ثابت بولتزمان: التاريخ ، المعادلات ، حساب التفاضل والتكامل ، التمارين - جسدي - بدني - 2025

على ثابت بولتزمان هو القيمة التي تربط بين متوسط الطاقة الحركية للنظام الحرارية أو كائن مع درجة الحرارة المطلقة للنفس. على الرغم من أنها غالبًا ما يتم الخلط بينها ، إلا أن درجة الحرارة والطاقة ليسا نفس المفهوم.

درجة الحرارة هي مقياس للطاقة ، ولكنها ليست مقياسًا للطاقة نفسها. مع ثابت بولتزمان ، فإنهم مرتبطون ببعضهم البعض بالطريقة التالية:

شاهد قبر بولتزمان في فيينا. المصدر: Daderot في ويكيبيديا الإنجليزية

هذه المعادلة صالحة لجزيء غاز مثالي أحادي الذرة كتلته m ، حيث E _c هي طاقته الحركية المعطاة بالجول ، و k _B هو ثابت بولتزمان و T هي درجة الحرارة المطلقة في كلفن.

بهذه الطريقة ، عندما ترتفع درجة الحرارة ، يزداد أيضًا متوسط ​​الطاقة الحركية لكل جزيء من المادة ، كما هو متوقع حدوثه. والعكس يحدث عندما تنخفض درجة الحرارة ، وتكون قادرة على الوصول إلى النقطة التي إذا توقفت كل الحركة ، يتم الوصول إلى أدنى درجة حرارة ممكنة أو الصفر المطلق.

عند الحديث عن متوسط ​​الطاقة الحركية ، من الضروري أن نتذكر أن الطاقة الحركية مرتبطة بالحركة. ويمكن للجسيمات أن تتحرك بعدة طرق ، مثل الحركة أو الدوران أو الاهتزاز. بالطبع ، لن يفعلوا جميعًا ذلك بالطريقة نفسها ، وبما أنها غير معدودة ، يتم أخذ المتوسط ​​لتمييز النظام.

بعض حالات الطاقة أكثر احتمالا من غيرها. هذا المفهوم له أهمية جذرية في الديناميكا الحرارية. الطاقة المعتبرة في المعادلة السابقة هي الطاقة الحركية الانتقالية. ستتم مناقشة احتمال الدول وعلاقتها بثابت بولتزمان بعد ذلك بقليل.

في عام 2018 ، أعيد تعريف كلفن ومعه ثابت بولتزمان ، والذي يبلغ تقريبًا في النظام الدولي 1.380649 x 10 ^-23 J. K ^-1. يمكن تحقيق المزيد من الدقة في ثابت بولتزمان ، الذي تم تحديده في العديد من المختبرات حول العالم ، بطرق مختلفة.

التاريخ

يدين الثابت الشهير باسم الفيزيائي المولود في فيينا لودفيج بولتزمان (1844–1906) ، والذي كرس حياته كعالم لدراسة السلوك الإحصائي للأنظمة ذات الجسيمات المتعددة ، من وجهة نظر ميكانيكا نيوتن.

على الرغم من أن وجود الذرة اليوم مقبول عالميًا ، إلا أنه في القرن التاسع عشر ، كان الاعتقاد حول ما إذا كانت الذرة موجودة بالفعل أو كانت حيلة تم تفسير العديد من الظواهر الفيزيائية محل نقاش كامل.

كان بولتزمان مدافعًا قويًا عن وجود الذرة ، وواجه في عصره انتقادات شديدة لعمله من العديد من الزملاء الذين اعتبروه يحتوي على مفارقات غير قابلة للحل.

وذكر أن الظواهر التي يمكن ملاحظتها على المستويات العيانية يمكن تفسيرها بالخصائص الإحصائية للجسيمات المكونة مثل الذرات والجزيئات.

ربما كانت هذه الانتقادات بسبب حلقة الاكتئاب العميقة التي دفعته إلى الانتحار في بداية سبتمبر 1906 ، عندما كان لا يزال أمامه الكثير ليفعله ، حيث كان يُعتبر أحد أعظم علماء الفيزياء النظرية في عصره ولم يتبق سوى القليل أن علماء آخرين يساهمون في إثبات صحة نظرياتهم.

