تقنيات العد: تقنيات ، تطبيقات ، أمثلة ، تمارين - دوداس - 2026

و أساليب العد هي سلسلة من أساليب احتمال لحساب عدد من الترتيبات الممكنة ضمن مجموعة أو عدة مجموعات من الكائنات. يتم استخدامها عندما يصبح إجراء الحسابات يدويًا معقدًا بسبب العدد الكبير من الكائنات و / أو المتغيرات.

على سبيل المثال ، حل هذه المشكلة بسيط للغاية: تخيل أن رئيسك يطلب منك حساب أحدث المنتجات التي وصلت في الساعة الماضية. في هذه الحالة يمكنك أن تحسب المنتجات واحدة تلو الأخرى.

ومع ذلك ، تخيل أن المشكلة هي: يطلب منك رئيسك حساب عدد المجموعات المكونة من 5 منتجات من نفس النوع التي يمكن تشكيلها مع المجموعات التي وصلت في آخر ساعة. في هذه الحالة ، الحساب معقد. لهذا النوع من الحالات ، يتم استخدام ما يسمى بتقنيات العد.

تتنوع هذه التقنيات ، لكن أهمها مقسم إلى مبدأين أساسيين ، هما المضاعف والجمع ؛ التباديل والتوافيق.

مبدأ المضاعفة

التطبيقات

يعد مبدأ الضرب ، مع المادة المضافة ، أساسيين لفهم عملية تقنيات العد. في حالة المضاعفة تتكون مما يلي:

لنتخيل نشاطًا يتضمن عددًا محددًا من الخطوات (نحدد المجموع على أنه "r") ، حيث يمكن تنفيذ الخطوة الأولى بطرق N1 ، والخطوة الثانية في N2 ، والخطوة "r" بطرق Nr. في هذه الحالة ، يمكن تنفيذ النشاط من عدد الأشكال الناتجة عن هذه العملية: أشكال N1 x N2 x ……….x Nr

هذا هو السبب في أن هذا المبدأ يسمى المضاعف ، وهو يعني أن كل خطوة من الخطوات اللازمة للقيام بالنشاط يجب أن يتم تنفيذها واحدة تلو الأخرى.

مثال

لنتخيل شخصًا يريد بناء مدرسة. للقيام بذلك ، ضع في اعتبارك أن قاعدة المبنى يمكن بناؤها بطريقتين مختلفتين ، الأسمنت أو الخرسانة. أما بالنسبة للجدران فيمكن أن تكون مصنوعة من اللبن أو الأسمنت أو الطوب.

أما بالنسبة للسقف فيمكن تصنيعه من الأسمنت أو الصاج المجلفن. أخيرًا ، لا يمكن عمل اللوحة النهائية إلا بطريقة واحدة. السؤال الذي يطرح نفسه هو ما يلي: كم عدد طرق بناء المدرسة؟

أولاً ، نأخذ في الاعتبار عدد الخطوات التي ستكون القاعدة والجدران والسقف والطلاء. في المجموع ، 4 خطوات ، لذلك r = 4.

سيكون ما يلي هو سرد N:

N1 = طرق بناء القاعدة = 2

N2 = طرق بناء الجدران = 3

N3 = طرق صنع السقف = 2

N4 = طرق الرسم = 1

لذلك ، سيتم حساب عدد الأشكال الممكنة باستخدام الصيغة الموضحة أعلاه:

N1 x N2 x N3 x N4 = 2 x 3 x 2 x 1 = 12 طريقة للقيام بالمدرسة.

مبدأ مضافة

التطبيقات

هذا المبدأ بسيط للغاية ، ويتألف من حقيقة أنه في حالة وجود عدة بدائل لتنفيذ نفس النشاط ، فإن الطرق الممكنة تتكون من مجموع الطرق المختلفة الممكنة لتنفيذ جميع البدائل.

بمعنى آخر ، إذا أردنا تنفيذ نشاط بثلاثة بدائل ، حيث يمكن إجراء البديل الأول بطرق M ، والثاني بطرق N والأخير بطرق W ، فيمكن إجراء النشاط في: M + N +……… + أشكال دبليو.

مثال

لنتخيل هذه المرة شخصًا يريد شراء مضرب تنس. للقيام بذلك ، لديك ثلاث علامات تجارية للاختيار من بينها: Wilson أو Babolat أو Head.

