحيحة. المصدر: ويكيميديا ​​كومنز. Leomg / CC BY-SA (https://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0).

لذلك ، فإن مجموعة الأعداد الصحيحة تشمل ما يلي:

- الأعداد الصحيحة الموجبة ، وهي مكتوبة مسبوقة بعلامة + ، أو ببساطة بدون علامة ، حيث يُفهم أيضًا أنها موجبة. على سبيل المثال: +1 ، +2 ، + 3… وهكذا.

-الصفر ، حيث تكون العلامة غير ذات صلة ، حيث لا يهم إضافتها لطرحها من بعض الكمية. لكن الرقم 0 مهم جدًا ، لأنه المرجع للأعداد الصحيحة: من جانب الإيجابيات والآخر السلبيات ، كما نرى في الشكل 1.

- الأعداد الصحيحة السالبة التي يجب كتابتها دائمًا مسبوقة بعلامة - حيث يتم تمييز المبالغ مثل الديون وجميع تلك الموجودة على الجانب الآخر من المرجع. أمثلة على الأعداد الصحيحة السالبة هي: -1 ، -2 ، -3… وما بعدها.

كيف يتم تمثيل الأعداد الصحيحة؟

في البداية ، نمثل الأعداد الصحيحة بترميز المجموعة: Z = {… -4 ، -3 ، -2 ، -1 ، 0 ، +1 ، +2 ، +3 ، + 4…} ، أي القوائم و منظم. لكن التمثيل المفيد للغاية هو الذي يستخدمه خط الأعداد. يتطلب هذا رسم خط أفقي بشكل عام ، يتم تمييز 0 عليه وتنقسم إلى أقسام متطابقة:

الشكل 2. تمثيل الأعداد الصحيحة على خط الأعداد. من 0 إلى اليمين الأعداد الصحيحة الموجبة ومن 0 إلى اليسار الأعداد السالبة. المصدر: F. Zapata.

تنتقل السلبيات إلى يسار 0 وتنتقل الإيجابيات إلى اليمين. الأسهم على خط الأعداد ترمز إلى أن الأرقام تذهب إلى ما لا نهاية. بالنظر إلى أي عدد صحيح ، من الممكن دائمًا العثور على واحد أكبر أو آخر أصغر.

القيمة المطلقة لعدد صحيح

القيمة المطلقة لعدد صحيح هي المسافة بين الرقم و 0. والمسافات دائمًا موجبة. لذلك فإن القيمة المطلقة للعدد الصحيح السالب هي الرقم بدون علامة الطرح الخاصة به.

على سبيل المثال ، القيمة المطلقة لـ -5 هي 5. يتم الإشارة إلى القيمة المطلقة بالأشرطة ، على النحو التالي:

--5- = 5

لتصور ذلك ، ما عليك سوى حساب المسافات على خط الأعداد ، من -5 إلى 0. بينما القيمة المطلقة لعدد صحيح موجب هي نفس الرقم ، على سبيل المثال - + 3- = 3 ، نظرًا لأن المسافة من 0 هي مع 3 مسافات:

الشكل 3. القيمة المطلقة لعدد صحيح هي دائمًا كمية موجبة. المصدر: F. Zapata.

الخصائص

-مجموعة الأعداد الصحيحة يُرمز إليها بالرمز Z وتتضمن مجموعة الأعداد الطبيعية N ، عناصرها لا نهائية.

-العدد الصحيح والرقم الذي يليه (أو الذي يسبقه) دائمًا ما يتم تمييزهما في الوحدة. على سبيل المثال ، بعد 5 تأتي 6 ، حيث يمثل 1 الفرق بينهما.

- لكل عدد صحيح سلف وخلف.

- أي عدد صحيح موجب أكبر من 0.

-العدد الصحيح السالب يكون دائمًا أقل من 0 وأي رقم موجب. خذ على سبيل المثال الرقم -100 ، وهذا أقل من 2 ، وأقل من 10 وأكثر من 50. ولكنه أيضًا أقل من -10 و -20 و -99 وهو أكبر من -200.

-ليس للصفر اعتبارات إشارة ، لأنه ليس سلبيًا ولا إيجابيًا.

- باستخدام الأعداد الصحيحة ، يمكنك تنفيذ نفس العمليات التي تتم باستخدام الأعداد الطبيعية ، وهي: الجمع والطرح والضرب والتمكين والمزيد.

- العدد الصحيح المقابل لعدد صحيح معين x هو –x ومجموع عدد صحيح مع عكسه هو 0:

س + (-x) = 0.