لم يمض وقت طويل على وفاته حتى ظهرت اكتشافات جديدة حول طبيعة الذرة والجسيمات المكونة لها لتثبت أن بولتزمان على حق.

ثابت بولتزمان وأعمال بلانك

الآن تم إدخال ثابت بولتزمان k _B كما هو معروف اليوم بعد وقت من عمل الفيزيائي النمساوي. كان ماكس بلانك ، في قانونه الخاص بانبعاث الجسم الأسود ، عملًا قدمه عام 1901 ، والذي أعطاه في ذلك الوقت قيمة 1.34 × 10 ⁻²³ J / K.

حوالي عام 1933 ، تمت إضافة لوحة مع تعريف الانتروبيا التي تتضمن الثابت الشهير: S = k _B log W إلى شاهد قبر بولتزمان في فيينا كإشادة بعد وفاته ، وهي معادلة ستتم مناقشتها لاحقًا.

اليوم لا غنى عن ثابت بولتزمان في تطبيق قوانين الديناميكا الحرارية ، والميكانيكا الإحصائية ونظرية المعلومات ، وهي المجالات التي كان عالم الفيزياء المحزن رائدًا فيها.

القيمة والمعادلات

يمكن وصف الغازات بمصطلحات مجهرية وأيضًا بمصطلحات مجهرية. بالنسبة للوصف الأول ، توجد مفاهيم مثل الكثافة ودرجة الحرارة والضغط.

ومع ذلك ، يجب أن نتذكر أن الغاز يتكون من العديد من الجسيمات ، والتي لها ميل عالمي إلى سلوك معين. هذا هو الاتجاه الذي يتم قياسه بالعين المجردة. تتمثل إحدى طرق تحديد ثابت Boltzmann في بفضل معادلة الغاز المثالية المعروفة:

هنا p هو ضغط الغاز ، و V هو حجمه ، و n عدد المولات الموجودة ، و R هو ثابت الغاز و T هي درجة الحرارة. في مول من الغاز المثالي ، تتحقق العلاقة التالية بين المنتج الكهروضوئي ، والطاقة الحركية الانتقالية K للمجموعة بأكملها هي:

لذلك فإن الطاقة الحركية هي:

من خلال القسمة على العدد الإجمالي للجزيئات الموجودة ، والتي ستسمى N ، يتم الحصول على متوسط ​​الطاقة الحركية لجسيم واحد:

يوجد في مول واحد عدد جسيمات أفوجادرو N _A ، وبالتالي فإن العدد الإجمالي للجسيمات هو N = nN A ، مع ترك:

حاصل القسمة R / N _A على وجه التحديد هو ثابت بولتزمان ، وبالتالي يُظهر أن متوسط ​​الطاقة الحركية الانتقالية للجسيم يعتمد فقط على درجة الحرارة المطلقة T وليس على كميات أخرى مثل الضغط أو الحجم أو حتى نوع الجزيء:

ثابت بولتزمان وانتروبيا

للغاز درجة حرارة معينة ، لكن درجة الحرارة هذه يمكن أن تتوافق مع حالات مختلفة من الطاقة الداخلية. كيف تصور هذا الاختلاف؟

ضع في اعتبارك التقليب المتزامن لأربع عملات والطرق التي يمكن أن تسقط بها:

الطرق التي يمكن بها لـ 4 إسقاط 4 عملات معدنية. المصدر: عصامي

يمكن أن تفترض مجموعة العملات ما مجموعه 5 حالات ، والتي تعتبر عيانية ، موضحة في الشكل. أي من الحالات التالية قد يقول القارئ أنها الأكثر احتمالا؟

يجب أن تكون الإجابة هي حالة رأسين وذيلين ، لأن لديك إجمالي 6 احتمالات ، من أصل 16 احتمالات موضحة في الشكل. Y 2 ⁴ = 16. هذه تساوي الحالات المجهرية.

