الأعداد الحقيقية: التاريخ ، الأمثلة ، الخصائص ، العمليات - رياضيات - 2025

على الأعداد الحقيقية تشكل مجموعة العددي الذي يتضمن الأعداد الطبيعية والصحيحة، وعقلانية وغير منطقية. يُشار إليها بالرمز ℝ أو ببساطة R ونطاقها في العلوم والهندسة والاقتصاد يكون لدرجة أنه عند الحديث عن "الرقم" ، يُعتبر تقريبًا أنه رقم حقيقي.

تم استخدام الأرقام الحقيقية منذ العصور القديمة ، على الرغم من عدم تسميتها بهذا الاسم. من الوقت الذي طور فيه فيثاغورس نظريته الشهيرة ، ظهرت الأرقام التي لا يمكن الحصول عليها كحاصل على أعداد طبيعية أو أعداد صحيحة.

الشكل 1. مخطط فين يوضح كيف تحتوي مجموعة الأعداد الحقيقية على مجموعات الأرقام الأخرى. المصدر> ويكيميديا ​​كومنز.

أمثلة على الأرقام هي √2 و √3 و. تسمى هذه الأرقام غير منطقية ، على عكس الأرقام المنطقية ، والتي تأتي من حاصل الأعداد الصحيحة. لذلك كان من الضروري وجود مجموعة عددية تشمل كلا فئتي الأرقام.

تم إنشاء مصطلح "العدد الحقيقي" بواسطة عالم الرياضيات العظيم رينيه ديكارت (1596-1650) ، للتمييز بين نوعي الجذور التي يمكن أن تنشأ عن حل معادلة متعددة الحدود.

بعض هذه الجذور يمكن أن تكون حتى جذورًا لأرقام سالبة ، وقد أطلق ديكارت على هذه "الأعداد التخيلية" وتلك التي لم تكن كذلك ، كانت أرقامًا حقيقية.

استمرت التسمية بمرور الوقت ، مما أدى إلى ظهور مجموعتين عدديتين كبيرتين: الأعداد الحقيقية والأرقام المركبة ، وهي مجموعة أكبر تتضمن الأعداد الحقيقية والأرقام التخيلية وتلك التي هي جزء حقيقي وجزء وهمي.

استمر تطور الأعداد الحقيقية في مساره حتى عام 1872 ، قام عالم الرياضيات ريتشارد ديديكيند (1831-1936) بتحديد مجموعة الأعداد الحقيقية رسميًا من خلال ما يسمى بقطع ديديكيند. تم نشر توليف عمله في مقال ألقى الضوء في نفس العام.

أمثلة على الأرقام الحقيقية

يوضح الجدول أدناه أمثلة على الأرقام الحقيقية. تحتوي هذه المجموعة على مجموعات فرعية من الأعداد الطبيعية والأعداد الصحيحة والعقلانية وغير المنطقية. أي عدد من هذه المجموعات هو ، في حد ذاته ، عدد حقيقي.

لذلك ، 0 ، السلبيات والإيجابيات والكسور والأرقام العشرية هي أرقام حقيقية.

الشكل 2. أمثلة الأعداد الحقيقية طبيعية ، وعدد صحيح ، وعقلاني ، وغير منطقي ، ومتعالي. المصدر: F. Zapata.

تمثيل الأعداد الحقيقية على الخط الحقيقي

يمكن تمثيل الأرقام الحقيقية على الخط الحقيقي R ، كما هو موضح في الشكل. ليس من الضروري أن يكون الصفر موجودًا دائمًا ، ولكن من الملائم معرفة أن الواقعات السلبية على اليسار والإيجابية على اليمين. هذا هو السبب في أنها نقطة مرجعية ممتازة.

على الخط الحقيقي ، يتم أخذ مقياس ، حيث توجد الأعداد الصحيحة:… 3 ، -2 ، -1 ، 1 ، 2 ، 3…. يشير السهم إلى أن الخط يمتد إلى ما لا نهاية. لكن هذا ليس كل شيء ، في أي فترة مدروسة ، سنجد دائمًا أيضًا أعدادًا حقيقية غير محدودة.

يتم تمثيل الأرقام الحقيقية بالترتيب. بادئ ذي بدء ، هناك ترتيب الأعداد الصحيحة ، حيث تكون الإيجابيات دائمًا أكبر من 0 ، بينما السلبيات أقل.

يتم الاحتفاظ بهذا الترتيب ضمن الأعداد الحقيقية. يتم عرض التفاوتات التالية كمثال:

أ) -1/2 <2

ب) ه <

ج) π> -1/2

الشكل 3.- الخط الحقيقي. المصدر: ويكيميديا ​​كومنز.

خصائص الأعداد الحقيقية

-تتضمن الأعداد الحقيقية الأعداد الطبيعية والأعداد الصحيحة والأرقام المنطقية والأرقام غير المنطقية.