العمليات مع الأعداد الصحيحة

- مجموع

-إذا كانت الأرقام المراد إضافتها لها نفس العلامة ، يتم إضافة قيمها المطلقة ويتم وضع النتيجة مع الإشارة إلى أن الإضافات لديها. وهنا بعض الأمثلة:

أ) (+8) + (+9) = 8 + 9 = +17

ب) (-12) + (- 10) = - (12 + 10) = -22

-إذا كانت الأرقام من علامة مختلفة ، يتم طرح القيم المطلقة (الأعلى من الأدنى) وتوضع النتيجة مع علامة الرقم بأعلى قيمة مطلقة ، كما يلي:

أ) (-8) + (21) = 21-8 = 13

ب) (-9) + (+4) = - (9-4) = -5

خصائص مجموع الأعداد الصحيحة

-المبلغ تبادلي ، وبالتالي فإن ترتيب الإضافات لا يغير المجموع. لنفترض أن a و b رقمان صحيحان ، فمن الصحيح أن أ + ب = ب + أ

-الصفر هو العنصر المحايد لمجموع الأعداد الصحيحة: أ + 0 = أ

- أي عدد صحيح يضاف إلى نقيضه هو 0. عكس + a هو –a ، والعكس بالعكس –a هو + a. لذلك: (+ أ) + (-a) = 0.

الشكل 2. قاعدة الإشارات لجمع الأعداد الصحيحة. المصدر: ويكيميديا ​​كومنز.

- الطرح

لطرح الأعداد الصحيحة ، يجب أن يسترشد المرء بهذه القاعدة: الطرح يعادل إضافة رقم مع نقيضه. لنفترض أن a و b رقمان ، ثم:

أ - ب = أ + (-ب)

على سبيل المثال ، افترض أنك بحاجة إلى القيام بالعملية التالية: (-3) - (+7) ، ثم:

(-3) - (+7) = (-3) + (-7) = - (3 + 7) = -10

- عمليه الضرب

يتبع ضرب الأعداد الصحيحة قواعد معينة للإشارات:

-حاصل ضرب عددين لهما نفس العلامة يكون دائمًا موجبًا.

-عند ضرب رقمين بعلامات مختلفة تكون النتيجة سالبة دائمًا.

- قيمة المنتج تساوي ضرب القيم المطلقة ذات الصلة.

على الفور بعض الأمثلة التي توضح ما سبق:

(-5) × (+8) = - 5 × 8 = -40

(-10) × (-12) = 10 × 12 = 120

(+4) × (+32) = 4 × 32 = 128

خصائص ضرب الأعداد الصحيحة

- الضرب تبادلي. لنفترض أن a و b رقمان صحيحان ، فمن الصحيح أن: ab = ba ، والتي يمكن التعبير عنها أيضًا على النحو التالي:

-العنصر المحايد في الضرب هو 1. لنفترض أن a عددًا صحيحًا ، وبالتالي فإن a.1 = 1

- أي عدد صحيح مضروب في 0 يساوي 0: a.0 = 0

خاصية التوزيع

يتوافق الضرب مع خاصية التوزيع فيما يتعلق بالإضافة. إذا كانت a و b و c أعدادًا صحيحة:

أ (ب + ج) = أب + ج

فيما يلي مثال على كيفية تطبيق هذه الخاصية:

(-3). = (-3). (- 4) + (- 3).11 = 12-33 = 12 + (-33) = -21

التمكين

-إذا كانت القاعدة موجبة ، تكون نتيجة العملية إيجابية دائمًا.

- عندما يكون الأساس سالبًا ، وإذا كان الأس زوجيًا ، تكون النتيجة موجبة. وإذا كان الأس فرديًا ، تكون النتيجة سالبة.

- قطاع

تطبق نفس قواعد الإشارة في القسمة كما في الضرب:

-عند قسمة عددين كاملين من نفس العلامة ، تكون النتيجة موجبة دائمًا.

- عند قسمة عددين صحيحين بعلامات مختلفة ، يكون حاصل القسمة سالبًا.

فمثلا:

(-12) ÷ (-4) = 3

33 ÷ (-3) = -11

هام: القسمة ليست تبادلية ، بمعنى آخر a ÷ b ≠ b a وكما هو الحال دائمًا ، القسمة على 0 غير مسموح بها.

- التمكين

لنفترض أن a عددًا صحيحًا ونريد رفعه إلى الأس n ، ثم علينا ضرب a في نفسه n مرة ، كما هو موضح أدناه:

أ ^ن = أأا…… أ

ضع في اعتبارك أيضًا ما يلي ، مع الأخذ في الاعتبار أن n عدد طبيعي:

-إذا كانت a سالبة و n زوجية ، تكون النتيجة موجبة.

- عندما تكون a سالبة و n فردية ، ينتج عنها رقم سالب.

-إذا كانت a موجبة و n زوجية أو فردية ، ينتج دائمًا عدد صحيح موجب.

- أي عدد صحيح مرفوع إلى 0 يساوي 1: a ⁰ = 1

- أي رقم مرفوع إلى 1 يساوي الرقم: أ ¹ = أ

لنفترض على سبيل المثال أننا نريد إيجاد (-3) ⁴ ، للقيام بذلك نضرب (-3) أربع مرات في نفسه ، مثل هذا: (-3). (- 3). (- 3). (- 3) = 81.