عندما تذهب إلى المتجر ، ترى أن مضرب ويلسون يمكن شراؤه بمقبض بحجمين مختلفين ، L2 أو L3 بأربعة طرز مختلفة ويمكن تعليقه أو فكه.

من ناحية أخرى ، يحتوي مضرب بابولات على ثلاثة مقابض (L1 و L2 و L3) ، وهناك طرازان مختلفان ويمكن أيضًا تعليقه أو فكه.

يتوفر مضرب الرأس ، من جانبه ، بمقبض واحد فقط ، L2 ، في نموذجين مختلفين وغير مرتبطين فقط. السؤال هو: كم عدد الطرق المتاحة لهذا الشخص لشراء مضربه؟

M = عدد الطرق لاختيار مضرب ويلسون

N = عدد الطرق لاختيار مضرب Babolat

W = عدد الطرق لاختيار مضرب الرأس

ننفذ مبدأ المضاعف:

م = 2 × 4 × 2 = 16 شكلًا

N = 3 × 2 × 2 = 12 طريقة

W = 1 x 2 x 1 = طريقتان

M + N + W = 16 + 12 + 2 = 30 طريقة لاختيار مضرب.

لمعرفة متى يجب استخدام مبدأ الضرب والمادة المضافة ، ما عليك سوى النظر في ما إذا كان النشاط يحتوي على سلسلة من الخطوات لأداء ، وإذا كان هناك عدة بدائل ، المادة المضافة.

التباديل

التطبيقات

لفهم ماهية التقليب ، من المهم شرح ماهية المجموعة حتى تتمكن من التمييز بينها ومعرفة وقت استخدامها.

سيكون الجمع عبارة عن ترتيب للعناصر التي لا نهتم بالموقع الذي يشغله كل واحد.

من ناحية أخرى ، فإن التقليب سيكون ترتيبًا للعناصر التي نهتم بها بالموقع الذي يشغله كل واحد منهم.

دعنا نضع مثالاً لفهم الفرق بشكل أفضل.

مثال

لنتخيل فصلًا يضم 35 طالبًا ، وفي المواقف التالية:

1. يريد المعلم من ثلاثة من طلابه مساعدته في الحفاظ على نظافة الفصل الدراسي أو تسليم المواد للطلاب الآخرين عند الحاجة.
2. يريد المعلم تعيين مندوبي الفصل (رئيس ومساعد وممول).

سيكون الحل كالتالي:

1. لنتخيل أنه من خلال التصويت ، يتم اختيار خوان وماريا ولوسيا لتنظيف الفصل أو تسليم المواد. من الواضح أنه كان من الممكن تشكيل مجموعات أخرى من ثلاثة ، من بين 35 طالبًا محتملاً.

يجب أن نسأل أنفسنا ما يلي: هل ترتيب أو منصب كل طالب مهم عند اختيارهم؟

إذا فكرنا في الأمر ، نرى أنه ليس مهمًا حقًا ، لأن المجموعة ستكون مسؤولة عن المهمتين بالتساوي. في هذه الحالة ، إنه مزيج ، لأننا لسنا مهتمين بموضع العناصر.

1. الآن دعونا نتخيل أن خوان تم انتخابه كرئيس وماريا كمساعدة ولوسيا ممولة.

في هذه الحالة ، هل الترتيب مهم؟ الجواب نعم ، لأننا إذا غيرنا العناصر تتغير النتيجة. وهذا يعني أنه بدلاً من تعيين خوان كرئيس ، قمنا بتعيينه كمساعد ، وماريا كرئيسة ، فإن النتيجة النهائية ستتغير. في هذه الحالة هو التقليب.

بمجرد فهم الاختلاف ، سنحصل على الصيغ للتباديل والتوليفات. ومع ذلك ، يجب أولاً تحديد المصطلح "n!" (عامل ene) ، حيث سيتم استخدامه في الصيغ المختلفة.

n! = المنتج من 1 إلى n.

n! = 1 x 2 x 3 x 4 x ………..xn

استخدامه بأرقام حقيقية:

10! = 1 × 2 × 3 × 4 × ……… × 10 = 3628800

5! = 1 × 2 × 3 × 4 ×……… × 5 = 120

ستكون صيغة التباديل كما يلي:

nPr = n! / (nr)!

باستخدامه يمكننا معرفة الترتيبات التي يكون فيها الترتيب مهمًا وأين تختلف العناصر n.