- تحققت الخاصية التبادلية للإضافة: ترتيب الإضافات لا يغير المجموع. إذا كان a و b رقمين حقيقيين ، فمن الصحيح دائمًا ما يلي:

أ + ب = ب + أ

- 0 هو العنصر المحايد في المجموع: أ + 0 = أ

- بالنسبة للمبلغ الذي تم استيفاء الممتلكات الترابطية. إذا كانت أ ، ب ، ج أرقام حقيقية: (أ + ب) + ج = أ + (ب + ج).

-عكس الرقم الحقيقي هو -a.

-يتم تعريف الطرح على أنه مجموع المقابل: أ - ب = أ + (-ب).

- تحققت الخاصية التبادلية للمنتج: ترتيب العوامل لا يغير المنتج: ab = ba

- في المنتج يتم تطبيق الخاصية الترابطية أيضًا: (ab).c = a. (Bc)

- 1 هو العنصر المحايد في الضرب: a.1 = a

- تصح خاصية التوزيع في الضرب فيما يتعلق بالإضافة: أ. (ب + ج) = أب + ج

- لم يتم تعريف القسمة على 0.

- أي رقم حقيقي أ ، باستثناء 0 ، له مقلوب ضربي ^-1 بحيث أن aa ^-1 = 1.

- إذا كان a رقمًا حقيقيًا: a ⁰ = 1 و a ¹ = a.

- القيمة المطلقة أو المعامل للرقم الحقيقي هي المسافة بين الرقم المذكور و 0.

عمليات بأرقام حقيقية

باستخدام الأرقام الحقيقية ، يمكنك إجراء العمليات التي تتم باستخدام مجموعات الأرقام الأخرى ، بما في ذلك الجمع والطرح والضرب والقسمة والتمكين والإشعاع واللوغاريتمات والمزيد.

كما هو الحال دائمًا ، لم يتم تعريف القسمة على 0 ، ولا اللوغاريتمات السالبة للأرقام ولا 0 ، على الرغم من أنه من الصحيح أن السجل 1 = 0 وأن لوغاريتمات الأرقام بين 0 و 1 سلبية.

التطبيقات

إن تطبيقات الأرقام الحقيقية لجميع أنواع المواقف متنوعة للغاية. تظهر الأرقام الحقيقية كإجابات للعديد من المشكلات في العلوم الدقيقة وعلوم الكمبيوتر والهندسة والاقتصاد والعلوم الاجتماعية.

جميع أنواع المقادير والكميات مثل المسافات والأوقات والقوى وشدة الصوت والمال وغير ذلك الكثير ، لها تعبيرها بأرقام حقيقية.

يمكن التحكم رقميًا في نقل الإشارات الهاتفية وصورة وصوت الفيديو ودرجة حرارة مكيف الهواء أو السخان أو الثلاجة ، مما يعني تحويل الكميات المادية إلى تسلسلات رقمية.

يحدث الشيء نفسه عند إجراء معاملة مصرفية عبر الإنترنت أو استشارة الرسائل الفورية. الأعداد الحقيقية في كل مكان.

تمرين حل

سنرى من خلال التمارين كيف تعمل هذه الأرقام في المواقف المشتركة التي نواجهها يوميًا.

التمرين 1

يقبل مكتب البريد فقط الطرود التي لا يتجاوز طولها بالإضافة إلى قياس محيطها 108 بوصات. لذلك ، لقبول الحزمة المعروضة ، يجب استيفاء ما يلي:

L + 2 (س + ص) 108

أ) هل ستنجح عبوة بعرض 6 بوصات وارتفاع 8 بوصات وطول 5 أقدام؟

ب) ماذا عن واحد يقيس 2 × 2 × 4 قدم ³ ؟

ج) ما هو أعلى ارتفاع مقبول لطرد قاعدته مربعة ويبلغ قياسه 9 × 9 بوصات ² ؟

إجابة على

L = 5 أقدام = 60 بوصة

س = 6 بوصات

ص = 8 بوصات

عملية الحل هي:

L + 2 (x + y) = 60 + 2 (6 + 8) بوصة = 60 + 2 × 14 بوصة = 60 + 28 بوصة = 88 بوصة

الحزمة مقبولة.

الجواب ب

أبعاد هذه الحزمة أصغر من الحزمة أ) ، لذلك كلاهما يجتازها.

الجواب ج

في هذه الحزمة:

س = L = 9 بوصات

يجب ملاحظة ما يلي:

9+ 2 (9 + ص) 108

27 + 2y ≤ 108

2y ≤ 81

و ≤ 40.5 بوصة

المراجع

1. Carena، M. 2019. دليل الرياضيات لما قبل الجامعة. جامعة ليتورال الوطنية.
2. دييغو ، أ. الأعداد الحقيقية وخصائصها. تم الاسترجاع من: matematica.uns.edu.ar.
3. Figuera ، J. 2000. الرياضيات 9th. الدرجة العلمية. إصدارات CO-BO.
4. Jiménez، R. 2008. الجبر. برنتيس هول.
5. ستيوارت ، ج. 2006. ما قبل الحساب: الرياضيات لحساب التفاضل والتكامل. الخامس. الإصدار. سينجاج ليرنينج.