مثال آخر ، مع عدد صحيح سالب أيضًا ، هو:

(-2) ³ = (-2). (- 2). (- 2) = -8

ناتج قوى متساوية القاعدة

لنفترض أن قوتين متساويتين في الأساس ، إذا ضربناهما نحصل على قوة أخرى بنفس القاعدة ، التي يكون الأس هو مجموع الأس المعينين:

أ ^ن أ ^م = أ ^{ن + م}

حاصل قسمة القوى الأساسية

عند قسمة قوى القاعدة المتساوية ، تكون النتيجة قوة لها نفس القاعدة ، والتي يكون أسها هو طرح الأسس المعينين:

أ ^ن ÷ أ ^م = أ ^{ن - م}

فيما يلي مثالان يوضحان هذه النقاط:

(-2) ^3. (- 2) ⁵ = (-2) ^{3 + 5} = (-2) ⁸

5 ⁶ ÷ 5 ⁴ = 5 ^6-4 = 5 ²

أمثلة

دعونا نرى أمثلة بسيطة لتطبيق هذه القواعد ، مع تذكر أنه في حالة الأعداد الصحيحة الموجبة ، يمكن الاستغناء عن العلامة:

أ) (+6) + (+14) = 6 + 14 = 20

ب) (-8) + (- 10) = - (8 + 10) = -18

ج) (-16) + (+7) = - 16 + 7 = -9

د) (+4) + (-8) + (-25) = + (-25) = -25 = -4 -25 = -29

هـ) (-8) - (+15) = (-8) + (-15) = -8-15 = -23

و) (+3) × (+9) = 3 × 9 = 27

ز) (- 4) × (-11) = 4 × 11 = 44

ح) (+5) × (-12) = - 5 × 12 = -60

ط) (-2) ³ = (-2) × (-2) × (-2) = - 8

تمارين محلولة

- التمرين 1

تتحرك نملة على طول خط الأعداد في الشكل 1. بدءًا من النقطة x = +3 ، تقوم بالحركات التالية:

- ينقل 7 وحدات إلى اليمين

- الآن تقوم بإرجاع 5 وحدات إلى اليسار

- المشي 3 وحدات أخرى إلى اليسار.

- يعود ويتحرك 4 وحدات إلى اليمين.

في أي نقطة تكون النملة في نهاية الجولة؟

المحلول

دعنا نسمي الإزاحة د. عندما يكونون على اليمين يتم إعطاؤهم إشارة إيجابية وعندما يكونون على اليسار إشارة سلبية. بهذه الطريقة ، بدءًا من x = +3 لدينا:

- أول د: × ₁ = +3 + 7 = +10

-الثانية د: س ₂ = +10 + (-5) = +5

-الثالث د: x ₃ = +5 + (-3) = +2

- الغرفة د: × ₄ = +2 + 4 = +6

عندما تنتهي النملة من سيرها تكون في الوضع x = +6. أي أنه على يمين 6 وحدات على خط الأعداد.

- تمرين 2

حل العملية التالية:

{36 +}. {- + 2 (-8 + 6)]}

المحلول

تحتوي هذه العملية على علامات التجميع ، وهي أقواس وأقواس مربعة وأقواس. عند الحل ، عليك الاهتمام بالأقواس أولاً ، ثم الأقواس ، وأخيرًا الأقواس. بمعنى آخر ، عليك العمل من الداخل إلى الخارج.

في هذا التمرين ، تمثل النقطة عملية الضرب ، ولكن إذا لم يكن هناك نقطة بين رقم وقوس أو رمز آخر ، فمن المفهوم أيضًا أنها منتج.

أسفل الدقة خطوة بخطوة ، تعمل الألوان كدليل لمتابعة نتيجة تقليل الأقواس ، وهي رموز التجميع الأعمق:

{36 +}. {- + 2 (-8 + 6)]} =

= {36 +}. {- + 2 (-2)]} =

= {36 +}. {- 4]} =

= {52}. {1- 4]} = {52}. {- 3} = -156

- التمرين 3

حل معادلة الدرجة الأولى:

12 + س = 30 + 3 س

المحلول

يتم تجميع المصطلحات مع المجهول إلى يسار المساواة ، والمصطلحات العددية إلى اليمين:

س - 3 س = 30-12

- 2 س = 18

س = 18 / (-2)

س = - 9

المراجع

1. Carena، M. 2019. دليل الرياضيات لما قبل الجامعة. جامعة ليتورال الوطنية.
2. Figuera، J. 2000. رياضيات الصف السابع. إصدارات CO-BO.
3. هوفمان ، ج. 2005. اختيار موضوعات الرياضيات. منشورات مونفورت.
4. Jiménez، R. 2008. الجبر. برنتيس هول.
5. الأعداد الصحيحة. تم الاسترجاع من: Cimanet.uoc.edu.