ماذا لو تم إلقاء 20 قطعة نقدية بدلاً من 4؟ سيكون هناك ما مجموعه ²⁰ 2 احتمالية أو "حالات مجهرية". إنه رقم أكبر بكثير ويصعب التعامل معه. لتسهيل التعامل مع الأعداد الكبيرة ، فإن اللوغاريتمات مناسبة للغاية.

الآن ، ما يبدو واضحًا هو أن الحالة التي بها أكبر اضطراب هي الأرجح. المزيد من الحالات المرتبة مثل 4 رؤوس أو 4 أختام أقل احتمالًا.

يتم تعريف إنتروبيا الحالة العيانية S على النحو التالي:

حيث w هو عدد الحالات المجهرية المحتملة للنظام و k _B هو ثابت بولتزمان. نظرًا لأن ln w بلا أبعاد ، فإن الانتروبيا لها نفس وحدات k _B: Joule / K.

هذه هي المعادلة الشهيرة الموجودة على شاهد قبر بولتزمان في فيينا. ومع ذلك ، أكثر من الإنتروبيا ، ما هو ملائم هو تغييرها:

كيف تحسب k

يتم الحصول على قيمة ثابت بولتزمان بشكل تجريبي بطريقة دقيقة للغاية مع القياسات القائمة على قياس الحرارة الصوتي ، والتي يتم إجراؤها باستخدام الخاصية التي تحدد اعتماد سرعة الصوت في الغاز مع درجة حرارته.

في الواقع ، تُعطى سرعة الصوت في الغاز من خلال:

ب ثابت _{الحرارة} = γp

و هي كثافة الغاز. للمعادلة أعلاه ، p هو ضغط الغاز المعني و هو معامل ثابت الحرارة ، الذي توجد قيمته لغاز معين في الجداول.

تقوم معاهد المقاييس أيضًا بتجربة طرق أخرى لقياس الثابت ، مثل مقياس حرارة جونسون للضوضاء ، الذي يستخدم التقلبات الحرارية العشوائية في المواد ، وخاصة الموصلات.

تمارين محلولة

-التمرين 1

تجد:

أ) متوسط ​​الطاقة الحركية الانتقالية E _c التي يمتلكها جزيء الغاز المثالي عند 25 درجة مئوية

ب) الطاقة الحركية الانتقالية K للجزيئات في 1 مول من هذا الغاز

ج) متوسط ​​سرعة جزيء الأكسجين عند 25 درجة مئوية

حقيقة

م _{الأكسجين} = 16 × 10 ^-3 كجم / مول

المحلول

أ) E _ج = (3/2) ك T = 1.5 × 1.380649 × 10 ^-23 J. K ^-1 س 298 K = 6.2 × 10 ^-21 J

ب) K = (3/2) nRT = 5 × 1 مول × 8.314 جول / مول. K × 298 K = 3716 J

ج) E _c = ½ mv ² ، مع الأخذ في الاعتبار أن جزيء الأكسجين ثنائي الذرة ويجب مضاعفة الكتلة المولية في 2 ، سيكون لدينا:

أوجد التغير في الانتروبيا عندما يتسع 1 مول من الغاز يشغل حجمًا 0.5 م ³ ليشغل 1 م ³.

المحلول

ΔS = k _B ln (w ₂ / w ₁)

المراجع

1. اتكينز ، ص 1999. الكيمياء الفيزيائية. إصدارات أوميغا. 13-47.
2. باور ، دبليو 2011. فيزياء الهندسة والعلوم. المجلد 1. ماك جراو هيل. 664-672.
3. جيانكولي ، د. 2006. الفيزياء: مبادئ مع تطبيقات. 6.. قاعة إد برنتيس. 443-444.
4. سيرز ، زيمانسكي. 2016. الفيزياء الجامعية مع الفيزياء الحديثة. الرابع عشر. المجلد 1. 647-673.
5. نعم إعادة التعريف. كلفن: بولتزمان كونستانت. تم الاسترجاع من: nist.gov