مجموعات

التطبيقات

كما علقنا سابقًا ، فإن المجموعات هي الترتيبات التي لا نهتم فيها بموضع العناصر.

صيغته هي كما يلي:

nCr = n! / (nr)! r!

مثال

إذا كان هناك 14 طالبًا يرغبون في التطوع لتنظيف الفصل الدراسي ، فكم عدد مجموعات التنظيف التي يمكن تشكيلها إذا كان يجب أن تتكون كل مجموعة من 5 أفراد؟

لذلك سيكون الحل كالتالي:

ن = 14 ، ص = 5

14C5 = 14! / (14-5)! 5! = 14! / 9! 5! = 14 × 13 × 12 × 11 × 10 × 9! / 9! 5! = 2002 مجموعة

تمارين محلولة

التمرين 1

المصدر: Pixabay.com

طلبت والدتها من ناتاليا الذهاب إلى محل بقالة وشراء مشروب غازي لها لتبرد. عندما طلبت ناتاليا من الموظف تناول مشروب ، أخبرها أن هناك أربع نكهات من المشروبات الغازية ، ثلاثة أنواع وثلاثة أحجام.

يمكن أن تكون نكهات المشروبات الغازية: الكولا والليمون والبرتقال والنعناع.

يمكن أن تكون أنواع الكولا: عادية ، وخالية من السكر ، وخالية من الكافيين.

يمكن أن تكون الأحجام: صغيرة ومتوسطة وكبيرة.

لم تحدد والدة ناتاليا نوع المشروب الغازي الذي تريده. كم عدد الطرق التي يمكن أن تشتري بها ناتاليا المشروب؟

المحلول

م = الحجم واكتب الرقم الذي يمكنك تحديده عند اختيار الكولا.

N = عدد الحجم والنوع الذي يمكنك تحديده عند اختيار صودا الليمون.

W = الحجم واكتب الرقم الذي يمكنك تحديده عند اختيار الصودا البرتقالية.

Y = الحجم واكتب الرقم الذي يمكنك تحديده عند اختيار صودا النعناع.

ننفذ مبدأ المضاعف:

م = 3 × 3 = 9 طرق

N = 3 × 3 = 9 طرق

W = 3 × 3 = 9 طرق

ص = 3 × 3 = 9 طرق

M + N + W + Y = 9 + 9 + 9 + 9 = 36 طريقة لاختيار الصودا.

تمرين 2

المصدر: pixabay.com

يعلن نادي رياضي عن ورش عمل مجانية للأطفال لتعلم التزلج. تم تسجيل 20 طفلاً ، لذلك قرروا تقسيمهم إلى مجموعتين من عشرة أشخاص حتى يتمكن المدربون من تدريس الفصول الدراسية بشكل أكثر راحة.

في المقابل ، قرروا الرسم في أي مجموعة سيسقط كل طفل. كم عدد المجموعات المختلفة التي يمكن أن يدخلها الطفل؟

المحلول

في هذه الحالة ، تتمثل طريقة العثور على إجابة في استخدام تقنية الجمع ، والتي كانت صيغتها: nCr = n! / (Nr)! R!

ن = 20 (عدد الأطفال)

ص = 10 (حجم المجموعة)

20C10 = 20! / (20-10)! 10! = 20! / 10! 10! = 20 × 19 × 18 × 17 × 16 × 15 × 14 × 13 × 12 × 11 × 10! / 10! 10! = 184،756 مجموعة.

المراجع

1. جيفري ، RC ، الاحتمالية وفن الحكم ، مطبعة جامعة كامبريدج. (1992).
2. وليام فيلر ، "مقدمة لنظرية الاحتمالات وتطبيقاتها" ، (المجلد 1) ، الطبعة الثالثة ، (1968) ، وايلي
3. فينيتي ، برونو دي (1970). "الأسس المنطقية وقياس الاحتمال الذاتي". اكتا سيكولوجيكا.
4. هوغ ، روبرت ف. كريج ، ألين ؛ ماكين ، جوزيف و. (2004). مقدمة في الإحصاء الرياضي (الطبعة السادسة). نهر السرج العلوي: بيرسون.
5. فرانكلين ، ج. (2001) علم التخمين: الدليل والاحتمال قبل باسكال ، مطبعة جامعة جونز هوبكنز.